混沌隨機(jī)系統(tǒng)的響應(yīng)預(yù)測

沈焰焰

(福建船政交通職業(yè)學(xué)院,福建福州 350007)

其中,平均首爾穿越率定義為,

0 引 言

考慮到非線性動力學(xué)系統(tǒng)可能具有的復(fù)雜確定性響應(yīng)以及隨機(jī)響應(yīng),Y im等[1]和Naess等[2,5-7]建議利用隨機(jī)響應(yīng)的概率密度來分析混沌響應(yīng).事實(shí)上,在動力結(jié)構(gòu)的工程分析中一個基本的響應(yīng)預(yù)測就是估計(jì)相關(guān)響應(yīng)變量的極值,對此,研究者通常是去估計(jì)它在一個特定時間范圍內(nèi),超過某一個水平的可能性.基于此,本文主要利用路徑積分法[2,5-7]來研究2種非線性動力系統(tǒng)的混沌響應(yīng),分別計(jì)算了高斯隨機(jī)激勵的混沌系統(tǒng)和l vy噪聲激勵的混沌系統(tǒng)的平均概率密度,討論了高斯噪聲和勒維噪聲的首爾穿越率.

1 路徑積分法原理

在文獻(xiàn)[7]中,Naess介紹了Wehner等研究了借助路徑積分法來尋求“非線性”FPK方程的形式解的思路,并首先提出求解較高維的FPK方程的路徑積分?jǐn)?shù)值方法.這里“非線性”指的是FPK方程漂移向量和擴(kuò)散向量對系統(tǒng)狀態(tài)變量的非線性依賴關(guān)系.研究人員之所以對形式解感興趣,是因?yàn)槁窂椒e分能給出繞確定性路徑的近似解的適當(dāng)初值點(diǎn).

路徑積分的基本思想是,在空間和時間上分別離散化,以路徑和代替積分,即通過連接短時的轉(zhuǎn)移概率密度形成全局的轉(zhuǎn)移概率密度,進(jìn)而得到狀態(tài)向量的聯(lián)合概率密度函數(shù).路徑積分法最優(yōu)越的特性在于可得到非負(fù)的、較準(zhǔn)確的尾部概率密度.此外,路徑積分法還可以計(jì)算系統(tǒng)的非平穩(wěn)瞬態(tài)概率密度以及首次穿越問題等.

定義路徑積分的最簡便方法是把連續(xù)過程離散化在空間和時間限定的充分小的網(wǎng)格點(diǎn)上,然而,一個連續(xù)過程的離散化并不唯一.這樣,對于不同的離散規(guī)則,就產(chǎn)生了許多不同的路徑積分方法.為建立協(xié)變路徑積分,就需要選擇特定的離散化規(guī)則,這使得很多研究者致力于在不給出特定的離散化規(guī)則的情況下,提出各種推導(dǎo)佃變路徑積分的方法.

2 兩種混沌隨機(jī)系統(tǒng)的平均概率密度

平均概率密度能很好地描述混沌吸引子.針對時變系統(tǒng),特別是漂移或擴(kuò)散系數(shù)中含有周期函數(shù)的系統(tǒng),文獻(xiàn)[3]引入時間上的平均概率密度定義:

2.1 高斯噪聲的混沌運(yùn)動

本研究在前人的工作基礎(chǔ)上分析了復(fù)雜化的Van der Pol system混沌運(yùn)動[3]:

其中,γ、ζ都是正的,wt是標(biāo)準(zhǔn)的高斯白噪聲,其強(qiáng)度為ζ,f0、α分別表示周期項(xiàng)系數(shù)的強(qiáng)度和頻率.

當(dāng)ζ=0時,式(2)就變成了確定性系統(tǒng):

考慮式(2)在參數(shù)γ=2,β=1,ω20=1,f0= 0.3,α=1,ζ=0.005時,其時間平均的聯(lián)合概率密度如圖1所示.

圖1 特定參數(shù)下式(2)的時間平均的聯(lián)合概率密度

由圖1知,在隨機(jī)激勵較小時,隨機(jī)系統(tǒng)的概率密度的形狀在一定程度上可以表征相應(yīng)的確定性系統(tǒng)的混沌吸引子結(jié)構(gòu),但當(dāng)隨機(jī)激勵較大時,會使得確定性系統(tǒng)受到破壞.

2.2 l vy噪聲的混沌運(yùn)動

鑒于l vy過程越來越廣泛地被應(yīng)用在各相關(guān)領(lǐng)域,本研究嘗試把高斯白噪聲改成l vy噪聲,l vy過程為α-stablel vy過程[4].考慮如下的動力系統(tǒng):

其中,γ、ζ、β都是正的,Lt是α-stablel vy噪聲,其強(qiáng)度為ζ,f0、α分別表示周期系數(shù)的強(qiáng)度和頻率.

當(dāng)ζ=0時,式(4)為確定性系統(tǒng):

用路徑積分方法求解式(4)在參數(shù)為,γ=0.3, β=1,δ=1,f0=0.6,α=1.2,ζ=0.0005時,其時間平均的聯(lián)合概率密度分布如圖2所示.

圖2 特定參數(shù)下式(4)的時間平均的聯(lián)合概率密度

3 混沌隨機(jī)系統(tǒng)的響應(yīng)預(yù)測

在動力結(jié)構(gòu)的工程分析中一個基本的響應(yīng)預(yù)測就是估計(jì)相關(guān)響應(yīng)變量的極值,對此,研究者通常是去估計(jì)它在一個特定時間范圍內(nèi),超過某一個水平的可能性.假設(shè)在有噪聲激勵的情況下,Yt=(Xt, X·t)的概率密度為,

假設(shè)通過使用Rice公式可以計(jì)算水平為ζ的首爾穿越率.Rice公式如下,

實(shí)際估計(jì) Xt的極值分布是依賴于高水平的首爾穿越事件是獨(dú)立的這個前提假設(shè).在給定一定的時間T內(nèi),就可以得到關(guān)于最大值X∧(T)=sup(Xt; 0≤t≤T)的分布函數(shù),

因?yàn)檗D(zhuǎn)移概率密度函數(shù)是周期的,故當(dāng)t′充分大,且 t>t′時,可以得到,

其中,ω為周期項(xiàng)系數(shù)的頻率.設(shè) T=mtp,則可得,

由平均概率密度可以導(dǎo)出,

這樣,極值分布就可以改寫成,

其中,平均首爾穿越率定義為,

在這里,對于大的響應(yīng)預(yù)測,平均概率密度是很重要的.式(2)、式(4)的首爾穿越率曲線如圖3、圖4所示.

圖3 式(2)的首爾穿越率曲線

圖4 式(4)的首爾穿越率曲線

4 結(jié) 論

本研究著重討論了受高斯白噪聲激勵的混沌運(yùn)動(2)在參數(shù)為γ=2,β=1,ω20=1,f0=0.3,α= 1,ζ=0.005下的平均概率密度、響應(yīng)預(yù)測及首爾穿越率.本研究的另外一個重點(diǎn)就是嘗試把高斯白噪聲改成 l vy噪聲,討論了受 l vy噪聲激勵的混沌運(yùn)動(4)在參數(shù)γ=0.3,β=1,δ=1,f0=0.6,α= 1.2,ζ=0.0005下的平均概率密度、響應(yīng)預(yù)測及首爾穿越率.此外,還可以用概率密度角度解釋混沌吸引子的存在性,即借助隨機(jī)系統(tǒng)的概率密度在一定程度上刻畫確定性系統(tǒng)的混沌吸引子.同時,通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),l vy噪聲與高斯白噪聲相比,其噪聲強(qiáng)度要求相對更小,否則會使得確定系統(tǒng)遭到嚴(yán)重的破壞.

[1]Y im S C S,Lin H.Unified Analysis of Complex Nonlinear Motion Via Densities[J].Nonlinear Dynamics,2001,24(1):103-127.

[2]Naess A.Chaos and Nonlinear Stochastic Dynamics[J].Probalistic Engineering Mechanics,2000,15(1):37-47.

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[4]Samorodnitsky G,Taqqu M S.Stable Non-Gausian Random Processes[M].New Y ork:Chapman and Hall,1994.

[5]Naess A,JohnsenJ M.Response Statistics of Nonlinear Compliant Offshore Stuctures by the Path Integral Solution Method[J]. Probabilistic Engineering Mechanics,1993,8(2):91-106.

[6]Naess A,Moe V.Stationary and Non-stationary Radom Vibraton of Oscillators with Bilinear Hysteresis[J].International Journal of Non-Linear Mechanics,1996,31(5):553-562.

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