n階k次對(duì)合矩陣的性質(zhì)

強(qiáng)春晨，岳育英，劉興祥，祝永華

(1.延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，陜西 延安 716000;2.陜西省榆林市榆陽(yáng)區(qū) 上鹽灣中學(xué)，陜西 榆林 719000;3.石河子 第二中學(xué)，新疆 石河子 832000)

矩陣是代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要研究對(duì)象，也是數(shù)學(xué)分支不可缺少的工具，矩陣論方法對(duì)處理其他各分支問(wèn)題也相當(dāng)有力，所以本文從三個(gè)方面討論并總結(jié)了其中一種特殊矩陣的性質(zhì)和用途，并對(duì)每個(gè)性質(zhì)給予了必要的證明。下面就是關(guān)于n階k次對(duì)合矩陣的性質(zhì)問(wèn)題。

1 預(yù)備知識(shí)

性質(zhì)［1］(AT)n=(An)T，n ∈ N*;(A－1)n=(An)－1，n∈N*(AT表示的轉(zhuǎn)置，A－1表示 A 的逆矩陣，下同)。

定義1［1］若存在可逆矩陣 P，使得 P－1AP=B，則A與B相似。

定義2［1］若n階實(shí)矩陣U滿足UUT=UTU=E(其中E為n階單位矩陣，下同)，則稱U為一個(gè)正交矩陣。

定義3 設(shè)A是n階矩陣，若存在最小正整數(shù)k∈N－{0，1}，使得Ak=E，則稱A為n階k次對(duì)合矩陣。

定義4 設(shè)A是n階矩陣，若存在最小正整數(shù)k∈N －{0，1}，使得 Ak=lE(l≠0)，則稱 A為 n階 k次廣義對(duì)合矩陣。

2 n階k次對(duì)合矩陣的性質(zhì)

(以下簡(jiǎn)稱k次對(duì)合矩陣)

2.1 基本性質(zhì)

定理1 k次對(duì)合矩陣的轉(zhuǎn)置是k次對(duì)合矩陣。

證明 設(shè)A是k次對(duì)合矩陣，則存在最小正整數(shù) k∈N － {0，1}，使得 Ak=E，則(AT)k=(Ak)T=ET，假設(shè)存在 m∈N －{0，1}且 m ＜k，使得(AT)m=ET，即有((AT)m)T=(ET)T=E，于是((AT)T)m=E，即Am=E，這與k為最小正整數(shù)矛盾，從而得知k為使得(AT)k=ET成立的最小正整數(shù)，因此A的轉(zhuǎn)置是k次對(duì)合矩陣，命題得證。

定理2 k次對(duì)合矩陣的l次冪是k次對(duì)合矩陣。

證明 設(shè)A是k次對(duì)合矩陣，則存在最小正整數(shù) k∈N －{0，1}，使得 Ak=E，則(Al)k=(Ak)l=El，假設(shè)存在m∈N －{0，1}且 m ＜k，使得(Al)m=El，即有(Am)l=El，因此Am=E，這與k是最小正整數(shù)矛盾，因此，k次對(duì)合矩陣的l次冪是k次對(duì)合矩陣。

定理3 k次對(duì)合矩陣的特征值為k次單位根。

證明 設(shè)A是k次對(duì)合矩陣，則存在最小正整數(shù)k∈N－{0，1}，使得Ak=E，不妨設(shè)λ是A的任意一個(gè)特征值，x是A的屬于特征值λ的一個(gè)特征向量，因而有x≠0 且Ax=λx，則Akx=Ak－1(Ax)=Ak－1λx=… =λkx，又因?yàn)?Ak=E，所以(λk－1)x=λkxx=0，由于 x≠0，所以 λk=1，因此，A的特征值為 k次單位根。

定理4 k次對(duì)合矩陣與q(q≠0)的數(shù)量乘積是n階k次廣義對(duì)合矩陣。

證明 設(shè)A是k次對(duì)合矩陣，則存在最小正整數(shù) k∈N － {0，1}，使得 Ak=E，從而(qA)k=qkAk=qk－1(qAk)=qk－1(qE)，令 qk－1=r，則 (qA)k=r(qE)(r≠0)，由最小數(shù)原理知，一定存k0∈N－{0，1}，r＇∈R －{0}，使得(qA)k0=r＇(qE)，因此 qA(q≠0)是k次廣義對(duì)合矩陣。

2.2 帶有一定條件的對(duì)合矩陣的性質(zhì)

定理5［3］可逆的k次對(duì)合矩陣的逆仍是k次對(duì)合矩陣。

證明 設(shè)A是可逆的k次對(duì)合矩陣，則存在最小正整數(shù) k∈N －{0，1}，使得 Ak=E，則有(A－1)k=(Ak)－1=E－1，假設(shè)存在 m∈N － {0，1}且 m ＜ k，使得(A－1)m=(Am)－1=E－1，則兩邊同時(shí)取逆，有((A－1)m)－1=(E－1)－1，于是((A－1)－1)m=E，即Am=E，這與k是最小正整數(shù)矛盾，從而得知k為使得(A－1)k=E－1成立的最小正整數(shù)，因此k次對(duì)合矩陣A的逆是k次對(duì)合矩陣，命題得證。

定理6 可逆的k次對(duì)合矩陣的伴隨矩陣是k次對(duì)合矩陣。

證明 設(shè)A是可逆的n階k次對(duì)合矩陣，A*是A 的伴隨矩陣，則有 A*=AA－1，且 Ak=E，即 Ak－1A=E，則 Ak－1=A－1，所以 A*=AA－1=AAk－1，則(A*)k=(AAk－1)k=Ak(Ak－1)k=E(Ak)k－1=E，由 k次對(duì)合矩陣的定義知A*是k次對(duì)合矩陣。

定理7 A，B均為k次對(duì)合矩陣，則AB是k次對(duì)合矩陣。

證明 由于A，B均為k次對(duì)合矩陣，所以有Ak=E，Bk=E，則(AB)k=BkAk=EE=E，所以，由 k次對(duì)合矩陣的定義知AB是k次對(duì)合矩陣。

定理8 若A為k次對(duì)合的正交矩陣，則AT=Ak－1。

證明 由A為正交矩陣知，AAT=ATA=E，即矩陣A可逆，A－1=AT且|A|2=1，由已知，存在最小正整數(shù)，k∈N －{0，1}使得 Ak=E，因而有Ak－1=AkA－1=EA－1=A－1=AT，因此 AT=Ak－1，命題得證。

定理9［3］與k次對(duì)合矩陣相似的矩陣仍為k次對(duì)合矩陣。

證明 設(shè)A是k次對(duì)合矩陣，則存在最小正整數(shù)k∈N－{0，1}，使得Ak=E，若n階矩陣B與A相似，則存在可逆矩陣T，使得T AT=B，因而有B=(T－1AT)k=T－1AkT=T－1ET=E，假設(shè)存在 m∈N －{0，1}且 m ＜k，使得 Bm=B，即(T－1AT)m=T－1ET，則 T－1AmT=T－1ET，上式兩邊分別左乘 T，右乘T－1，有 Am=E。

這與k為使得Ak=E成立的最小正整數(shù)矛盾，因此，根據(jù)定義可知B是n階k次對(duì)合矩陣，所以命題得證。

2.3 與對(duì)合矩陣有關(guān)的性質(zhì)

定理10［4］A為k次對(duì)合矩陣，若A與n階對(duì)角矩陣B相似，則B的對(duì)角線上元素為k次單位根。

證明 因?yàn)閗次對(duì)合矩陣A與n階對(duì)角矩陣B相似，則存在n階可逆矩陣T，使得，

因此 λik=1(i=1，2，…，n)，命題得證。定理11 設(shè)A是非零n階k次對(duì)合矩陣，m≠0，n≠0，mAk+nEn可逆的充要條件是 m+n≠0。

證明 充分性 若m+n≠0，則|(m+n)En|≠0，(m+n)En可逆，對(duì)合矩陣的定義知由Ak=En，則有 mAk+nEn=mEn+nEn=(m+n)En，因此，mAk+nEn可逆。

必要性 因?yàn)锳是非零n階k次對(duì)合矩陣，則Ak=En，又因?yàn)?mAk+nEn=mEn+nEn=(m+n)En，若mAk+nEn可逆，m≠0且 n≠0，則(m+n)En可逆，因此m+n≠0。綜上命題成立。

2.4 應(yīng)用

已知Ai(i=1，2，…，k)是n階m次對(duì)合矩陣，

證明 由已知知，存在最小正整數(shù)m∈N－{0，1}，使得 A1m=E(i=1，2，…，k)，

是kn階對(duì)合矩陣。

3 小結(jié)

本文在對(duì)合矩陣的有關(guān)概念與性質(zhì)的基礎(chǔ)上，把一般矩陣的性質(zhì)推廣到特殊的n階k次對(duì)合矩陣，極大的豐富了代數(shù)這門課的內(nèi)涵，推廣了對(duì)合矩陣研究的相關(guān)理論。至于這種推廣的理論與實(shí)際應(yīng)用價(jià)值怎樣，它對(duì)其他科學(xué)研究將產(chǎn)生何種影響，還有待科研工作者進(jìn)一步探索與發(fā)掘。

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［3］史榮昌，魏豐.矩陣分析［M］.北京:北京理工大學(xué)出版社，2005.

［4］郭華.實(shí)冪等矩陣的幾個(gè)等價(jià)條件［J］.渝州大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，18(2):20 －23.

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