Clifford代數(shù)Cl2,1的若干性質(zhì)

張桂穎,李武明

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系,吉林 通化 134002)

Clifford代數(shù)Cl2,1是在Minkowski空間2,1上由e1,e2,e3,生成的8維實(shí)結(jié)合代數(shù)[1],其基元為

1,e1,e2,e3,e12,e13,e23,e123,

eijk=eiejek.于是元素a∈Cl2,1能惟一的表示成

a=a0+a1e1+a2e2+a12e12+

a13e13+a23e23+a123e123,

其中系數(shù)均為實(shí)數(shù).

1 Cl2,1中元素的相關(guān)定義與性質(zhì)

若令0,1,2,3分別表示1,單向量,雙向量,e123的線性組合, 則a∈Cl2,1可表示成

a=0+1+2+3,Cl2,1中有三種對(duì)合運(yùn)算:

(1)分次對(duì)合

(2)反衍

(3)共軛

由此我們定義與a∈Cl2,1相關(guān)的一些定義并得到一些基本性質(zhì).

定義1a∈Cl2,1,a的模:

a13e13-a23e23+a123e123;

a的虛部:Cm(a)=a-Ce(a);

映射T:Cl2,1→:

T(a)=a0a123-a1a23+a2a13-a3a12;

映射P:Cl2,1→:P(a)=|a|4-4T(a)2.

通過計(jì)算可以得到如下與a相關(guān)的性質(zhì).

|ab|2=|a|2|b|2+4T(a)T(b),

T(ab)=|a|2T(b)+|b|2T(a),

證明

(0-1-2+3)=

(0+3)2-(1+2)2=

2(a0a123-a1a23+a2a13-a3a12)e123=

|a|2+2T(a)e123.

|ab|2=|a|2|b|2+4T(a)T(b),

T(ab)=|a|2T(b)+|b|2T(a).

2 Cl2,1中元素的四階實(shí)矩陣表示與特征方程

Cl2,0是Cl2,1的子代數(shù),所以考慮從Cl2,0的基元對(duì)應(yīng)的矩陣Mat(2,)同構(gòu)嵌入到Mat(4,),從而找到Cl2,1的基元對(duì)應(yīng)的矩陣.Cl2,0?Mat(2,),且基元對(duì)應(yīng)為

顯然有

ei→Ai,eij→Aij,e123→A123,

其中A123=A1A2A3,Aij=AiAj,由此說明

Cl2,1?.

觀察乘法表可發(fā)現(xiàn)若取B1=A23,B2=A2,B3=A12,驗(yàn)證可得

ei→Bi,eij→Bij,e123→B123,

即Cl2,1?.

定理2 ?a∈Cl2,1,Cl2,1的四階實(shí)矩陣表示為

證明選取上面取定的A1,A2,A3,代入

L(a)=a0I+a1A1+a2A2+a12A12+

a3A3+a13A13+a23A23+a123A123

即可.

定理3 設(shè)a,b∈Cl2,1,λ∈

a=b?L(a)=L(b),L(a+b)=L(a)+L(b)

L(λa)=λL(a),L(ab)=L(a)L(b).

定理4L(a)的特征方程為

λ2-2λ(a0+a123)+|a|2+2T(a)=0或

λ2-2λ(a0-a123)+|a|2-2T(a)=0

且detL(a)=|a|4-4T(a)2=P(a).

證明

|λI4-L(a)|=

(8T(a)a123-4|a|2a0)λ+|a|4-4T(a)2=

(λ2-2λa0+|a|2)2-4(T(a)-λa123)2=

(λ2-2λa0+|a|2+2T(a)-2λa123)

(λ2-2λa0+|a|2-2T(a)+2λa123)=0

所以有

λ2-2λ(a0+a123)+|a|2+2T(a)=0或

λ2-2λ(a0-a123)+|a|2-2T(a)=0.

上述兩方程的解就是L(a)的特征值.

參考文獻(xiàn)：

[1]Lounesto P.Clifford algebra and spinord[M].New York:Cambridge University Press,2001.

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