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    時(shí)間錯(cuò)位限制下最小化總完工時(shí)間的繼列分批重新排序

    2012-01-05 02:32:55馮密羅慕運(yùn)動(dòng)
    關(guān)鍵詞:標(biāo)號(hào)單機(jī)空閑

    郭 曉, 馮密羅, 慕運(yùn)動(dòng)

    (1.河南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院 河南 鄭州 450001; 2.鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)系 河南 鄭州 450001)

    0 引言

    工件錯(cuò)位即在原始排序中產(chǎn)生的錯(cuò)位限制下,最小化最大延誤時(shí)間和總完工時(shí)間的單機(jī)重新排序問(wèn)題[1].Potts等[2-4]考慮了在單機(jī)情況下,分批排序的排序方法以及分批排序問(wèn)題不同情況下的不同算法. Agnetis等[5]主要考慮的是具有兩個(gè)代理和兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最小化加權(quán)總完工時(shí)間等問(wèn)題.Baker等[6]考慮了多準(zhǔn)則模型的機(jī)器排序問(wèn)題,且給出了多代理目標(biāo)函數(shù)的線性組合時(shí)的結(jié)果.Yuan等[7-8]考慮了具有到達(dá)時(shí)間的最大序列或時(shí)間錯(cuò)位限制下的最小化最大完工時(shí)間的重新排序問(wèn)題.根據(jù)Hall等[1]的描述,單機(jī)重新排序問(wèn)題可表示為:令J0={J1,J2,…,Jn0}為單機(jī)上的原始工件集.在模型中,假定J0中的工件已經(jīng)在最小化某一經(jīng)典目標(biāo)函數(shù)下最優(yōu)地安排加工,且π*是一個(gè)最優(yōu)序.令JN={Jn0+1,Jn0+2,…,Jn0+nN}為新工件集,記J=J0∪JN,J中的每一個(gè)工件Jj的加工時(shí)間為整數(shù)且滿足pj≥0,π*和σ*分別表示J0和J工件的最優(yōu)序.對(duì)于J的工件的任意排序σ,定義2個(gè)變量:Cj(σ)表示J中工件Jj在σ中的完工時(shí)間;Δj(π*,σ)=|Cj(σ)-Cj(π*)|表示J0中工件Jj的時(shí)間錯(cuò)位.在不引起混淆的前提下,上面的參數(shù)可以分別簡(jiǎn)化為Cj,Δj(π*).需要說(shuō)明的是,在繼列分批排序中,由于同一批的工件的完工時(shí)間相同,因此,在同一批中工件沒(méi)有先后次序之分.

    在研究問(wèn)題的過(guò)程中,主要考慮兩個(gè)方面:第一,研究分批重新排序問(wèn)題的可行排序和最優(yōu)排序的結(jié)構(gòu)性質(zhì);第二,基于這些性質(zhì)設(shè)計(jì)問(wèn)題的最優(yōu)算法.本文證明了這些問(wèn)題能在擬多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)可解.

    1 問(wèn)題的性質(zhì)

    首先研究1|s-batch,Δmax(π*)≤k|∑Cj和|s-batch,∑Δj(π*)≤k|∑Cj兩個(gè)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)性質(zhì).

    引理1對(duì)于問(wèn)題1|s-batch,Δmax(π*)≤k|∑Cj,如果存在一個(gè)最優(yōu)排序,使得J0中的工件在排序π*和σ*中具有相同的次序,那么一定存在工件間沒(méi)有空閑時(shí)間的最優(yōu)排序,使得排在J0最后一個(gè)工件所在批之前的JN中的工件加工時(shí)間之和不大于k.

    證明因?yàn)樵谂判颚?和σ*中J0中的工件具有相同的排序,移走排序σ*中的任何一個(gè)空閑時(shí)間仍能夠保持其可行性,且∑Cj的數(shù)值不會(huì)增大.那么,該問(wèn)題存在工件間沒(méi)有空閑時(shí)間的最優(yōu)排序.優(yōu)先級(jí)指標(biāo)序列排序原則表明,J0中的工件在排序π*和σ*中具有相同的次序.因此,Δmax(π*)的值是由排在J0最后一個(gè)工件之前的工件的加工時(shí)間之和決定的.

    引理2對(duì)于問(wèn)題1|s-batch,Δmax(π*)≤|∑Cj和1|s-batch,∑Δj(π*)≤k|∑Cj,都存在一個(gè)最優(yōu)排序,滿足J0中的工件與排序π*一樣按照SPT序排列,JN中工件按照SPT序排列,且所有工件間沒(méi)有空閑時(shí)間.

    證明首先分析J0中的工件.假設(shè)最優(yōu)排序σ*中J0的工件并沒(méi)有與排序π*一樣按照SPT序排列.令工件Ji是σ*中比排序π*中相對(duì)于J0的其他工件更靠后的具有最小指標(biāo)的工件,工件Jj(j>i)為σ*中排在工件Ji之前的J0的一個(gè)工件,如果它們?cè)谕慌沃?,顯然不會(huì)增加∑Cj,所以主要討論的是它們不在同一個(gè)批次中的情況.因?yàn)棣?是一個(gè)SPT序列,所以有pi≤pj.通過(guò)相互交換σ*中工件Ji和Jj的位置得到一個(gè)新的排序,記為σ′,那么,Ci(σ′)=Cj(σ′)-pj+pi,Cj(σ′)=Ci(σ′),且σ′中位于Ji和Jj所在批之間的各批工件都比σ*中提早完工pj-pi個(gè)單位時(shí)間.這樣可知,通過(guò)這種互換JN中工件的完工時(shí)間不會(huì)增加,J0中的工件的時(shí)間錯(cuò)位不會(huì)超過(guò)k.如果σ′中工件Jj的位置不比π*中的位置靠前(與工件Ji的情形一樣),若Cj(σ′)≥Ci(σ′),那么Δj(π*,σ′)<Δi(π*,σ*);否則Δj(π*,σ′)<Δj(π*,σ*).這兩種情形下,Δj(π*,σ′)=Δj(π*,σ*)-h′,Δj(π*,σ′)≤Δj(π*,σ*)+h′,其中,h′=Ci(σ*)-Ci(σ′),都有Δmax(π*,σ′)≤Δmax(π*,σ*),∑Δi(π*,σ′)≤∑Δj(π*,σ*).因此,排序σ′是可行的且是最優(yōu)的.重復(fù)上述有限次討論可以說(shuō)明一定存在與排序π*一樣按照SPT序排列的最優(yōu)序.顯然,如果工件之間存在著空閑時(shí)間,減去相應(yīng)的空閑時(shí)間,那么∑Ci肯定會(huì)減小,因此工件之間不存在空閑時(shí)間.

    2 算法設(shè)計(jì)

    對(duì)于問(wèn)題1|s-batch,Δmax(π*)≤k|∑Cj,應(yīng)用引理2的SPT序可以得到一個(gè)最優(yōu)排序.下面的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法給出了滿足最大時(shí)間錯(cuò)位限制下的最優(yōu)組合方案.

    算法1

    標(biāo)號(hào):給JN中所有工件按照SPT規(guī)則標(biāo)號(hào);

    值函數(shù):f(i,j,t,δij)表示最大時(shí)間錯(cuò)位為δij時(shí),部分排序的總完工時(shí)間的最小值,其中,i表示為J0的前i個(gè)工件,j表示為JN中的前j個(gè)工件,t表示當(dāng)前工件的完工時(shí)間;

    初值條件:f(0,0,0,0)=0;

    定理1算法1在時(shí)間O(n0nNn(ns+PN))內(nèi)給出了1|s-batch,Δmax(π*)≤k|∑Cj的最優(yōu)排序.

    證明由引理1,2可知,只要通過(guò)SPT規(guī)則把J0和JN的全部的情況給列出來(lái),算法1通過(guò)比較所有的可能出現(xiàn)的情況,就可以得到最優(yōu)排序.現(xiàn)在考慮算法1的時(shí)間復(fù)雜性,因?yàn)閕≤n0,j≤nN,δ≤k≤ns+PN,t的計(jì)算次數(shù)最多為2n次,而給JN標(biāo)號(hào)所需要的時(shí)間為nNlognN,而遞推關(guān)系的變量所需要的時(shí)間為O(n0nNn(ns+PN)),因此算法1的時(shí)間復(fù)雜性為O(n0nNn(ns+PN)).

    對(duì)于問(wèn)題1|s-batch,∑Δj(π*)≤k|∑Cj,應(yīng)用引理2的SPT序可以得到一個(gè)最優(yōu)排序.下面的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法給出了滿足總時(shí)間錯(cuò)位限制下的最優(yōu)組合方案.

    算法2

    標(biāo)號(hào):給JN中所有工件按照SPT規(guī)則標(biāo)號(hào);

    值函數(shù):f(i,j,t,δ)表示總時(shí)間錯(cuò)位為δ的時(shí)候,部分排序總完工時(shí)間的最小值.其中i表示為J0的前i個(gè)工件,j表示為JN中的前j個(gè)工件,t表示當(dāng)前工件的完工時(shí)間;

    初值條件:f(0,0,0,0)=0;

    其中,u表示工件Ji的時(shí)間錯(cuò)位,h0表示當(dāng)前批中屬于J0但是不與Ji在原始排序中分到同一批的工件個(gè)數(shù),h1表示當(dāng)前批中工件個(gè)數(shù)(不包含工件Ji),h2表示當(dāng)前批中屬于J0的工件個(gè)數(shù),h3表示當(dāng)前批中工件個(gè)數(shù)(不包含工件Jj).

    定理2算法2在時(shí)間O(n0nNn(ns+min{n0PN,nNP0}))內(nèi)給出了1|s-batch,∑Δj(π*)≤k|∑Cj的最優(yōu)排序.

    證明由引理2可知,只要通過(guò)SPT規(guī)則把J0和JN的全部的情況給列出來(lái),算法2通過(guò)比較所有可能出現(xiàn)的情況,就可以得到最優(yōu)排序.現(xiàn)在考慮算法2的時(shí)間復(fù)雜性,因?yàn)閕≤n0,j≤nN,δ≤k≤ns+min{n0PN,nNP0},t的計(jì)算次數(shù)最多為2n次.而給JN標(biāo)號(hào)所需要的時(shí)間為nNlognN,而遞推關(guān)系的變量所需要的時(shí)間為O(n0nNn(ns+min{n0PN,nNP0})),因此算法2的時(shí)間復(fù)雜性為O(n0nNn(ns+min{n0PN,nNP0})).

    [1] Hall N G, Potts C N. Rescheduling for new orders[J]. Operations Research, 2004,52(3):440-453.

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