一個特定型函數(shù)極限的計算與推廣

曲元海

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 通化 134002)

1 引言

解 顯然本題羅必達法則失效.故另謀方法.仔細觀察該題后，我們發(fā)現(xiàn)由于被積函數(shù)含有|cost|項(本題關(guān)鍵就在于此)，而該函數(shù)是周期為π的非負函數(shù).另一方面，當(dāng)連續(xù)變量x充分大時，總存在n∈，使x可表成x=nπ+x0，其中0≤x0<π，故有x→+∞?n→∞.

此時，本題可轉(zhuǎn)化為計算極限

由于

(1)

采用分部積分法，經(jīng)計算獲得

……………………………………

而對最后一項：

(1)當(dāng)0≤x0<π/2時，令t=nπ+x，則有

(2)當(dāng)π/2≤x0<π時，令t=nπ+x，則有

這時，將上述所有結(jié)果帶回(1)式，我們得到分子部分

故得

另解 由于被積函數(shù)含有|cost|是周期為π的非負函數(shù).故當(dāng)x充分大時，總存在自然數(shù)n∈，使nπ≤x≤(n+1)π.因此，由積分的單調(diào)性得

(2)

依照前邊定積分的計算方法得

(這里，對第二個積分取變量替換t=nπ+x).因此，當(dāng)n→∞，必有

由(2)式及極限的兩邊夾定理，我們立即獲得相同結(jié)果.

注意：上述兩方法都離不開計算定積分，因此，兩方法本質(zhì)上有密切聯(lián)系，只是求解角度不同.

3 推廣

以下我們只考慮應(yīng)用夾逼定理來求解.由于當(dāng)k≥4時，不僅導(dǎo)致計算積分值繁瑣，而且涉及高次冪的自然數(shù)求和.因此，本文我們僅限k=1，2，3時，推廣如下兩種對偶型積分的極限.

計算兩種特定的對偶型極限：

k=1，2，3.

事實上，當(dāng)x充分大時，總存在自然數(shù)n∈，使nπ≤x≤(n+1)π，再由積分的單調(diào)性得

(3)

(4)

以下求解過程中，我們總是假設(shè)x→+∞時，存在n∈，使nπ≤x≤(n+1)π，不再特殊說明.

令k=1，代入(3)式，應(yīng)用夾逼定理，立即獲得

故

令k=3，代入(3)式，由夾逼定理，立刻獲得

解 類似例1計算方法，更容易計算

令k=1，由(4)式及夾逼定理，顯然獲得

解 利用不定積分

故

因此，必有

令k=3，代入(4)式，應(yīng)用夾逼定理，我們獲得

綜上所述，獲得本文如下的推廣結(jié)論

最后，我們給出一個猜想，?k∈，是否

參考文獻：

[1]劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義[M].第三版.北京:高教出版社，1997.

[2]陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析[M].北京;高等教育出版社，1999.

[3]劉三陽，于力，李廣民.數(shù)學(xué)分析選講[M].北京;科學(xué)出版社，2007.