水平轉(zhuǎn)臺上圓周運動模型的構(gòu)建及應用

薛華國 周棟梁

(灌南高級中學 江蘇 連云港 222500)

研究水平轉(zhuǎn)臺上的圓周運動，需要學生構(gòu)建起相應的物理模型；在此基礎(chǔ)上，再對物體的受力、臨界狀態(tài)等方面進行分析.這是高中物理教學中的一個難點，突破關(guān)鍵是物理模型的構(gòu)建.本文從兩個基本模型出發(fā)，構(gòu)建起水平轉(zhuǎn)臺上圓周運動的物理模型.

1 兩個基本模型

對于水平轉(zhuǎn)臺上的圓周運動問題，有如下兩個最基本的物理模型，它們是構(gòu)建水平轉(zhuǎn)臺上圓周運動模型的基礎(chǔ).

1.1 基本模型1

如圖1所示，在光滑的水平轉(zhuǎn)臺上，一長為l的細線，一端拴一質(zhì)量為m的物塊，另一端拴在轉(zhuǎn)軸上.物塊以角速度ω做勻速圓周運動.

在這一物理模型中，細線的拉力提供物塊做圓周運動的向心力，即

T=mlω2

圖1 圖2

1.2 基本模型2

如圖2所示，在水平轉(zhuǎn)臺上距轉(zhuǎn)軸l處放一質(zhì)量為m的物體，它與轉(zhuǎn)臺之間的動摩擦因數(shù)為μ，隨同轉(zhuǎn)臺一起以角速度ω做勻速圓周運動.設(shè)物體與轉(zhuǎn)臺間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，以下模型中同此條件.

在這一物理模型中，臺面對物體的靜摩擦力提供小球做圓周運動的向心力，設(shè)其隨同轉(zhuǎn)臺一起做圓周運動的最大角速度為ω，則有

2 構(gòu)建的模型

模型構(gòu)建的策略是在兩個基本模型的基礎(chǔ)上，建立起相應的物理模型.

2.1 核心模型的構(gòu)建

在圖1的水平轉(zhuǎn)臺(設(shè)轉(zhuǎn)臺的上表面粗糙)上有一長為l的細線，一端系一質(zhì)量為m的物體，另一端系在轉(zhuǎn)軸上.它與轉(zhuǎn)臺之間的動摩擦因數(shù)為μ，隨同轉(zhuǎn)臺一起以角速度ω做勻速圓周運動.

這是水平轉(zhuǎn)臺上圓周運動問題中最為重要的物理模型.它是由以上兩個基本模型結(jié)合而成，是解決此類問題的核心.可稱之為核心模型.

對此核心模型，繩子拉力是被動性的，在物體與轉(zhuǎn)臺之間的靜摩擦力達到最大時，此時轉(zhuǎn)臺的角速度設(shè)為ω0，則有

解得

當ω>ω0時，細線開始出現(xiàn)拉力，此時物體做圓周運動的向心力由繩子拉力T和最大靜摩擦力共同提供，即有

T+μmg=mlω2

2.2 基本模型與核心模型間的結(jié)合

在構(gòu)建起核心模型的基礎(chǔ)上，通過基本模型與核心模型間的結(jié)合，可以構(gòu)建起如下3個經(jīng)典模型.

(1)經(jīng)典模型1

如圖3所示，在水平轉(zhuǎn)臺上放置質(zhì)量分別為M和m的兩物體，M置于轉(zhuǎn)軸上，兩物體用繩子連接，連線沿半徑方向.它們與轉(zhuǎn)臺間的動摩擦因數(shù)都為μ.

(2)經(jīng)典模型2

如圖4所示，在水平轉(zhuǎn)臺上放置質(zhì)量分別為M和m的兩物體，置于圓心的同側(cè)，兩物體用繩子連接，連線沿半徑方向.它們與轉(zhuǎn)臺間的動摩擦因數(shù)都為μ.

圖3 圖4

對于以上兩個經(jīng)典模型，存在兩個臨界狀態(tài):一是轉(zhuǎn)臺的角速度ω達到多大時，繩子開始有拉力；二是轉(zhuǎn)臺的角速度ω達到多大時，系統(tǒng)與轉(zhuǎn)臺發(fā)生相對滑動.

基于以上特點，與此模型相對應的基本的命題方式是求出相應的臨界角速度.拓展性的命題方式是作出系統(tǒng)與轉(zhuǎn)臺不發(fā)生相對滑動時，繩子拉力的F-ω2圖像.

(3)經(jīng)典模型3

圖5

如圖5所示，水平轉(zhuǎn)臺可繞豎直中心軸轉(zhuǎn)動，平臺上疊放著兩個大小均可不計的物塊A和B，B物塊用長為l的細線與轉(zhuǎn)軸相連，A與B間的動摩擦因數(shù)為μ1，B與轉(zhuǎn)盤間的動摩擦因數(shù)為μ2.

對此模型，需要判斷A，B兩物體是先分離，還是繩子先有拉力，然后A，B兩物體再分離.為此，需對以下兩種情況進行討論.

1)當μ1<μ2時，存在兩個臨界狀態(tài)：一是轉(zhuǎn)臺的角速度ω達到多大時，A從B上飛出；另一個是ω達到多大時，繩子開始有拉力.

2)當μ1>μ2時，存在兩個臨界狀態(tài)：一是轉(zhuǎn)臺的角速度ω達到多大時，繩子開始有拉力；另一個是角速度ω達到多大時，A從B上飛出，其中在A從B上飛出前后，繩子拉力有突變.

2.3 核心模型間的結(jié)合

在水平轉(zhuǎn)臺上的圓周運動模型中，還有一類經(jīng)典模型，它是通過核心模型間的演化而構(gòu)建起來的,也稱為經(jīng)典模型4.

如圖6所示，在水平轉(zhuǎn)臺上放置質(zhì)量分別為M和m的兩物體，置于圓心的兩側(cè)，其間用繩子連接，連線方向沿半徑方向，它們與轉(zhuǎn)臺間的動摩擦因數(shù)都為μ(設(shè)m離轉(zhuǎn)軸較近).

圖6

對此模型，可以認為是由兩個核心模型演化而成，它存在三個臨界狀態(tài):一是轉(zhuǎn)臺的角速度ω達到多大時，繩子開始有拉力；二是轉(zhuǎn)臺的角速度ω達到多大時，m所受靜摩擦力等于零；三是轉(zhuǎn)臺的角速度ω達到多大時，系統(tǒng)與轉(zhuǎn)臺發(fā)生相對滑動.

基于以上特點，與此模型相對應的基本的命題方式是求出三種臨界情況的角速度.拓展性的命題有：

(1)作出系統(tǒng)與轉(zhuǎn)臺不發(fā)生相對滑動時，繩子拉力的F-ω2圖像;

(2)作出系統(tǒng)與轉(zhuǎn)臺不發(fā)生相對滑動時，m所受靜摩擦力大小Ff-ω2圖像.

在以上4個經(jīng)典模型中，有一個共同點，即距離中心轉(zhuǎn)軸較遠的物體，其動力學方程與核心模型完全相同，即

T+μmg=mlω2

3 應用

【例1】利用圖5，水平轉(zhuǎn)盤可繞豎直中心軸轉(zhuǎn)動，盤上放著質(zhì)量均為1 kg的A，B兩個物塊.B物塊用長為0.25 m的細線與固定在轉(zhuǎn)盤中心處的力傳感器相連.兩個物塊和傳感器的大小均可不計.細線能承受的最大拉力為8 N. A，B間的動摩擦因數(shù)為0.4，B與轉(zhuǎn)盤間的動摩擦因數(shù)為0.1，且可認為最大靜摩擦力等于滑動摩擦力.轉(zhuǎn)盤靜止時，細線剛好伸直，傳感器的讀數(shù)為零.當轉(zhuǎn)盤以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動時，傳感器上就會顯示相應的讀數(shù)F.試通過計算在圖7中作出F-ω2圖像. (g取10 m/s2)

圖7

解析：在本題中，角速度ω取不同值，對應以下幾種模型.

(1)當B與轉(zhuǎn)臺將發(fā)生相對滑動時其角速度為

故ω∈[0,2]時，繩子拉力為零，對應于基本模型2.

(2)當A物塊所受的摩擦力大于最大靜摩擦力時，A將要脫離B物塊，此時的角速度可由

得到

此時繩子的張力大小等于6 N，而小于繩子所能承受的最大拉力，繩子未斷.故ω∈[2,4]時，繩子拉力T與ω2的關(guān)系為

T1=2mω2r-μ12mg

對應于核心模型.

(3)當角速度繼續(xù)增大時，A脫離B物塊，只有B物塊做勻速圓周運動，仍對應于核心模型.故有

則有

ω3=6 rad/s

T2=mω2r-μ1mg

代入數(shù)據(jù)，可得F-ω2圖像如圖8所示.

圖8

【例2】在圖9的娛樂節(jié)目中，人由高處跳到高速轉(zhuǎn)動的水平轉(zhuǎn)臺上并雙腳觸臺.設(shè)人腳與轉(zhuǎn)臺間的動摩擦因數(shù)為μ.試把這一實際問題抽象成相應的物理模型，解決以下幾個問題.

(1)如果人跳到轉(zhuǎn)臺上時，一只腳恰好落到轉(zhuǎn)軸上，且兩腳的連線沿半徑方向.為使人不被向外甩出，兩腳之間的距離l應滿足什么條件？

(2)如果人跳到轉(zhuǎn)臺上時，兩腳分居轉(zhuǎn)軸兩側(cè)，且其連線仍沿半徑方向.試證明此種方式比(1)中方式更穩(wěn)定.

(3)如果人由(1)中方式站起來，試說明人緩慢站起與快速站起哪種方式更穩(wěn)定.

圖9

解析：(1)對此情況，可將其抽象成圖10所示的物理模型，其中兩物體的質(zhì)量相同，其間用長為l的繩子相連.

要使人不被甩出，兩物體與臺面間的摩擦力均達到最大靜摩擦力fm，則有

T=fm

(1)

fm=μmg

(2)

T+fm=mω2l

(3)

由式(1)～(3)可解得

圖10 圖11

(2)對此情況，可將其抽象成圖11所示的物理模型，其中兩物體的質(zhì)量相同.

設(shè)左側(cè)物體離軸心的距離為r1，右側(cè)離軸心的距離為r2，r1

(4)

對于右側(cè)物體有

(5)

fm=μmg

(6)

r2+r1=l

(7)

根據(jù)式(4)～(7)可解得

ω1>ω

故以方式(2)跳到轉(zhuǎn)臺比方式(1)更為穩(wěn)定.

(3)人緩慢站起來時FN=mg， 因而fm=μmg.而人快速站起來時，由于人處于先超重狀態(tài)后失重，在失重狀態(tài)時，F(xiàn)N