駐波的能量分析與MATLAB模擬

徐宗瑜 胡小克

(河海大學計算機及信息學院 江蘇 南京 210098)

朱衛(wèi)華

(河海大學理學院 江蘇 南京 210098)

1 引言

駐波是《大學物理》中的一個章節(jié)．它在傳播過程中的能量變化始終是困擾學生學習的一個難點，其理論性較強，難以理解．

對駐波的能量分析，雖然已有不少的文獻作了討論[1，2]，但是分析角度大多選取了能量、能量密度、能流密度中的一個或兩個進行分析．而且理論分析太過于抽象，還是不利于學生對于此問題的深入了解．

本文從能量、能量密度、能流密度三個角度對駐波傳播過程中的能量轉(zhuǎn)換規(guī)律進行全面分析．用Matlab程序?qū)崿F(xiàn)了駐波波形、能量、能流密度的計算機模擬，生動展現(xiàn)其傳播過程，有利于學生對相關(guān)概念的理解．

2 駐波中的能量

2.1 駐波方程

設(shè)有兩個振幅均為A,角頻率為ω,波長為λ的相干諧振波,一個沿x軸正方向傳播,另一個沿x軸負方向傳播．其波動方程分別為

(1)

任選一交疊點為原點,并在x=0時振動質(zhì)點向上移動到最大位移時為計時起點,得到橫駐波方程為[1]

(2)

(3)

波線上振幅始終為最大值的點是波腹，波腹位于

(4)

介于波腹和波節(jié)之間的質(zhì)元的振幅則介于最大值和最小值之間．

2.2 駐波的動能和勢能

設(shè)波是在密度為ρ的彈性均勻介質(zhì)中傳播，現(xiàn)在坐標為x處取一體積元為dV,稱之為介質(zhì)體元，其質(zhì)量為dm=ρdV,視該體積元為一小體積元．由式(2)可求出介質(zhì)體元的振動速度

(5)

由此得介質(zhì)體元的動能為

(6)

介質(zhì)體元產(chǎn)生相對彈性形變

(7)

由此得介質(zhì)體元的彈性形變勢能為

(8)

式中k為彈性模量

(9)

2.3 駐波的能量和能量密度

由上面的式(6)和式(8)可得，介質(zhì)體元的總能量為

dE=dEk+dEp=

(10)

由式(10)得介質(zhì)的能量密度為

(11)

可證，平均能量密度為

(12)

根據(jù)dEk，dEp，dE，w的表達式可知,各質(zhì)元的動能、勢能和機械能隨時間作周期性的變化．

3 駐波傳播過程中的能量轉(zhuǎn)換

3.1 總能量的轉(zhuǎn)換

體積元dV=Sdx，其中S為體積元橫截面積，則任一相鄰波節(jié)波腹間的總能量為[2]

(13)

其中應(yīng)用了積分公式

同理，任一不相鄰波節(jié)波腹間的總能量為

(14)

由此證明了不相鄰波節(jié)波腹間的總能量也守恒．這一規(guī)律還可以進一步推廣．設(shè)某一波節(jié)位于x1處,點a位于x1+Δx處;某一波腹位于x2處,某點b位于x2+Δx處，稱a和b為一對“對應(yīng)”位置點．由式(10)可得,一對“對應(yīng)”位置點間的總能量為

(15)

由此證明了任一波節(jié)波腹間,任一一對“對應(yīng)”位置間的總能量都守恒，即能量不能從波節(jié)或波腹流出或流入,能量被禁錮在相鄰波節(jié)與波腹之間,即駐波在振動過程中不存在能量的定向傳播．

3.2 波節(jié)和波腹處能量密度

將式(3) 和式(4)式分別代入式(11)可得, 波節(jié)處的能量密度為

w1=2ρA2ω2cos2ωt

(16)

波腹處的能量密度為

w2=2ρA2ω2sin2ωt

(17)

在任意時刻, 且無論所考慮的波節(jié)和波腹是否相鄰, 均有

w1+w2=2ρA2ω2

(18)

wa=2ρA2ω2(sin2Δxsin2ωt+cos2Δxcos2ωt)

(19)

wb=2ρA2ω2(cos2Δxsin2ωt+sin2Δxcos2ωt)

(20)

則wa+wb=2ρA2ω2

(21)

3.3 能流密度

通常，大多數(shù)教材都用能流密度(又稱波強)來簡要描述波傳播能量的本領(lǐng)，基于此，主要討論簡諧波的(瞬時)能流密度——單位時間內(nèi)通過垂直于波的傳播方向的單位面積的能量(見圖1)，即

(22)

圖1

兩相干波的能流密度分別為

(23)

I=I1-I2=

(24)

4 計算機模擬駐波能量的變化

為了更好地展現(xiàn)駐波能量的變化，利用Matlab7.0對駐波的傳播過程進行了計算機編程模擬．

如圖2(a)所示，可以同時展現(xiàn)駐波的形成和此過程中動能密度、勢能密度、總能量密度以及能流密度的變化特點．

圖2

這些圖都形象地說明了駐波不是駐定不變的波,在相鄰波節(jié)和波腹間能量的轉(zhuǎn)移和轉(zhuǎn)化一刻也沒有停止過．計算機的模型情況可以進一步充分說明之前的理論說明是正確的．程序運行時可以設(shè)置駐波的振幅、角頻率和波長，程序中用不同的顏色來表示駐波波形、動能、勢能、總能量和能流密度,便于觀察、區(qū)別和分析．通過選擇相應(yīng)指令,可實現(xiàn)對不同情況下駐波能量變化和轉(zhuǎn)移特點的觀察和分析．

5 結(jié)論

(1)駐波在波節(jié)與波腹之間的能量守恒．因存在兩個方向相反、大小相等的能流，所以駐波的能流密度在波節(jié)和波腹處皆為零．

(2)在振動過程中能量不斷地從波節(jié)到波腹間相互轉(zhuǎn)移．且各段上的能量總和是不變的．

(3)從整體看駐波不傳播任何能量，駐波沒有單向的能量傳輸．

參考文獻

1 郭建軍.關(guān)于駐波能量的分析.大學物理，2005(24)：23～25

2 宋德山,張秀珍. 駐波的能量分析.天中學刊, 2002( 5)