分形幾何在自然科學(xué)中的應(yīng)用

徐瀝泉

教授，無錫市教育研究中心，江蘇 無錫 214001

本文綜述了分形幾何在物理學(xué)、生物學(xué)、工程技術(shù)、生命科學(xué)、地震學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用。從中我們還可以發(fā)現(xiàn)大千世界中數(shù)學(xué)的優(yōu)美。

分形理論在自然界與社會活動中得到了廣泛應(yīng)用。在自然科學(xué)的各個研究領(lǐng)域里，人們自覺地運用分形幾何學(xué)，從數(shù)理化、天地生到工農(nóng)醫(yī)等領(lǐng)域都獲得了許多新認識和新進展。如物理學(xué)中的湍流（流體的不規(guī)則運動）與相變（物體由一種相態(tài)到另一種相態(tài)的轉(zhuǎn)變）；化學(xué)中的高分子鏈、多相催化劑表面特征、凝膠（溶膠或溶液中的膠體粒子或高分子形成的空間網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)）；天文學(xué)中的星團分布、宇宙大尺度結(jié)構(gòu)的形成；地學(xué)中的滲流（流體在多孔介質(zhì)中的流動），分形地貌、河流與水系；生物學(xué)中的全息現(xiàn)象；醫(yī)學(xué)中的人體組織結(jié)構(gòu)，如血管、肺、心臟等的分形描述；材料的損傷斷裂……無不顯示出分形理論和方法的威力［1］。

1 在物理學(xué)和工程技術(shù)中的應(yīng)用

分形理論自產(chǎn)生之日起就得到了物理學(xué)家的高度重視，并在物理學(xué)中得到廣泛應(yīng)用。其原因是分形幾何結(jié)構(gòu)代表了自然界中普遍存在的更加接近于自然的物質(zhì)結(jié)構(gòu)，它具有巨大的實用上的重要性；另一方面是因為自然界中存在著兩種基本對稱性即平移對稱性和擴展對稱性，對后者而言人們不甚清楚。近20年來，分形理論被推廣應(yīng)用到若干遠離平衡態(tài)的不可逆生長過程中，這些過程顯示了自相似的擴展對稱性。分形物理所研究的內(nèi)容主要包括分形結(jié)構(gòu)晶格（原子在晶體中排列規(guī)律的空間格架叫做晶格）或物質(zhì)中的力、熱、光、電性能，另一是研究若干屬于隨機分形的具有統(tǒng)計自相似或自仿射意義的物理現(xiàn)象。如分形凝聚，分形動力學(xué)，分形中的相變，材料科學(xué)中的分形，物理中的多重分形。圖1和圖2是文［2］和文［3］給出的電解實驗和熱對流中的多重分形的模擬形體圖。十分有趣的是，圖1—2揭示了熱對流在黃金分割點的擾動和臨界圓周映射具有相同的多重分形結(jié)構(gòu)。

圖1 電解實驗形體圖

圖2 熱對流形體圖

分形理論在機械工程及自動化中得以廣泛應(yīng)用，如核動力工程、冶金、化工和制冷等工業(yè)中沸騰換熱的分形分析。近年來，隨著納米流體這一新領(lǐng)域的出現(xiàn)，使沸騰換熱情況變得復(fù)雜化。對此，傳統(tǒng)經(jīng)典模型已經(jīng)束手無策。一些經(jīng)典理論與公式不能充分揭示沸騰換熱的物理機理。比如，對于活化密度，從實驗得出的經(jīng)驗公式為［3］

其中，Dc，max，Dc分別為加熱面上最大活化穴直徑和活化穴直徑，Na為加熱壁面上的活化核心密度，m（＝0.65）為經(jīng)驗常數(shù)，這個經(jīng)驗常數(shù)所隱藏的物理本質(zhì)并不清楚。為了進一步揭示那些隱含在這些經(jīng)驗常數(shù)背后的更深層次的物理機理，深刻解釋沸騰換熱現(xiàn)象和機理。分形幾何理論與方法可能給我們提供一種新的思路和方法，詳見文［4］。

分形天線工程又是分形與電動力學(xué)相結(jié)合的一個重要應(yīng)用。文［5］介紹了分形天線工程的產(chǎn)生背景和發(fā)展、研究領(lǐng)域與方法。分形天線工程主要分為分形單元研究和分形陣列研究。分形單元研究主要集中在小型化和多頻特性方面；分形陣列研究主要集中于快速波束成形算法、低旁瓣和寬帶寬角掃描等方面的研究。同時，分形還和天線研究領(lǐng)域的其他成果相結(jié)合，發(fā)展了新的理論和方法。比如分形FSS，分形PBG，分形RFMEMS天線系統(tǒng)和分形饋電網(wǎng)絡(luò)等。

時至今日，人類社會經(jīng)濟活動對地下水資源的破壞和危害越來越嚴重，而分形在巖石水力學(xué)中的應(yīng)用也大顯身手。文［6］以分形幾何理論和巖體裂隙系統(tǒng)統(tǒng)計地質(zhì)資料為基礎(chǔ)，建立與描述巖體裂隙網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)幾何特性的分形模型。對巖體裂隙網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的分形幾何結(jié)構(gòu)進行研究，在物理本質(zhì)上揭示了分形裂隙巖體水流動和溶質(zhì)傳輸機理。常用的裂隙長度與裂隙數(shù)目的分形幾何關(guān)系如下［7］：

式中N為裂隙的數(shù)目；c為常數(shù)，它表征了巖體的裂隙密度特性；dl為裂隙長度分形維數(shù)。同樣，裂隙開度與裂隙數(shù)目的分形幾何關(guān)系如下：

式中M為裂隙的數(shù)目，β為常數(shù)，dw為裂隙開度分形維數(shù)。文［8］基于分形理論、Monte Carlo模擬方法和修正的Hagen－Poiseulle方程以及Darcy定律，建立了多孔介質(zhì)滲透率的分形解析表達式。Monte Carlo模擬結(jié)果與分形解析得到的滲透率進行了對比，兩者具有良好的一致性，在多孔材料的熱傳導(dǎo)和滲流等方面取得了許多創(chuàng)新性的研究成果。文［9］研究了微孔道分形網(wǎng)絡(luò)中熱和氣體傳輸特性，提出了多級分形網(wǎng)絡(luò)的產(chǎn)生方法，建立了熱傳導(dǎo)參數(shù)和氣體流動阻力的分形描述機理，指出其多孔介質(zhì)的顯微結(jié)構(gòu)，包括孔徑和孔隙界面，都顯示出分形特征，我們把這些介質(zhì)叫做分形多孔介質(zhì)。目前已經(jīng)證明，多孔介質(zhì)的累積粒徑分布（與工程表面的瑕點和地球上的島嶼等一樣）遵循下面的分形標度律：

這里λ表示孔徑，df為孔隙面積分形維數(shù)。同時也已經(jīng)證實雙向滲透的分散多孔介質(zhì)是分形物體。不僅其粒子團簇是隨機分布的，雙向分散多孔介質(zhì)中的大孔和微孔也是隨機分布的（圖3和4），圖4是在雙對數(shù)坐標中累積粒徑數(shù)與孔徑的關(guān)系，df＝1.80，等于該回歸直線斜率的絕對值。

圖3 累積粒徑數(shù)與孔徑關(guān)系圖

圖4 回歸直線

文［10］提出了一種模擬三維裂隙中流體流動的方法，模型中采用了離散元和邊界元方法，以便精確和有效地處理介質(zhì)三維復(fù)雜的幾何形狀和非均質(zhì)特性。文［11］基于分形理論和達西定律，研究了孔隙的彎曲分形維數(shù)和表面積分形維數(shù)與瓦斯?jié)B透率參數(shù)之間的關(guān)系，數(shù)值模擬了煤層孔隙的彎曲分形維數(shù)和表面積分形維數(shù)對瓦斯?jié)B透率參數(shù)的影響。這些研究成果不僅具有重要的理論價值，而且在工程中也具有實際應(yīng)用意義。

2 在生物學(xué)和生命科學(xué)等領(lǐng)域中的應(yīng)用

生物的生長尤其是微生物的生長形態(tài)極不規(guī)則，一般說來無法用正常的語言和用定量分析的方法來描述，而分形理論作為一種非線性幾何學(xué)工具，使定量描述微生物生長成為可能。

文［12］論述了分形理論在植物根系研究方面的應(yīng)用進展，以及利用分形維數(shù)研究植物根系分形特征的優(yōu)越性，并對分形理論在植物根系研究領(lǐng)域的應(yīng)用前景進行了展望。植物的根系結(jié)構(gòu)是一個不規(guī)則的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，難以定量測定。分維數(shù)可以作為衡量根豐度的一個指標，分維數(shù)越大，植物根系分布就越均勻，且能反映植物生長能力的大小。與常規(guī)的研究方法相比，利用分形方法研究根系，具有工作量小、使用方便、精確度高的優(yōu)點，是一種非常適合研究根系復(fù)雜性的方法。

如所知，分形理論是一個非線性科學(xué)分支，近年來它在形態(tài)學(xué)、生理學(xué)、生物化學(xué)、遺傳學(xué)和病理學(xué)等方面都得到了廣泛的應(yīng)用。文［13］論述了血管網(wǎng)中分形問題的研究意義、內(nèi)容、進展及其相應(yīng)的基本理論與實驗研究方法，重點評述了分形理論在血管網(wǎng)結(jié)構(gòu)、血管生成和血管病理中的研究進展，以及血管網(wǎng)結(jié)構(gòu)對腫瘤血管內(nèi)物質(zhì)輸運的影響，分析了分形理論在血管網(wǎng)研究中的難點，并歸納了該領(lǐng)域內(nèi)若干可供探索的途徑和新方向。對血管網(wǎng)解剖結(jié)構(gòu)顯示，該系統(tǒng)有著非常不規(guī)則、粗糙的形式，且血管生成過程本質(zhì)上是非線性的，以至于不能準確地應(yīng)用傳統(tǒng)的幾何學(xué)方法來描述。

大量的實驗發(fā)現(xiàn)血管網(wǎng)結(jié)構(gòu)具有分形的特點，引入分形的方法來定量描述它們的特征，有利于聯(lián)系和比較。血管網(wǎng)要同時滿足分配和血液動力學(xué)兩個功能。首先保證這個系統(tǒng)能達到它所服務(wù)的每一處組織或者器官，稱為分配功能；其次是這個系統(tǒng)能夠把血流速度降到足夠低以使血液和單個細胞間代謝產(chǎn)物可充分交換，稱為血液動力學(xué)功能。長期的探索，發(fā)現(xiàn)生物進化的結(jié)果是使血管網(wǎng)維持血流流動的能量最小，達到最優(yōu)化。血管的分配功能必須使血管系統(tǒng)具有發(fā)達的分支結(jié)構(gòu)。若每次分叉遵循同樣的規(guī)律，則整個血管網(wǎng)有自相似性。由于每一血管段的直徑和長度變化很大，且即使兩個血管網(wǎng)分叉的次數(shù)相同，每一層的血管也會有很大的差別，這樣基于分叉形成的自相似結(jié)構(gòu)就變得不重要，也可以說不具備嚴格意義上的分形，而是一種偽分維。對稱血管網(wǎng)主要是把血液均勻分布到周圍組織，承擔著分配作用。

人動脈血管中大多數(shù)血管都是非對稱的。對稱的分叉只在一部分小分支上出現(xiàn)，這也符合動脈血主要是給不同組織供血的實際情況。非對稱血管網(wǎng)可使更多的血液輸送到更長的路徑。實際的血管網(wǎng)中都包括了這兩種類型的血管分叉。如圖5和6所示［14－15］。

圖5 對稱的血管組織

圖6 不對稱的血管組織

分形血管網(wǎng)復(fù)雜的幾何解剖結(jié)構(gòu)和關(guān)聯(lián)流動的影響使得其內(nèi)部的流動異常復(fù)雜，分叉分形網(wǎng)因與人體呼吸道相似很早就得到研究者的關(guān)注，其內(nèi)的流動和傳質(zhì)都得到了充分的研究［16］。腫瘤血管網(wǎng)與正常組織血管網(wǎng)的幾何結(jié)構(gòu)有著顯著性的差異，為使血管系統(tǒng)輸運物質(zhì)達到最優(yōu)化，每一個組織單元里應(yīng)該有一個最短血管路徑的分維。腫瘤血管網(wǎng)的分維和最短血管路徑的分維與正常組織血管網(wǎng)都有很大的區(qū)別。在其他疾病中血管網(wǎng)復(fù)雜性也會發(fā)生改變，因此其分維值有潛在的診斷價值。研究者發(fā)現(xiàn)嚴重糖尿病患者視網(wǎng)膜血管分布的分維值明顯高于正常人，而在血管分布的分維值相同時，血管間隙分維的差異可以明確疾病的分形。除了血管病理以外，也有研究者嘗試利用視網(wǎng)膜血管網(wǎng)分維作為一種身份檢測識別方法。因此若能進一步證明人體視網(wǎng)膜血管網(wǎng)分維有特異性，將無疑是身份識別領(lǐng)域的一個重大突破。

分形理論是以局部的某些特征來解釋整體，它為微生物的生長形態(tài)可以用分形維數(shù)來定量描述另辟蹊徑。我們就可能對微生物的菌落分形、菌絲分形的現(xiàn)象和機制開展討論，并認為環(huán)境因素，如土壤、水、惡劣環(huán)境和抗生素環(huán)境均可對微生物的分形產(chǎn)生影響。從而為在不同土壤團聚體粒徑中微生物的分布特點研究找到相關(guān)基礎(chǔ)。某些研究成果還介紹了計算機在微生物分形上的應(yīng)用，指出了研究中有待解決的問題和與土壤科學(xué)相結(jié)合的研究方向［17－18］。

3 分形理論和多重分形分析應(yīng)用于土壤地理學(xué)和巖石地質(zhì)學(xué)的研究

眾所周知，分形理論是一種描述高度復(fù)雜但具有標度不變性的非線性科學(xué)。土壤與巖石的成因與空間變異具有高度復(fù)雜性和隨機性。分形理論在此領(lǐng)域內(nèi)也大有用武之地。

利用分形理論，對土壤地理學(xué)可以進行定量分析［19］。該項工作基于總部設(shè)在羅馬的聯(lián)合國糧農(nóng)組織和國際土壤學(xué)會的世界土壤資源報告，它指出把分形模型應(yīng)用于歐洲的土壤表面系統(tǒng)進行科學(xué)研究是可行的。它首先研究并給出了土壤類別分布的冪律模型，及它們與土壤肥沃地區(qū)的關(guān)系；隨后把覆蓋于歐洲表面45種最豐富的土壤作為樣本，計算了它們的分形維數(shù)，其范圍限于3個數(shù)量級內(nèi)。通過分析，揭示了一種土壤分布的標度行為，它足以證明分布在整個歐洲的土壤類別之分形特征，這些發(fā)現(xiàn)使人們認識到用分維數(shù)研究土壤類別，將給歐洲土壤體系的復(fù)雜性分析提供重要作用。

文［20］扼要綜述了分形理論在土壤空間變異研究中的應(yīng)用，著重討論了利用矩方法計算土壤屬性的分維數(shù)，介紹了利用多重分形分析法分析土壤空間變異的最新進展。總之，分形理論已經(jīng)成為量化土壤屬性空間變異性及尺度轉(zhuǎn)換的重要工具。

文［21］以“用多重分形分析法確定玄武巖地質(zhì)磁黃鐵礦的微觀結(jié)構(gòu)”為題，探索與描述礦物顆粒的空間構(gòu)造，確定礦物分布結(jié)構(gòu)，模擬巖石的成因過程。從它們的切片和各種不同的模型即可判斷礦物顆粒的幾何特征和礦物排列的空間復(fù)合狀態(tài)。

位于中國西南部云南省的個舊市錫多金屬礦物的形成地是這項工作的考察點，該項目的目的是運用分形和多重分形方法量化確定磁黃鐵礦顆粒的分布模式，其依據(jù)是7種玄武巖礦物截片樣本所含的基本信息及其微量元素的含量，在環(huán)境控制掃描型電子顯微鏡下所得到的數(shù)字圖像，如圖7。

圖7 環(huán)境控制掃描型電子顯微鏡下的數(shù)字圖像

因為每幅圖像中磁黃鐵礦顆粒的界周和面積是分形可測（DAP）的，它們具有冪律關(guān)系，并具有標度不變性，可用多重分形分析和矩方法對磁黃鐵礦顆粒的空間變異進行表征。從而可推斷合理的玄武巖巖石學(xué)形成過程。在這方面，分形與多重分形分析將提供新發(fā)現(xiàn)，特別是在礦物微觀結(jié)構(gòu)的量化方面，也許它們與巖石塊的地球化學(xué)分析所揭示的巖石發(fā)展學(xué)有著極其密切的關(guān)系。

4 地震學(xué)與分形

說到地震學(xué)與分形，其實在我們生活中最熟悉的一個現(xiàn)實原形就是巖石的分形概念。當巖石破碎時，破碎的巖石塊的（等效）半徑r和巖石塊的數(shù)目N（≥r）之間存在著分形關(guān)系：

巖石是地質(zhì)作用的產(chǎn)物，由一種或一種以上的礦物或巖屑組成的有規(guī)律的集合體。它是組成地殼和巖石圈的基本物質(zhì)，如巖石圈中的花崗巖（圖8）。

圖8 巖石圈中的花崗巖

地球形成以來，在各種自然作用力下也象巖石一樣不斷有破裂過程發(fā)生，那么，地球介質(zhì)是否也和巖石的分形一樣，具有層次結(jié)構(gòu)呢？地球物質(zhì)不均一性的表現(xiàn)是多方面的。不同圈層間、同一圈層的不同構(gòu)造層間、以及同一構(gòu)造層內(nèi)，它的化學(xué)不均一性都有所表現(xiàn)（圖9）。地球內(nèi)部劃分為地殼、地幔和地核三個圈層。地殼主要由各種巖石組成，厚度各地有很大差異，大陸地區(qū)較厚，海洋地區(qū)較薄。地幔的深度從5～70km以下一直到2000km，地核分為二部分，地下2900～5000km深處，叫做外核，5000km以下的深部稱內(nèi)核。巖石圈是地球上部相對于軟流圈而言的堅硬的巖石圈層。厚60～120km，為地震高波速帶。包括地殼的全部和上地幔的上部，由花崗質(zhì)巖、玄武質(zhì)巖和超基性巖組成。地震的震源可以遠遠超過巖石圈的厚度。震源深度超過300km的，稱為深源地震。目前世界上記錄到的震源最深的地震是1934年6月29日發(fā)生于印度尼西亞蘇拉威西島東的地震，震源深度720km，震級為6.9級。深源地震常常發(fā)生在太平洋中的深海溝附近。在馬里亞納海溝、日本海溝附近多次發(fā)生了震源深度達五六百公里的大地震［22］。

圖9 地球的內(nèi)部結(jié)構(gòu)

一個巖石層在移動時碰撞到另外一個巖石層時就會產(chǎn)生擠壓和碰撞，當?shù)叵碌膸r層受力達到一定強度而發(fā)生破裂，就會出現(xiàn)地質(zhì)斷層，斷層沿著破裂面有明顯相對位置移動進而引發(fā)地震，就叫做斷層型地震。根據(jù)巖層沿破裂面的位移方式，又可將斷層分為正斷層、逆斷層和走滑斷層。

較早的研究發(fā)現(xiàn)全球地震活動期間震級m以上的地震數(shù)目N（≥m）與震級m之間有如下關(guān)系式：

其中a，b為常數(shù)。（4.2）中的b值是一個重要參數(shù)，地震學(xué)家對此進行過深入研究。

據(jù)記載，1926～1986年日本東北地區(qū)所發(fā)生的大于5.5級的地震震中分布，求得其分維數(shù)d與b值的關(guān)系為d＝2.3－0.73b。地震學(xué)中，地震斷層面面積A與地震矩M的關(guān)系為

μ是地震斷層附近巖石的剪切模量（材料的一種力學(xué)性能指標），δ是地震時跨斷層兩側(cè)的平均位移，它與斷層面積有關(guān)。根據(jù)地震的錯位模型，可把上式進一步表示為

其中r可看作地震的斷層長度。衡量地震所釋放的能量大小可以用地震震級和地震矩來表示。兩者之間的關(guān)系為

一般情形下，上式中的c＝1.5和d＝9.7也是常數(shù)。把上面的4個式子聯(lián)系起來可以導(dǎo)出

式中N（≥r）表示地震時斷層長度不小于r的數(shù)目，Ar是個常參數(shù)。把c＝1.5代入上式，上式可寫成

這表明，在一群地震中，發(fā)震斷層長度和斷層數(shù)目之間存在著冪律關(guān)系，即一群地震中，斷層長度r的分布是分形的［23］。

目前關(guān)于地震的主要理論支撐是固體力學(xué)，因為地震從彈性能量的積累到突然釋放，主要是一個力學(xué)過程。因此從力學(xué)角度進行研究是很自然的。但是在斷層面上地震錯動的理論模擬尚未在實用意義上展開，仍缺乏理論指導(dǎo)。如果能把經(jīng)典的傳統(tǒng)方法與分形理論相結(jié)合，無疑是有價值的。

（2011年11月1日收到）

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