用矢量三角形法研究拋體運(yùn)動(dòng)

羅章

(湖南師范大學(xué)物理與信息科學(xué)學(xué)院 湖南 長(zhǎng)沙 410006；岳陽(yáng)市第十五中學(xué) 湖南 岳陽(yáng) 414000)

根據(jù)物體在剛拋出時(shí)的速度方向不同，拋體運(yùn)動(dòng)分為平拋運(yùn)動(dòng)和斜拋運(yùn)動(dòng).描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行合成與分解通常按照平行四邊形法則進(jìn)行.矢量分解法是解決力學(xué)問(wèn)題的一種重要方法，但是在一般力學(xué)教材中只介紹常用的分解方法——正交分解法，因此初學(xué)者大多只會(huì)用此方法解決矢量問(wèn)題.其實(shí)，由矢量的線性相關(guān)性理論，任何矢量都可以表示成幾個(gè)特定方向的單位矢量的線性組合.因此，本文運(yùn)用矢量三角形法研究拋體運(yùn)動(dòng)，從而對(duì)用此方法解決矢量問(wèn)題有另一種理解.

拋體運(yùn)動(dòng)是勻變速運(yùn)動(dòng)，加速度恒定，為重力加速度g.由于位移矢量和速度矢量隨時(shí)間變化，所以通常解題時(shí)需要先確定研究的位置(狀態(tài))，再根據(jù)平行四邊形定則得到兩個(gè)矢量三角形，即位移三角形和速度三角形.圖1為平拋運(yùn)動(dòng)，圖2為斜拋運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形.

圖1

圖2

【例1 】如圖3所示，從傾角為θ=45°的斜面頂端，以初速度v0水平拋出一小球，不計(jì)空氣阻力，若斜面足夠長(zhǎng)，則小球拋出后離開(kāi)斜面的最大距離是多少？

解析：此題常見(jiàn)的解決方法是分解法，即將小球的初速度和加速度沿斜面和垂直于斜面分解.這樣分解比沿水平方向和豎直方向分解要簡(jiǎn)單.該解法見(jiàn)諸各種資料，此不贅述.下面從分析拋體運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)矢量三角形的方法解此題.

圖3 圖4

由題意分析可知，當(dāng)物體的速度方向平行于斜面時(shí)，離斜面最遠(yuǎn).經(jīng)過(guò)時(shí)間t時(shí)作物體的位移矢量三角形和速度矢量三角形，如圖4.

在位移矢量三角形中有

(1)

在速度矢量三角形中有

(2)

將θ=45°代入式(1)、(2)得

由幾何知識(shí)有

(3)

代入數(shù)據(jù)得

【例2】 如圖5所示，大炮在山腳直接對(duì)著傾角為α的山坡發(fā)射炮彈，炮彈初速度為v0，要在山坡上達(dá)到盡可能遠(yuǎn)的射程，則大炮的瞄準(zhǔn)角θ應(yīng)為多少？最遠(yuǎn)射程有多少？(不計(jì)空氣阻力)

圖5

解析：此題常見(jiàn)解法是把速度與加速度沿斜面和垂直于斜面分解，建立兩個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求解.下面利用拋體運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)矢量三角形來(lái)解此題.

圖6

如圖6所示，作炮彈運(yùn)動(dòng)的速度矢量三角形.由正弦定理有

(4)

取前一個(gè)等號(hào)并化簡(jiǎn)得

代入第二個(gè)等號(hào)并解得

(5)

【例3】 從高h(yuǎn) 處斜向上拋出一初速度大小為v0的物體，討論拋出角θ為多大時(shí)，物體落地的水平位移最大.(不計(jì)空氣阻力)

解析：例2用到了位移矢量三角形,本題嘗試用速度矢量三角形來(lái)討論.設(shè)落地時(shí)速度大小為v，作速度矢量三角形,如圖7所示.

圖7

由動(dòng)能定理，易得v的大小

(6)

設(shè)矢量三角形的面積為S,則

(7)

式中v0tcosθ即為物體水平方向的位移x.

因此，只需考慮何時(shí)矢量三角形有最大面積即可.由于三角形面積S也可以寫(xiě)成

(8)

由面積相等

得水平位移最大值為

此題也可以用位移矢量三角形討論，求拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)位移的最大值，即可轉(zhuǎn)化為水平位移的最大值，讀者可自行嘗試.

對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)，恰當(dāng)?shù)剡x擇方法，是順利、高效地解決問(wèn)題的關(guān)鍵.文中討論的用位移矢量三角形和速度矢量三角形解決拋體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題需要的數(shù)學(xué)知識(shí)有正弦定理、三角形面積公式、三角函數(shù)求極值等.