基于Bayes理論的永磁無(wú)刷電機(jī)的可靠性研究

何銀光，胡小東，常榮勝

（克拉瑪依職業(yè)技術(shù)學(xué)院，新疆 獨(dú)山子，833600）

前言

永磁無(wú)刷電機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、速度調(diào)節(jié)能力強(qiáng)、功率高以及功率密度高的優(yōu)勢(shì)，由于其自身強(qiáng)大的技術(shù)優(yōu)勢(shì)使其在工業(yè)領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。永磁無(wú)刷電機(jī)的可靠性評(píng)估可以有效地對(duì)永磁無(wú)刷電機(jī)進(jìn)行可靠性水平的定量評(píng)價(jià)，通過(guò)可靠性分析可找出其薄弱環(huán)節(jié)，從而能夠有利于永磁無(wú)刷電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)和性能改進(jìn)，進(jìn)而提高其在工業(yè)領(lǐng)域應(yīng)用的可靠性。

傳統(tǒng)的可靠性評(píng)估需要大量的可靠性數(shù)據(jù)，而對(duì)于永磁無(wú)刷電機(jī)，由于經(jīng)濟(jì)條件和可靠性實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)等原因，進(jìn)行大子樣的可靠性分析比較難于實(shí)現(xiàn)，因此，需要需求一種可靠性評(píng)估方法進(jìn)行小子樣的可靠性分析。Bayes理論是一種小子樣的可靠性評(píng)估方法，可以提高無(wú)刷永磁電機(jī)可靠性分析的效率，利用Bayes理論可以對(duì)考慮不同的實(shí)驗(yàn)之前的數(shù)據(jù)信息，從而能夠提高無(wú)刷永磁電機(jī)的失效數(shù)據(jù)，進(jìn)而可以提高無(wú)刷永磁電機(jī)可靠性評(píng)估的效率。

1 Bayes理論概述

設(shè)事件A和彼此不相容的m個(gè)事件E1,E2, … ,Em的一個(gè)事件，并且僅僅能和該事件同時(shí)發(fā)生，驗(yàn)前概率用P(Ei)來(lái)表示。一次試驗(yàn)結(jié)束以后，結(jié)果為事件B，根據(jù)Bayes條件概率可以獲得如下的條件概率表達(dá)式：

由式（1）可知，當(dāng)P(Ei)和P(Ei|B)已知時(shí)，驗(yàn)后概率即可求出。驗(yàn)后的信息和驗(yàn)前的知識(shí)、驗(yàn)前的信息和驗(yàn)后的信息是相互約束的。為了能夠成功地處理概率問(wèn)題，應(yīng)該充分地利用驗(yàn)前信息為決策提供信息支持。

式（1）的隨機(jī)變量的分布形式如下所示：

式中：Y表示離散隨機(jī)變量；φ表示未知分布參數(shù)，φ∈Φ；∏(φ)表示驗(yàn)前概率密度；∏(φ|y)表示產(chǎn)生觀測(cè)值x后的驗(yàn)后概率密度。

當(dāng)Y表示連續(xù)型的隨機(jī)變量時(shí)，驗(yàn)后概率密度可以表示為如下的形式：

式中：P(y/φ)表示在φ下Y的條件概率密度函數(shù)。

進(jìn)行m次試驗(yàn)，可以獲得子樣Y=(Y1,Y2, …,Ym)，進(jìn)而可以獲得φ在給定Y下的驗(yàn)后分布，相應(yīng)的驗(yàn)后概率分布密度可以表示為如下的形式：

式中：Φ表示參數(shù)集；P(Y/)φ表示相應(yīng)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

經(jīng)過(guò)試驗(yàn)之后，在∏(φ|y)中包括所有的關(guān)于φ的信息，根據(jù) Bayes理論，以∏(φ|y)為先驗(yàn)的φ統(tǒng)計(jì)推斷可以表示為如下的形式：

2 Weibull分布下永磁無(wú)刷電機(jī)的Bayes理論模型

（1）基于Bayes理論永磁無(wú)刷電機(jī)可靠性分析的思路

Weibull分布可以表達(dá)為不同的形狀，并且能夠適應(yīng)多種試驗(yàn)數(shù)據(jù)。設(shè)永磁無(wú)刷電機(jī)的壽命服從Weibull分布W(n,)σ，相應(yīng)的分布函數(shù)可以表示為如下的形式：

式中：n表示形狀因子，n＞0；σ表示特征壽命，σ＞ 0。

從m個(gè)定時(shí)截尾時(shí)刻t1＜t2＜…＜tm得到m組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在ti時(shí)刻檢測(cè)qi個(gè)永磁無(wú)刷電機(jī)樣本，如果全部的永磁無(wú)刷電機(jī)不失效，則可以得到一組無(wú)失效的數(shù)據(jù)(ti,ri) ，ri表示在ti時(shí)正在進(jìn)行的檢測(cè)的永磁無(wú)刷電機(jī)樣本，ri=q1+q2+…+qm。

永磁無(wú)刷電機(jī)可靠性分析的基本思路如下：

（a）建立永磁無(wú)刷電機(jī)失效率的先驗(yàn)分布。

（b）建立先驗(yàn)分布超參數(shù)分布，利用Bayes理論，進(jìn)行失效率的點(diǎn)估計(jì)。

（c）利用配分布曲線法進(jìn)行永磁無(wú)刷電機(jī)的參數(shù)估計(jì)。

（2）可靠性參數(shù)的估計(jì)

設(shè)永磁無(wú)刷電機(jī)在ti時(shí)刻的失效概率為λi，可以表示為如下的形式：

以Beta分布為失效概率λi的先驗(yàn)分布，相應(yīng)的表達(dá)式如下所示：

式中：B(l,k)表示Beta分布函數(shù)，l和k表示超因子，均為不為零的正值。根據(jù)Beta分布函數(shù)的特點(diǎn)，確定l和k的取值范圍為l≤1，k≥1，然后進(jìn)行下一步的先驗(yàn)，對(duì)應(yīng)的表達(dá)式可以表示為如下的形式：

式中：l和k相互獨(dú)立，d不應(yīng)該過(guò)高，從而能夠防止λi的先驗(yàn)密度尾巴過(guò)細(xì)，能夠保證Bayes估計(jì)的魯棒性，根據(jù)永磁無(wú)刷電機(jī)可靠性分析的實(shí)際，定義c=6-7。進(jìn)而，λi的先驗(yàn)分布可以表示為如下的形式：

利用 Bayes理論將先驗(yàn)和似然函數(shù)聯(lián)系起來(lái)獲得λi的后驗(yàn)分布，后驗(yàn)均值對(duì)λi進(jìn)行估計(jì)，可以表示為如下的形式：

利用相同的步驟，可以獲得λi-1,λi-2,…,λ1先驗(yàn)分布的點(diǎn)估計(jì)，然后，根據(jù)配分布曲線法獲得永磁無(wú)刷電機(jī)的可靠性參數(shù)估計(jì)。

3 永磁無(wú)刷電機(jī)的可靠性試驗(yàn)

永磁無(wú)刷電機(jī)可靠性試驗(yàn)設(shè)計(jì)如下：在可靠性試驗(yàn)過(guò)程中，永磁無(wú)刷電機(jī)是可修復(fù)系統(tǒng)，當(dāng)其發(fā)生失效時(shí)立即進(jìn)行修復(fù)，并且將試驗(yàn)時(shí)間和失效次數(shù)記錄下來(lái)，可靠性試驗(yàn)采取了截尾試驗(yàn)，在150h，200h，250h，300h，350h，400h，450h，500h 進(jìn)行記錄，并且撰寫(xiě)可靠性試驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)試報(bào)告，永磁無(wú)刷電機(jī)可靠性試驗(yàn)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表1所示。

表1 永磁無(wú)刷電機(jī)可靠性試驗(yàn)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果

利用表1中的可靠性試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以對(duì)永磁無(wú)刷電機(jī)進(jìn)行可靠性估計(jì)。利用公式（12）和配線分布法可以獲得永磁無(wú)刷電機(jī)可靠度的估計(jì)結(jié)果，見(jiàn)表2。

表2 永磁無(wú)刷電機(jī)可靠度的估計(jì)結(jié)果

從表2可以看出，利用Bayes理論對(duì)永磁無(wú)刷電機(jī)進(jìn)行可靠性研究具有較好的優(yōu)越性，使可靠性評(píng)估無(wú)需大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，能夠有效地解決在進(jìn)行可靠性評(píng)估的過(guò)程中由于樣本少而帶來(lái)的參數(shù)估計(jì)不精確的問(wèn)題，具有較好的預(yù)計(jì)性，該方法可以為永磁無(wú)刷電機(jī)故障提供參考范圍，從而能夠防止永磁無(wú)刷電機(jī)在故障的高發(fā)區(qū)運(yùn)行。

4 結(jié)論

對(duì)于永磁無(wú)刷電機(jī)，其可靠性試驗(yàn)存在數(shù)據(jù)樣本少、試驗(yàn)成本高、無(wú)法進(jìn)行大樣本、長(zhǎng)周期的可靠性試驗(yàn)的缺點(diǎn)。因此，本文利用 Bayes理論建立可靠性估計(jì)模型并設(shè)計(jì)出永磁無(wú)刷電機(jī)的小樣本截尾試驗(yàn)，充分地利用驗(yàn)前數(shù)據(jù)，獲得了可靠性特性參數(shù)的估計(jì)。利用 Bayes理論可以在已知非常少的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本的情況下，利用截尾實(shí)驗(yàn)，并且根據(jù)驗(yàn)前信息能夠獲得永磁無(wú)刷直流電機(jī)可靠度的非常充分的估計(jì)值。

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