不可壓縮Ogden材料組成的球殼的有限振動(dòng)

王俊芳，杜雁芳

（遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧大連 116029）

不可壓縮Ogden材料組成的球殼的有限振動(dòng)

王俊芳，杜雁芳

（遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧大連 116029）

研究了由一類各向同性不可壓縮Ogden材料組成的球殼在突加拉伸載荷作用下的有限振動(dòng)問(wèn)題。首先利用平衡微分方程、邊界條件和初始條件求得了球殼徑向?qū)ΨQ運(yùn)動(dòng)的微分方程，證明了存在一個(gè)臨界值。當(dāng)拉伸載荷未達(dá)到這個(gè)臨界值時(shí)，隨著時(shí)間的增加，球殼的內(nèi)表面將做非線性周期振動(dòng);當(dāng)拉伸載荷超過(guò)這個(gè)臨界值時(shí)，球殼最終會(huì)破裂。最后給出了相應(yīng)的數(shù)值算例。

各向同性O(shè)gden材料;球殼;非線性周期振動(dòng)

1 問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

式中，μ1，μ2＞0為材料無(wú)窮小變形的剪切模量，α1，α2＞0為材料參數(shù)。

文獻(xiàn)［3－4］研究了各向同性不可壓縮neo－Hookean材料和橫觀各向同性材料組成的球殼的有限振動(dòng)問(wèn)題;文獻(xiàn)［5］研究了橫觀各向同性不可壓縮Rivlin－Saunders材料組成的球形薄膜的軸對(duì)稱變形的一些非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。

2 求解

方程（1）對(duì)r從r1到r積分，并利用邊界條件（2）可得

由式（10）可知，對(duì)于任意的x＞1，有D1（x，δ1）＞0。因此，只有不等式F1（x，δ1，p0）＜0，式（11）的被積函數(shù)才是有意義的。

下面討論載荷p0，結(jié)構(gòu)參數(shù)δ和材料的應(yīng)變能函數(shù)W滿足什么條件時(shí)，才能使得不等式F1（x，δ1，p0）＜0成立。

超彈性材料對(duì)應(yīng)的應(yīng)變能函數(shù)必須滿足強(qiáng)凸性的條件［2］，即d2^W（η）/dω2＞0。當(dāng)p0=0時(shí)，有F1x（x，δ1，0）＞0且F1（x，δ1，0）＞0，所以當(dāng)x?（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)1（x，δ1，0）＞0，此時(shí)方程（11）無(wú)解;當(dāng)p0＞0時(shí)，使得F1（x，δ1，0）＜0成立的條件等價(jià)于F1（x，δ1，p0）min＜0成立，即方程（11）在這種情況下存在實(shí)解。由F1x（x，δ1，p0）=0可以求得F1x（x，δ1，p0）的最小值點(diǎn)，即

3 球殼運(yùn)動(dòng)的數(shù)值算例

x與P的關(guān)系曲線如圖1，x與F1的關(guān)系曲線如圖2。

圖1 x與P的關(guān)系曲線

圖2 x與F1的關(guān)系曲線

取定α1=α2=β=1，δ1=1時(shí)，由圖1和圖2可以看出:當(dāng)0＜P＜Pn時(shí)，方程（12）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x2和x3（x2＜x3），即方程（10）有兩個(gè)平衡點(diǎn)（x2，0）和（x3，0），并且（x2，0）是方程的中心，（x3，0）是方程的鞍點(diǎn);當(dāng)P=Pn時(shí)，方程（12）有唯一的實(shí)數(shù)根x4，也即方程（10）的平衡點(diǎn)（x4，0），但它是退化的鞍點(diǎn);當(dāng)P＞Pn時(shí)，方程（12）無(wú)實(shí)數(shù)根，即方程（12）沒(méi)有平衡點(diǎn)（其中，P=p0/ μ1）。

由上述可以得出:對(duì)于給定的拉伸載荷P，當(dāng)0＜P＜Pn時(shí)，由常微分方程的振動(dòng)性定理和對(duì)稱原則可知，方程（8）有滿足初始條件（7）的周期解;當(dāng)P＞Pn時(shí)，方程（8）滿足初始條件（7）的解不是周期解。球殼內(nèi)表面運(yùn)動(dòng)的相圖如圖3。

圖3 球殼內(nèi)表面運(yùn)動(dòng)的相圖

取定α1=α2=β=1，δ1=1，由圖3可以看出:對(duì)于初始條件x（0）=1，˙x（0）=0，即（1，0）點(diǎn)，當(dāng)P≤Pn時(shí)，隨著時(shí)間的增加，球殼的內(nèi)半徑逐漸增大。球殼內(nèi)半徑增長(zhǎng)的速度從零開(kāi)始逐漸增加，然后逐漸減少，當(dāng)球殼內(nèi)半徑達(dá)到最大值時(shí)，此時(shí)速度變?yōu)榱?。隨著時(shí)間的繼續(xù)增加，球殼內(nèi)半徑開(kāi)始減少，減少的速度也從零開(kāi)始逐漸增加，然后逐漸減少，當(dāng)x（t）減少到1時(shí)，˙x（t）為零。接著隨著時(shí)間的增加，球殼的內(nèi)半徑和速度將循環(huán)往復(fù)下去，球殼內(nèi)表面將做周期振動(dòng)。當(dāng)P＞Pn時(shí)，隨著時(shí)間的增加，球殼內(nèi)半徑將逐漸增大，這就意味著球殼最終將會(huì)被破壞。

4 結(jié)論

本文研究了一類各向同性不可壓縮超彈性O(shè)gden材料組成的球殼在拉伸載荷作用下的有限振動(dòng)問(wèn)題。證明了當(dāng)P≤Pn（P≤Pm）時(shí)，球殼的內(nèi)半徑隨時(shí)間的增加做非線性周期振動(dòng);當(dāng)P＞Pn（P＞Pm）時(shí)，隨著時(shí)間的增加，球殼的內(nèi)半徑將逐漸增大，即球殼最終將會(huì)被破壞。

［1］OGDEN R W.Large deformation isotropic elasticity:on the correlation of theory and experiment of compressible rubberlike solids［J］.Proc.R.Soc.London，Ser A，1972，328（1575）:567－583.

［2］BALL J M.Discontinuous equilibrium solutions and cavitations in nonlinear elasticity［J］.Philos.Trans.Roy.Soe.Lond.，Ser A，1982，306（3）:557－610.

［3］YUAN Xuegang，ZHU Zhengyou，CHENG Changjun.Qualitative analysis of dynamical behavior for an in perfect incompressible neo－Hookean spherical shell［J］.Appl.Math.Mech.－Engl.Ed.，2005，26（8）:973－981.

［4］任九生，程昌鈞.橫觀各向同性超彈性球殼的有限振動(dòng)［J］.固體力學(xué)學(xué)報(bào)，2004，25（2）:221－224.

［5］YUAN Xuegang，ZHANG Hongwu，REN Jiusheng，et al.Some qualitative properties of incompressible hyperelastic spherical membranes under dynamic loads［J］.Appl.Math.Mech.－Engl.Ed.，2010，31（7）:903－910.

Finite Oscillation of Spherical Shell Composed of a Class of Incompressible Ogden Materials

WANG Jun－fang，DU Yan－fang
（School of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian Liaoning 116029，China）

The finite oscillation problem is considered for a spherical shell composed of a class of isotropic incompressible Ogden materials under a suddenly applied tensile load.At first，a differential equation describing the radial symmetric motion of the spherical shell has been obtained by using equilibrium differential equation，boundary conditions and initial condition.It is proved that there exists a critical load，if the tensile load is smaller than the critical value，the radial motion of the inner surface is a nonlinear periodic oscillation with increasing time.However，if the tensile load exceeds the critical value，the spherical shell will be destroyed ultimately.Finally，numerical examples are given to further illustrate the properties of the solutions.

isotropic Ogden material;spherical shell;nonlinear periodic oscillation

O343

A

1009－315X（2012）03－0239－03

2012－03－12

王俊芳（1978－），女，吉林通化人，遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院碩士研究生，主要從事非線性微分方程研究。

（責(zé)任編輯 鄒永紅）