磁場范圍的最小面積

鄔劍峰

(奉化中學(xué) 浙江 寧波 315500)

在平常教學(xué)過程中，筆者遇到這樣的一道題.

【題目】電子質(zhì)量為m，電荷量為e，如圖1所示，從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿xOy平面射入第一象限，射入時(shí)速度方向不同，速度大小均為v0．現(xiàn)在某一區(qū)域加一垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場方向垂直紙面向外.若這些電子穿過磁場后都能垂直射到熒光屏MN上，熒光屏與y軸平行.求：

(1)熒光屏上光斑分布的長度；

(2)所加磁場范圍的最小面積．

圖1

分析：(1)如圖2所示，求光斑分布長度，關(guān)鍵是找到兩個(gè)邊界點(diǎn)，初速度方向沿x軸正方向的電子，沿圓弧OB運(yùn)動(dòng)到P；初速度方向沿y軸正方向的電子，沿圓弧OC運(yùn)動(dòng)到Q．電子在磁場中的半徑為

由幾何關(guān)系可知

圖2

(2)沿任一方向射入第一象限的電子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后都能垂直打到熒光屏MN上，所加最小面積的磁場的邊界是以O(shè)′(0，R)為圓心，R為半徑的圓的一部分，如圖2中實(shí)線所示，所以磁場范圍的最小面積

筆者查閱了多本參考書和網(wǎng)上的解答，盡管解答的方法有所不同，但其所加磁場范圍的最小面積是跟上面的結(jié)論是一樣的，筆者認(rèn)為這個(gè)問題還可以進(jìn)一步探討．

要弄清這個(gè)問題，首先來要了解兩個(gè)推論(下面討論的磁場都為勻強(qiáng)磁場，且方向垂直紙面向外)：

(1)如果磁場區(qū)域(圓形)的半徑R1和電子在該磁場區(qū)域的偏轉(zhuǎn)半徑R2相等時(shí)，那么在磁場邊緣O點(diǎn)向各個(gè)方面發(fā)射的電子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后，電子將沿同一方向運(yùn)動(dòng)．如圖3(a)所示．(利用電子入射點(diǎn)、磁場區(qū)域圓心、電子出射點(diǎn)和電子運(yùn)動(dòng)軌跡圓心構(gòu)成菱形，即可證明此結(jié)論)

所加磁場的最小范圍為一“樹葉”形狀.

圖3

圖4

讓我們來看另一個(gè)推論：如圖5所示，在單邊界的磁場區(qū)域里，通過幾何關(guān)系可知，如果電子與邊界成θ角進(jìn)入磁場，那么電子一定與邊界成θ角離開磁場．

圖5

圖6

結(jié)語：求解磁場區(qū)域的最小面積一般從找出邊界點(diǎn)或邊界線入手，然后再確定區(qū)域形狀，最后利用幾何關(guān)系求出相應(yīng)面積，如果題目沒有特殊的要求，可以通過“割補(bǔ)”把整個(gè)區(qū)域進(jìn)行分解，以求得最小面積．