一個傳統(tǒng)力學(xué)問題的新探討

林輝慶

(杭州市余杭高級中學(xué) 浙江 杭州 311100)

1 一道傳統(tǒng)的力學(xué)題

圖1所示為某鋼鐵廠的鋼錠傳送裝置，斜坡長L=20 m，高h=2 m，斜坡上緊排著一排滾筒．長l=8 m，質(zhì)量m=1×103kg的鋼錠ab放在滾筒上，鋼錠與滾筒間的動摩擦因數(shù)為μ=0.3．工作時由電動機帶動所有滾筒順時針勻速轉(zhuǎn)動，使鋼錠沿斜坡向上移動，滾筒邊緣的線速度均為v0=4 m/s．假設(shè)關(guān)閉電動機的瞬時所有滾筒立即停止轉(zhuǎn)動．取當?shù)氐闹亓铀俣萭=10 m/s2．試求鋼錠從坡底(如圖1所示位置)由靜止開始運動，直到b端到達坡頂?shù)倪^程中電動機至少需要工作的時間．

圖1

2 常見解析

斜坡與水平面夾角θ的正弦

代入數(shù)據(jù)得

sinθ=0.1

初始階段鋼錠做加速運動，加速度為

代入數(shù)據(jù)得

a1=2 m/s2

經(jīng)過時間t1，鋼錠的速度與滾筒邊緣的線速度相等

代入數(shù)據(jù)得

t1=2 s

t1時間鋼錠的位移為

代入數(shù)據(jù)得

x1=4 m

接著鋼錠做勻速運動．為使電動機的工作時間最小，在鋼錠的b端還沒有到達坡頂時關(guān)閉電動機，鋼錠由于慣性向上沖到坡頂，整個過程的v-t圖線如圖2所示．

圖2 鋼錠做勻速運動的v-t圖線

鋼錠上沖的加速度大小為

代入數(shù)據(jù)得

a2=4 m/s2

鋼錠上沖的距離為

代入數(shù)據(jù)得

x2=2 m

鋼錠勻速運動的位移為

x0=L-l-x1-x2

代入數(shù)據(jù)得

x0=6 m

鋼錠勻速運動的時間為

代入數(shù)據(jù)得

t0=1.5 s

電動機最小工作時間為

t小=t1+t0

代入數(shù)據(jù)得

t小=3.5 s

3 來自學(xué)生的新探討

上題是中學(xué)物理常見的傳送帶問題的變式，就解題思路來說，它是個老問題．上述解答一直被中學(xué)師生所認同，各種教學(xué)參考資料和中學(xué)物理教學(xué)雜志，也都沒有對此提出過異議．在2011學(xué)年的高三復(fù)習(xí)中，筆者的一名學(xué)生提出了不同的觀點．

這個學(xué)生指出，把圖2中t1～t1+t0時間內(nèi)的勻速運動，改為電動機關(guān)閉、啟動、關(guān)閉、啟動……的變速運動，讓鋼錠在慣性的作用下運動更多的路程，電動機的啟動時間會更?。?/p>

設(shè)“關(guān)閉、啟動”n次，電動機關(guān)閉后，鋼錠速度減小到vn，立即重新啟動，鋼錠的v-t圖線如圖3所示．由運動學(xué)公式有

得到

圖3 重新啟動鋼錠的v-t圖線

在不斷減速、加速的階段，電動機開動的總時間為

(1)

取n=3，得到

取n=4，得到

取n=5，得到

可見，只要電動機關(guān)閉、開動的次數(shù)n≥4，則t0n

把式(1)化為

(2)

從式(2)看出，n越大，t0n越?。頽→∞，得到t0n的最小值

代入數(shù)據(jù)得

t0小=1 s

(3)

圖4 鋼錠的平均速度圖線

到此，另有學(xué)生提出，在鋼錠的加速階段，即在圖2中的0～t1時間，通過電動機關(guān)閉、啟動的運行方式，利用慣性滑行，是否也能減小電動機總的啟動時間？如圖5，在速度還沒有達到v0時，電動機的一個關(guān)閉、啟動“動作”，使速度減小Δv后，再加速到原來的值，與速度達到v0后，電動機的一個關(guān)閉、啟動“動作”，速度減小Δv后，再加速到與原來的值相比，兩者所用的時間Δt相同，但鋼錠的位移(v-t圖線下的面積)是后者大．反之，要使速度還沒有達到v0時電動機的一個關(guān)閉、啟動的“動作”，與速度達到v0后電動機的一個關(guān)閉、啟動“動作”，鋼錠的位移相同，所用的時間一定是后者?。裕闺妱訖C總的啟動時間最小，應(yīng)該讓鋼錠從靜止開始一直加速到v0，然后，讓電動機不斷地關(guān)閉、啟動，再在適當?shù)臅r候關(guān)閉電動機，使鋼錠減速運動到坡頂時速度剛好為零．

圖5

這樣，要把鋼錠從坡底運送到坡頂，電動機的最小工作時間應(yīng)為t小=t1+t0小=3 s，而不是3.5 s．

隨之，又有學(xué)生提出了這樣一個問題，采用不斷關(guān)閉、開動的方式，能減小電動機總的啟動時間，那么，能否減小電動機做的總功呢？

設(shè)在一個關(guān)閉、啟動“動作”中，鋼錠加速的時間為Δt，鋼錠的位移為Δx，由運動學(xué)公式有

v0-vn=a1Δt

(4)

(5)

鋼錠對滾筒的滑動摩擦力為μmg，滾筒做勻速轉(zhuǎn)動，電動機對鋼錠做的功

ΔW′=μmgv0Δt

(6)

由式(4)～(6)及a1和a2的表達式得到

(7)

在不斷的減速、加速階段，電動機做的總功

(8)

如果鋼錠速度達到v0后做勻速運動，鋼錠作用于滾筒的是靜摩擦力，大小為mgsinθ，電動機做的功為

W=mgsinθx0

(9)

聯(lián)立式(8)、(9)得

(10)

由于

所以有

可見，采用不斷關(guān)閉、啟動電動機的方式，電動機做的總功不但不會減小，反而增加了．這是容易理解的，鋼錠勻速運動，電動機做的功等于鋼錠重力勢能的增加；電動機不斷地關(guān)閉和啟動，鋼錠與滾筒之間有相對運動，電動機做的總功等于鋼錠重力勢能的增加與鋼錠與滾筒之間摩擦產(chǎn)生的熱量之和．

需要說明的是，讓電動機不斷地關(guān)閉、啟動很多次，在實際操作上是不可取的，但上述探討仍是有意義的．在理論上，它使我們認識到，要使物體從一個地方移動到另一個地方，盡量利用慣性滑行，能減小外力的作用時間．在教學(xué)上，這樣的探討，能培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和探究能力．

4 教學(xué)啟示

這個事例對教學(xué)的啟示是，教師由于反復(fù)地接觸學(xué)科知識和學(xué)科問題，容易形成思維定勢，容易局限于常規(guī)的理解，從而失去發(fā)現(xiàn)問題的敏銳眼光，相反，初學(xué)的學(xué)生，思維和認知往往更加敏銳，他們會基于自己的知識背景，從更一般的角度思考和分析學(xué)科問題．教師的觀點與學(xué)生的觀點相比，有時教師的觀點較為片面甚至是錯誤的，而學(xué)生的觀點則更具有創(chuàng)造性．所以,在教學(xué)中教師應(yīng)該充分發(fā)揚民主，為學(xué)生發(fā)表各種觀點創(chuàng)造條件，并把學(xué)生的觀點當做最重要的教學(xué)資源，鼓勵不同觀點交鋒、碰撞，使課堂不斷閃爍智慧的火花，使教學(xué)充滿生命的活力．