比率依賴時滯Holling-Taner模型周期解的存在性

李子強(qiáng)，方瑛，田德生

(湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430068)

0 引言

近年來，很多學(xué)者研究了Holling-Taner模型周期解的存在性問題[1-6].例如，在文獻(xiàn)[1]中，作者研究了下列模型的正周期解的存在性問題:

在文獻(xiàn)[3]中，作者建立了比例確定的Leslie模型的離散系統(tǒng)周期解的存在性:

本文中我們考慮具有比率依賴時滯Holling-Taner模型較一般的形式:

(0.1)

并根據(jù)生物學(xué)的普遍意義，我們在系統(tǒng)(0.1)中總假設(shè)下列條件成立.

(H1)σ(t)，τ(t)為非負(fù)的連續(xù)ω-周期函數(shù)；r(t)，s(t)為正的連續(xù)ω-周期函數(shù)；

(H3)φ(t，x)關(guān)于t為連續(xù)的ω-周期函數(shù)，關(guān)于x連續(xù)可導(dǎo)；并且?t∈R，x>0，有φ(t，x)>0，φ(t，0)=0.

正如文獻(xiàn)[6-7]中所指出的，周期解是生物系統(tǒng)的重要特性，人們研究生物系統(tǒng)周期解的目的是為了更好地保護(hù)和利用生物資源；生物系統(tǒng)出現(xiàn)周期解表明生物種群的密度(或數(shù)量)呈現(xiàn)周期解變化的狀態(tài)(永久生存)，因此，研究系統(tǒng)(0.1)這樣一個一般形式的比率依賴時滯Holling-Taner模型的周期解問題具有十分重要的意義.

1 主要結(jié)果

首先，我們引入重合度理論中的延拓定理[8].

設(shè)X，Z是賦范向量空間，L:DomL?X→Z為指標(biāo)為零Fredholm算子，又存在連續(xù)投影P:X→X，Q:Z→Z滿足ImP=KerL，KerQ=ImL，X=KerL?KerP和Z=ImL?ImQ.定義L的廣義逆為Kp:ImL→KerP∩DomL.由于ImQ與KerP同構(gòu)，并定義同構(gòu)映射J:ImQ→KerL.

(i) 對于每一個λ∈(0，1)，x∈?Ω∩DomL，有Lx≠λNx；

(ii) 對于任意的x∈?Ω∩KerL，有QNx≠0；

(iii)deg{JQN，Ω∩kerL，0} ≠0.

為了方便起見，我們使用如下記號:

其中h(t)為連續(xù)ω-周期函數(shù).

引理1.2的證明因為

定理1.1假設(shè)(H1)，(H2)，(H3)成立，并假設(shè)

定理1.1的證明由引理1.2，可令x(t)=exp{u(t)}，y(t)=exp{v(t)}，則系統(tǒng)(0.1)變?yōu)?/p>

(1.1)

顯然，如果系統(tǒng)(1.1)有一個ω-周期解(u*(t)，v(t))T，則

(x*(t)，y*(t))T=(exp{u*(t)}，exp{v*(t)})T，

就是系統(tǒng)(0.1)的一個正的ω-周期解.因此，為了證明定理1.1，只需證明系統(tǒng)(1.1)至少有一個ω-周期解.

為了應(yīng)用引理1.1，首先要找到X中的一個開集.考慮輔助系統(tǒng)

(1.2)

其中λ∈(0，1).設(shè)(u(t)，v(t))T為系統(tǒng)(1.2)對某λ∈(0，1)的ω-周期解，在區(qū)間[0，ω]上積分(1.2)，可得

即

(1.3～1.4)

由(1.2)～(1.4)，得

(1.5)

和

(1.6)

記E1={t∈[0，ω]|f(t，eu(t-σ(t)))≥0}，E2={t∈[0，ω]|f(t，eu(t-σ(t)))<0}，則

(1.7)

(1.8)

由(1.5)、(1.7)、(1.8)和(H2)，可得

(1.9)

選擇ti，τi∈[0，ω]，i=1，2，滿足

(1.10～1.11)

由(1.3)、(1.10)和f(t，x)關(guān)于x的單調(diào)性，可知

這和F(x)的單調(diào)性，推得eu(t1)

(1.12)

由(1.9)和(1.12)可知，對任意的r∈[0，ω]，有

(1.13)

u(τ1)>lnp2

(1.14)

由(1.6)和(1.14)可知，對任意的t∈[0，ω]，有

(1.15)

由(1.4)、(1.10)得

(1.16)

又由(1.13)和(1.15)，得

因此，再由(1.6)得，對于任意的t∈[0，ω]，有

(1.17)

(1.18)

顯而易見，A1，2，B1，2都與λ無關(guān).考慮方程組

(1.19)

其中(u，v)T∈R2.根據(jù)F(x)和ψ(x)的連續(xù)性和單調(diào)性，易知方程組(1.19)存在唯一的解組，記為(u*，v*)T.今記M=|A1|+|B1|+|A2|+|B2|+|u*|+|v*|，并令

Ω={(u(t)，v(t))T∈X:‖(u，v)T‖

,

最后，證明引理1.1中的條件(iii)也是成立的.直接計算得

綜上所述，我們已經(jīng)證明了對于上述的Ω引理1.1中的條件都是成立的，因此，根據(jù)引理1.1可知，系統(tǒng)(1.1)至少存在一個周期解，從而系統(tǒng)(0.1)至少存在一個正的ω-周期解.定理1.1證畢.

2 應(yīng)用舉例

在本小節(jié)，給出兩個應(yīng)用實例.

例1 考慮如下系統(tǒng):

(2.1)

其中n≥1為正整數(shù)；a(t)，b(t)，c(t)，f(t)，m(t)均為正連續(xù)的ω-周期函數(shù)；其他函數(shù)的定義同系統(tǒng)(0.1).顯然條件(H1)、(H2)、(H3)均成立，且有

下面我們分兩種情況討論系統(tǒng)(2.1)的正周期解的存在性.

例2 考慮無限時滯系統(tǒng):

(2.2)

[1] 梁志清，陳蘭蓀.一類基于比例確定的Leslie系統(tǒng)正周期解的存在性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，2005，18(2): 313-318.

[2] 高建國.具有時滯和基于比率的捕食者-食餌系統(tǒng)全局周期解的存在性[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報，2005，20(3): 315-320.

[3] 梁志清.一類基于比例確定的離散Leslie系統(tǒng)正周期解的存在性[J].生物數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)，2004，19(4): 421-427.

[4] Qi Wang，Ji Zhou，Wang Zhijie，et al.Existence and attractivety of a periodic solution for a ratio-dependent Leslie system with feedback controls[J].Nonlinear Analysis: Real World Appl，2011，12: 24-33.

[5] 潘紅衛(wèi).一類具比例確定和階段結(jié)構(gòu)的Leslie捕食系統(tǒng)正周期解的存在性[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2009，25(5): 73-78.

[6] Tian Desheng.Existence of two periodic solutions of a ratio-dependent Holling-Taner model with infinite delay and prey harvest[J].Applied Mathematics A Journal of Chinese Universities (Ser B)，2008，23(2): 136-142.

[7] Tian Desheng. Periodic solution and persistence for a three-species ratio-dependent predator-prey model with time delay in two-environments[J].Journal of Systems Science and Complexity，2008，21: 226-238.

[8] Gaines R E，Mawhin J L. Coincidence degree and nonlinear differential equations[M].Berlin:Springer，1977.