黎曼流形上的Ricci曲率張量及其應(yīng)用

焦慧平，肖德華

(1.中州大學(xué) 信息工程學(xué)院，鄭州 450044；2.信陽(yáng)農(nóng)業(yè)高等?？茖W(xué)校 計(jì)算機(jī)科學(xué)系，河南 信陽(yáng) 464000)

引言

令M是一個(gè)緊致連通的n維黎曼流形，文獻(xiàn)[1]給出了Schouten張量[2]在局部共形對(duì)稱與局部共形平坦黎曼流形上的應(yīng)用，在此通過(guò)對(duì)Ricci曲率張量的研究得到以下結(jié)論:

推論1 M是一個(gè)緊致連通的具常數(shù)量曲率的黎曼流形，Rij,k=Rik,j，如果M的截面曲率為正，則M是一個(gè)Einstein空間。

1.預(yù)備知識(shí)

設(shè)M是n維緊致定向連通光滑黎曼流形，(e1,e2,…,en)為M上的局部標(biāo)架場(chǎng)，{ω1,ω2,…,ωn}為其對(duì)偶余標(biāo)架場(chǎng)，M的結(jié)構(gòu)方程：

dω1=ωjΛωji,ωij+ωji=0,

其中ωij是M的Levi-Civita聯(lián)絡(luò)，Rijkl是M的黎曼曲率，且Rijkl有不可約分解

(1)

其中Wijld，Rij和R分別表示W(wǎng)ey1共形曲率張量的分量，Ricci曲率張量Ric的分量和數(shù)量曲率。

M的Ricci曲率張量Ric的分量Rij和數(shù)量曲率R分別由下式定義

Rij∑Rikjk，R=∑Rkk

記Δ和▽分別表示M上Levi-Civita 聯(lián)絡(luò)的協(xié)變微分算子和Laplace算子，并將協(xié)變導(dǎo)數(shù)的局部表示記為

Rij,k=▽ekRij,Rij,ld=▽el▽ekRij,

ΔRij=∑Rij,kk等。

一階協(xié)變導(dǎo)數(shù)例如Rij,k和二階協(xié)變導(dǎo)數(shù)例如Rij,ld定義為

Rij,kωk=dRij+Rilωlg+Rjkωki,

Rij,ldωl=dRij,k+Rlj,kωli+Ril,kωlj+Rij,lωlk。

并且Ricci恒等式可類似如下定義

Rij,ld-Rij,lk=RimRmjkl+RjmRmikl。

經(jīng)計(jì)算得

(2)

(3)

2.主要結(jié)論的證明

首先引進(jìn)一個(gè)如下定義的?算子：

其中f∈C2(M,R)，根據(jù)文獻(xiàn)[3]，可以驗(yàn)證?是關(guān)于M的L2-內(nèi)積自伴的，即∫Mnf?g=∫Mng?f。

(4)

(5)

證明：由(3)式得

再由已知條件知結(jié)論成立。

利用Ricci恒等式及Rij,k=Rik,j得

=‖▽Ric‖2+∑Rij[(Rij,kk-Rik,jk)+(Rik,jk-Rik,lg)+(Rik,lj-Rkk,ij)+Rkk,ij]

=‖▽Ric‖2+∑RijRij+∑Rij(RilRlkjk+RlkRlijk)

(6)

將(6)式代入到(5)式得

在p∈M點(diǎn)附近選取標(biāo)準(zhǔn)正交標(biāo)架場(chǎng)e1,e2,…,en，使得Rij=λiδij，則

由于M是緊致的，并且Δ和?是自伴的，對(duì)上式積分得

(7)

根據(jù)引理1知，推論1，2顯然成立。

根據(jù)引理2知，推論3成立。

[1]紀(jì)楠，郭震．具有調(diào)和共形曲率的黎曼流形上的Schouten張量及其應(yīng)用[J]．云南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，25(2)：1-4．

[2]Hu Zejun，L i Haizhong ，Simon U．Schouten curvature functions on locally conformally flat Riemannian manifolds[J]．J．Geom．，2008(88)：75-100．

[3]Cheng S Y，Yau S T．Hypersurfaces with constant scalar curvature[J]．Math．Ann．，1977(225)：195-204．

[4]羅明珍，郭震.局部共形的黎曼流形上的Schouten張量[J].云南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,31(4):58-61.