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    JB/T 7557 – 1994《同軸度誤差檢測(cè)》中數(shù)據(jù)處理方法之疑議與補(bǔ)缺

    2012-01-12 06:47:18
    關(guān)鍵詞:外角同軸算例

    林 翔

    (福建商業(yè)高等專科學(xué)校計(jì)算機(jī)系,福建福州 350012)

    JB/T 7557 – 1994《同軸度誤差檢測(cè)》中數(shù)據(jù)處理方法之疑議與補(bǔ)缺

    林 翔

    (福建商業(yè)高等專科學(xué)校計(jì)算機(jī)系,福建福州 350012)

    JB/T 7557 – 1994《同軸度誤差檢測(cè)》在數(shù)據(jù)處理過(guò)程中遇到的minmax問(wèn)題頗具典型性,其取用的計(jì)算方法在關(guān)鍵環(huán)節(jié)沒(méi)有給出明確闡述,令人對(duì)其算法的合理性與計(jì)算結(jié)果的可靠性產(chǎn)生疑義,為此另辟路徑尋找滿足“最小區(qū)域”原則的合理算法,提高了計(jì)算精度,修正了該文獻(xiàn)附錄B算例中之11個(gè)截面圓計(jì)算結(jié)果,進(jìn)而修正了同軸度誤差的最終評(píng)定值.

    同軸度誤差;新算法;高精度;精密檢測(cè)

    圖1 文獻(xiàn)[1]中αi、e示意圖

    從JB/T 7557 – 1994《同軸度誤差檢測(cè)》[1]可知,測(cè)量與數(shù)據(jù)處理是同軸度誤差評(píng)定的兩大內(nèi)容,數(shù)據(jù)處理又以求取基準(zhǔn)軸線為核心重點(diǎn).文獻(xiàn)[1]認(rèn)為,基準(zhǔn)軸線的確定,是在獲取基準(zhǔn)要素回轉(zhuǎn)面上各截面所有測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)之后,選定四種方法之一進(jìn)行計(jì)算,由此生成回轉(zhuǎn)面的中軸線作為基準(zhǔn)軸線.此四法是最小區(qū)域法、最小二乘法、最小外接法和最大內(nèi)接法,而且將“最小區(qū)域法”作為首選算法,并敘述了求取基準(zhǔn)軸線過(guò)程的詳細(xì)操作步驟,見(jiàn)圖1.

    文獻(xiàn)[1]首先設(shè)定基準(zhǔn)要素是若干個(gè)正截面圓,每個(gè)截面圓周上均布有若干測(cè)量點(diǎn),需要解決的核心問(wèn)題是求出各個(gè)截面圓的中心位置.很顯然,符合“最小區(qū)域法”的圓心求取問(wèn)題,其實(shí)就是一個(gè)典型的minmax求解問(wèn)題,文獻(xiàn)[1]在求取過(guò)程中對(duì)這一關(guān)鍵環(huán)節(jié)描述是:

    b. 按一定優(yōu)化方法移動(dòng)中心O至O′;其中

    Δri:中心移動(dòng)前的半徑差值;

    e:中心移動(dòng)量;

    αi:測(cè)點(diǎn)徑向線ri與中心移動(dòng)方向線OO′之間的夾角.

    αi、e分別是移動(dòng)中心O至O′的方向和步長(zhǎng),移動(dòng)O至O′的目的是使“誤差帶”逐步向“最小區(qū)域”逼近,從而求出符合“最小區(qū)域”原則的截面圓心.

    遺憾的是文獻(xiàn)[1]對(duì)所謂的“一定優(yōu)化方法”未做交代,對(duì)αi、e這兩個(gè)關(guān)鍵數(shù)值的來(lái)龍去脈沒(méi)有作具體說(shuō)明,令人無(wú)所適從.不可避免的,筆者對(duì)文獻(xiàn)[1]附錄B應(yīng)用示例中4個(gè)基準(zhǔn)截面圓中心、7個(gè)被測(cè)截面圓中心的計(jì)算結(jié)果是否符合“最小區(qū)域”原則、該示例的同軸度誤差的最終評(píng)定結(jié)果之合理性,產(chǎn)生了疑義,繼而試著尋求更優(yōu)化的算法,重新評(píng)定附錄B中計(jì)算結(jié)果的可靠性與高精度性,對(duì)正確運(yùn)用國(guó)標(biāo)有所裨益.

    1 “最小區(qū)域”意義下求圓心之?dāng)?shù)學(xué)模型

    所要推敲的基準(zhǔn)截面圓中心、被測(cè)截面圓中心問(wèn)題,都屬于minmax求解問(wèn)題,歸納起來(lái)可以表述為:某一實(shí)測(cè)圓,圓周上均布有n個(gè)測(cè)點(diǎn)Qk(xk,yk)(k=1~n),要以點(diǎn)集Qk(k=1~n)為基礎(chǔ)擬合出兩個(gè)同心圓,不妨記共同圓心為O(xO,yO),Qk至圓心O的距離為sk(k=1~n),按照“最小區(qū)域”判定原則的要求,圓心O應(yīng)該滿足下式:

    f表達(dá)式的幾何意義是:有兩個(gè)同心圓,所有的點(diǎn) Qk(xk,yk)(k=1~n)都落在兩個(gè)圓之間,且這兩個(gè)圓之間的區(qū)域達(dá)到最小.表達(dá)式中max(sk)為同心圓中的大圓半徑,min(sk)為小圓半徑,因此“f—>min”也可看作是兩個(gè)同心圓的半徑之差趨于最小,如此則O點(diǎn)就是符合所謂的“最小區(qū)域”原則的圓心,也就得到我們所求取的擬合同心圓了.

    這一典型的minmax問(wèn)題是離散型的,筆者經(jīng)過(guò)觀察比較,另辟蹊徑尋找一種既符合“最小區(qū)域”概念且又適用易用的新算法,作為“一定優(yōu)化方法”的一種詮釋.

    2 新算法

    仍然圍繞αi、e來(lái)展開討論.αi是中心O的移動(dòng)方向,e是移動(dòng)步長(zhǎng),αi、e取值的原則是必須使得 f值降下來(lái);而要使 f=max(sk)-min(sk)值下降,只要讓max(sk)降下來(lái)、讓min(sk)升上去,就可以實(shí)現(xiàn).筆者發(fā)現(xiàn),一個(gè)特殊三角形的外角平分線的方向,具備作為αi候選方向的特性.

    記擬合圓的臨時(shí)中心為O,Qk(xk,yk)(k=1~n)距O最遠(yuǎn)、最近的點(diǎn)分別為Ql、Qm,即OQl=max(sk)、OQm=min(sk),△QlQmO構(gòu)成一個(gè)特殊的三角形.延長(zhǎng) QmO,作直線 OP,∠QlOP為△QlQmO的一個(gè)外角,自O(shè)點(diǎn)作∠QlOP的平分線OL,如圖2所示,OL即可作為αi的一個(gè)可選方向.證明如下:

    沿OL方向取點(diǎn)O′,令OO′=e(e是一個(gè)很小的步長(zhǎng)),使得△OO′Ql之∠OO′Ql為鈍角,則有不等式成立:

    對(duì)于△OO′Qm,∠QmOO′必為鈍角,故也有不等式成立:

    綜合(1)、(2)兩式,可得不等式:

    可見(jiàn)只要e值取得很小,沿外角平分線OL方向選定一個(gè)新的圓心O′,就可能把f值降下來(lái).

    解決了αi的取值問(wèn)題,以下討論e的取值.

    易知,如果以“最小二乘圓”的圓心作為“最小區(qū)域圓”的初始圓心O,則此時(shí)的f值已經(jīng)很接近“最小區(qū)域”了,所以對(duì)O的移動(dòng),肯定是小幅度的,因此e值必然是個(gè)很小的值.記“最小二乘”圓心為O2(x′′,y′′),

    有f2=max(s′′k)-min(s′′k)(k=1~n).

    根據(jù)經(jīng)驗(yàn),“最小區(qū)域”意義下的f值通常要比“最小二乘”意義下的f2值小10%左右,因此不妨令e=f2/10.

    e只是一個(gè)初始的步長(zhǎng)取值.如果經(jīng)判斷,f值下降了,即用O′取代O;如果f值沒(méi)有下降,則減小e值,取原e值一半,即e=e/2,重新對(duì)O點(diǎn)進(jìn)行移動(dòng)判斷.

    隨著f值不斷逼迫“最小區(qū)域”,e的取值必然地不斷在減??;當(dāng)e是一個(gè)很小很小的值,達(dá)到了計(jì)算精度要求之時(shí),停止計(jì)算,輸出結(jié)果.

    特殊情況的處理:

    如果Ql、Qm、O三點(diǎn)成一線,△QlQmO中∠QlOQm是個(gè)平角,不妨仍將△QlQmO當(dāng)作普通三角形對(duì)待,計(jì)算過(guò)程如法炮制,與前述無(wú)異.

    如果Qk(xk,yk)(k=1~n)距O最遠(yuǎn)點(diǎn)不止一個(gè)“Ql”而是有S個(gè),距O最近點(diǎn)也不止一個(gè)“Qm”而是有T個(gè),則處理的辦法是:從S個(gè)“Ql”和T個(gè)“Qm”中各取一個(gè)點(diǎn)與O組成一個(gè)特殊三角形,則這樣的特殊三角形就有S*T個(gè);對(duì)這些三角形逐個(gè)進(jìn)行計(jì)算求出相應(yīng)的外角平分線,其中能使f值下降最多者,就選定其作為特殊三角形.

    以上是對(duì)計(jì)算過(guò)程的要點(diǎn)敘述.當(dāng)αi、e確定以后,接下來(lái)的計(jì)算工作須回到文獻(xiàn)[1]規(guī)定的算法流程,進(jìn)行“最小區(qū)域”意義下求截面圓中心的全過(guò)程計(jì)算.

    3 算法的驗(yàn)證

    按上述算法,以C語(yǔ)言編程,對(duì)文獻(xiàn)[1]附錄B中的4個(gè)基準(zhǔn)截面圓和7個(gè)被測(cè)截面圓算例進(jìn)行驗(yàn)算,計(jì)算結(jié)果列出如下:

    3.1 基準(zhǔn)柱面上的4個(gè)截面圓

    表1 基準(zhǔn)柱面上的4個(gè)截面圓計(jì)算結(jié)果比較

    3.2 被測(cè)柱面上的7個(gè)截面圓

    表2 被測(cè)柱面上的7個(gè)截面圓計(jì)算結(jié)果比較

    經(jīng)比較可見(jiàn),本算法計(jì)算的全部11個(gè)截面圓f值,都要比原文小,尤其是第III截面圓、第4截面圓,f值比原文的值小了約6%和13%.

    3.3 其他“最小區(qū)域圓”算例

    為進(jìn)一步驗(yàn)證本算法的高精度性,筆者還對(duì)文獻(xiàn)[2-7]共6篇與“最小區(qū)域圓”有關(guān)的文章中列出的算例,進(jìn)行驗(yàn)算.這些文章各給出了一個(gè)算例,現(xiàn)將原文結(jié)果與本文算法計(jì)算的結(jié)果列出如下,便于比較:

    表3 文獻(xiàn)[2-7]6個(gè)算例原結(jié)果與本文算法計(jì)算結(jié)果比較

    比較而言,本文所提出的算法在精度方面切實(shí)體現(xiàn)出了一定的優(yōu)勢(shì),文獻(xiàn)[3]算例計(jì)算精度甚至提高了25%.

    4 同軸度誤差算例

    (1)以上述4個(gè)基準(zhǔn)截面圓心和7個(gè)被測(cè)截面圓心坐標(biāo)為基礎(chǔ),繼續(xù)計(jì)算工作,把文獻(xiàn)[1]附錄B中同軸度誤差算例之最終結(jié)果求出來(lái).

    先求取基準(zhǔn)柱面軸線:

    按文獻(xiàn)[1]規(guī)定,要求出基準(zhǔn)軸線,必須求出包容OI– OIV四個(gè)點(diǎn)的“最小外包圓”的圓心O外.

    為此,引進(jìn)文獻(xiàn)[8]中關(guān)于“最小外包圓”的算法,求得圓心坐標(biāo)為O外(-0.127 40, -0.096 78).

    再求取同軸度誤差值:

    計(jì)算O1– O7等7個(gè)點(diǎn)至O外的最大距離,再翻番,即同軸度誤差值,該值為10.809 77 μm;原文給出的同軸度誤差值為10.67 μm.

    (2)其他同軸度誤差算例

    文獻(xiàn)[9]給出了一個(gè)算例,共有2個(gè)基準(zhǔn)截面圓、4個(gè)被測(cè)截面圓.本文算法計(jì)算各截面圓及同軸度誤差結(jié)果列出如下表:

    表4 文獻(xiàn)[9]算例計(jì)算結(jié)果

    (3)文獻(xiàn)[10]附錄中給出了一個(gè)同軸度誤差的算例,基準(zhǔn)軸線為空間坐標(biāo)系的z軸,被測(cè)圓柱上有6個(gè)等距橫截面圓.用本文算法計(jì)算各截面圓結(jié)果及同軸度誤差如下表:

    表5 文獻(xiàn)[10]算例計(jì)算結(jié)果

    5 小 結(jié)

    文獻(xiàn)[1]中數(shù)據(jù)處理環(huán)節(jié)的核心問(wèn)題是典型的minmax問(wèn)題,文中所述的算法過(guò)于隱晦,不具可操作性,故而筆者就此展開討論,尋求符合“最小區(qū)域”法則的有針對(duì)性算法.以“特殊三角形”的外角平分線為突破口,圍繞αi、e的原始概念進(jìn)行算法推演,并且對(duì)算法的合理性進(jìn)行了簡(jiǎn)單的證明,對(duì)αi、e的取值給出了具體說(shuō)明,同時(shí)對(duì)可能出現(xiàn)的“特殊現(xiàn)象”也提出了處理意見(jiàn).經(jīng)過(guò)若干的算例驗(yàn)算與結(jié)果比較,在證明了本算法合理性的同時(shí),也證明了其高精度性和實(shí)用性.

    特殊三角形的外角平分線方向不一定是αi的最佳選擇,但它是一種可行的選擇,它能使f值單調(diào)下降逐步逼近“最小區(qū)域”,這是本算法具備高精度的主要因素之一,不妨將其作為“一定優(yōu)化方法”的算法補(bǔ)缺.本文引用的算例有限,歡迎同行專家指正,把文獻(xiàn)[1]中存在的問(wèn)題解決好.

    [1]中華人民共和國(guó)機(jī)械工業(yè)部. 同軸度誤差檢測(cè)[M]. 北京: 機(jī)械科學(xué)研究院, 1995: 1-15.

    [2]張永春, 趙明友, 王慶武, 等. 形狀誤差數(shù)據(jù)處理的線性規(guī)劃和單純形解法[J]. 計(jì)量技術(shù), 2001, (12): 46-49.

    [3]趙軍, 劉維, 王強(qiáng), 等. 基于改進(jìn)置換算法的圓參數(shù)評(píng)定[J]. 測(cè)試技術(shù)學(xué)報(bào), 2009, 23(2): 134-138.

    [4]趙文樂(lè). 形狀誤差minimax問(wèn)題的機(jī)器求解[J]. 中國(guó)計(jì)量學(xué)院學(xué)報(bào), 1990, (12): 45-51.

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    [6]徐磊, 馬勇, 婁志峰, 等. 基于VC的圓度誤差數(shù)據(jù)采集與處理[J]. 計(jì)量與測(cè)試技術(shù), 2008, 35(2): 1-3.

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    [10]鄭鵬. 形位誤差計(jì)算機(jī)評(píng)定系統(tǒng)的研究[D]. 鄭州: 鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 2003:54-70.

    Data Processing Method’s Doubt and Supplement ofCoaxial Error Detection(JB/T 7557 – 1994)

    LIN Xiang
    (Computer Science Department, Fujian Commercial College, Fuzhou, China 350012)

    The minmax in the data processing ofCoaxial Error Detection(JB/T 7557 – 1994) is a typical problem. The reasonability of its algorithm and reliability of its calculating results were doubtful because many key steps of the calculating method adopted were not clearly expounded. Given this, a rational algorithm which fits with the “minimum area” principle was chosen to improve the calculating accuracy and correct 11 circular cross-section results in algorithm of Appendix B. Then, the final assessment of coaxial error was corrected.

    Coaxial Error; New Algorithm; High-precision; Sophisticated Detection

    (編輯:封毅)

    TH161

    A

    1674-3563(2012)02-0022-06

    10.3875/j.issn.1674-3563.2012.02.004 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

    2011-09-27

    林翔(1963- ),男,福建福州人,副教授,高級(jí)工程師,碩士,研究方向:精密檢測(cè)領(lǐng)域的算法研究及計(jì)算機(jī)應(yīng)用編程

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