李代數(shù)W[G]的自同構群與Verma模

徐崇斌

(1．溫州大學數(shù)學與信息科學學院，浙江溫州 325035；2．華南理工大學理學院數(shù)學系，廣東廣州 510640)

李代數(shù)W[G]的自同構群與Verma模

徐崇斌1,2

(1．溫州大學數(shù)學與信息科學學院，浙江溫州 325035；2．華南理工大學理學院數(shù)學系，廣東廣州 510640)

設F是特征0的域，G是它的加法子群，相應于F和群G，定義一類李代數(shù)W[G]．在本文里，李代數(shù)W[G]的自同構群與Verma模的可約性得到仔細地研究．其中自同構群的確定主要依賴于一些特殊自同構的構造，而Verma模的可約性完全取決于W[G]中元I0的作用是否為零．

李代數(shù)W[G]；自同構群；Verma模

1 李代數(shù)W[G]

眾所周知，Virasoro代數(shù)是一個重要的無限維李代數(shù)，無論在數(shù)學領域，還是在物理領域都有著廣泛的應用．因此，Virasoro代數(shù)自產(chǎn)生以來就一直是人們研究的重要對象，不僅如此，人們還研究了許多與之相關的李代數(shù)，其中具有代表性的有廣義 Witt代數(shù)、廣義 Virasoro代數(shù)、Heisenberg-Virasoro及廣義Schr?dinger-Virasoro代數(shù)等[1-4]．

2006年，M. Henlel等人在研究一類物理現(xiàn)象的過程中又引入了一個與Virasoro代數(shù)相關的李代數(shù)W[5]，該代數(shù)是復數(shù)域上由基生成的一個無限維李代數(shù)，它上面的李運算[?,?]定義如下：

容易看出李代數(shù)W是Witt代數(shù)與它的冪零理想的半直積．文獻[6-7]對李代數(shù)W的導子代數(shù)、中心擴張及自同構群都進行了研究．受到前人工作的啟發(fā)，本文定義了廣義的李代數(shù)W，并對它的自同構群和Verma模進行了仔細地研究．

設F是特征0的域，G是它的加法子群．相應于子加群G，首先定義一類李代數(shù)W[G]．

2 李代數(shù)W [ G ]的自同構群

3 李代數(shù)W[G]的Verma模

[1] Mazorchuk V. Verma module over genenralized Witt algebras [J]. Compos Math, 1999, 115: 21-25.

[2] Hu J, Wang X, Zhao K. Verma module over genenralized Virasora algebras Vir[G] [J]. J Pure Appl Alg, 2003, 177: 62-69.

[3] Gao S, Jiang C, Pei Y. Structure of the extended Schr?inger-Virasoro algebras [J]. Alg Colluq, 2009, 16(4): 549-566.

[4] Tan S, Zhang X. Automorphism group and Verma module for generalized Schr?inger-Virasoro algebras [J]. J Alg, 2009, 322: 1379-1394.

[5] Henkel M, Scott R, Stoimenov S, et al. The Poincaré algebra in the context of ageing systems: Lie structure, representations, Appell systems and coherent states [EB/OL]. [2011-08-08]. http://arxiv.org/abs/math-ph/0601028v1.

[6] 高壽蘭, 姜翠波, 裴玉峰. 一類李代數(shù)的導子及中心擴張與自同構[J]. 數(shù)學學報, 2009, 52(2): 281-288.

[7] Zhang W, Dong C. W-algebra W(2,2) and the vertex operator algebraL(1/2,0)?L(1/2,0) [J]. Comm Math Phys, 2009, 285(3): 991-1004.

Automorphism Group and Verma Module for Lie AlgebraW[G]

XU Chongbin1,2
(1. College of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035; 2. Department of Mathematics, South China University of Technology, Guangzhou, China 510640)

LetFbe a field of characteristic 0, G an additive subgroup ofF. Associated toFand G , a class of Lie algebraW[G] could be defined. In this paper, the automorphism group of Lie algebraW[G] and reducibility of Verma module were investigated carefully. Results showed that the determination of automorphism group is based on constructions of some special automorphisms and the reducibility of Verma module depends on whether the action of the elementI0is zero.

Lie AlgebraW[G]; Automorphism Group; Verma Module

(編輯：王一芳)

O152.5

A

1674-3563(2012)03-0013-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2012.03.003 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2011-09-15

徐崇斌(1977- )，男，湖北黃梅人，講師，碩士，研究方向：代數(shù)

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