淺層地溫剖面曲線擬合法估算熱擴(kuò)散系數(shù)

何報(bào)寅，劉 杰，徐貴來(lái)，丁 超，劉紅衛(wèi)，楊 柳

（1.中國(guó)科學(xué)院 測(cè)量與地球物理研究所，武漢 430077；2.湖北省地質(zhì)環(huán)境總站，武漢，430034；3.武漢地質(zhì)工程勘察院，武漢 430051）

淺層巖土的熱物性參數(shù)，特別是熱擴(kuò)散系數(shù)（thermal diffusivity，國(guó)內(nèi)文獻(xiàn)也叫導(dǎo)溫系數(shù)，或熱擴(kuò)散率）是淺層地溫能計(jì)算和地源熱泵系統(tǒng)設(shè)計(jì)所必需的重要參數(shù).在現(xiàn)有文獻(xiàn)報(bào)道中，巖土熱物性參數(shù)的獲得可歸結(jié)為3種，即實(shí)驗(yàn)室測(cè)量法、現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試法和文獻(xiàn)參考法［1－4］.實(shí)驗(yàn)室測(cè)量法就是采集樣品在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)用巖土熱物性參數(shù)測(cè)試儀測(cè)定.現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試法是用野外熱物性參數(shù)儀在現(xiàn)場(chǎng)直接測(cè)定.文獻(xiàn)參考法是根據(jù)巖土類型及其含水量等情況，通過(guò)查找規(guī)范、手冊(cè)或相關(guān)文獻(xiàn)，直接引用相同或類似巖土的經(jīng)驗(yàn)值.

本文從地表淺層巖土熱傳導(dǎo)和熱擴(kuò)散理論出發(fā)，提出一種新的估算方法.即利用理論模型擬合地溫實(shí)測(cè)剖面曲線求取淺層巖土的熱擴(kuò)散系數(shù).利用該方法也可同時(shí)估算出地表年平均溫度、溫度變幅、初相等大地溫度特性參數(shù)，這些參數(shù)也是地源熱泵系統(tǒng)設(shè)計(jì)所必需的重要參數(shù).

1 巖土溫度場(chǎng)理論模型

在不考慮地表短暫的非氣候干擾或系統(tǒng)的擾動(dòng)等違反一維傳熱假設(shè)的因素（如產(chǎn)熱、地形、地下水流、熱性能變化等）條件下，任一時(shí)刻在深度z處的淺層地溫T（z）由地溫梯度R（z）和地表時(shí)變溫度引起的擾動(dòng)θ（z）所給定［5］：

其中，T0為地表面平均溫度（℃）；q0為準(zhǔn)穩(wěn)定狀態(tài)下地表熱流密度.

巖土通常可以近似看作是一個(gè)半無(wú)限大介質(zhì)，其熱量傳遞過(guò)程相當(dāng)于半無(wú)限大物體在周期性邊界條件作用下的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程.根據(jù)傳熱學(xué)理論，對(duì)于勻質(zhì)的半無(wú)限大物體周期性變化邊界條件下的溫度場(chǎng)，可用一維導(dǎo)熱微分方程近似描述為［3，5－6］：

該方程的邊界條件就是z＝0處的地表溫度.隨著太陽(yáng)輻射的周期性變化，地表溫度變化也可以看作一個(gè)簡(jiǎn)諧波.對(duì)于一個(gè)振幅為A0，諧振角頻率為f，初始相位為φ0的地表溫度變化的諧振成分，可表達(dá)為余弦函數(shù)形式：

式（3）中，θ（0，t）表示半無(wú)限大物體在表面z＝0處任何時(shí)刻的溫度與平均溫度的差，即θ（0，t）＝T－T0；

應(yīng)用分離變量法求解（2）和（3）式，得到地表溫度諧振信號(hào)向地下傳播引起的任意深度任一時(shí)刻的巖土溫度變化［7－8］：

這里，θ（z，t）為地面下深度z（m）處、t時(shí)刻巖土的溫度與地表平均溫度T0的差值（℃）；k為巖土綜合參數(shù)（m－1），f為簡(jiǎn)諧波動(dòng)頻率；而α為巖土熱擴(kuò)散系數(shù)（也稱導(dǎo)溫系數(shù)，單位是m2·d－1），α＝λ／cρ；λ為巖土導(dǎo)熱系數(shù)（W·m－1·℃－1）；c為巖土比熱（J·kg－1·℃－1）；ρ為巖土密度（kg·m－3）；A0為地表溫度波動(dòng)的振幅（℃）；t0是表面溫度波的初始相位出現(xiàn)的時(shí)間，單位與諧波周期一致.

于是，對(duì)每個(gè)溫度簡(jiǎn)諧波，其振幅A隨深度的衰減和相位φ隨深度的偏移分別為：

由于太陽(yáng)輻射的變化有年和日兩個(gè)基本的周期變化，也有長(zhǎng)周期的變化（如11年左右的太陽(yáng)黑子周期等），所以地表溫度變化也是多個(gè)簡(jiǎn)諧周期的疊加.根據(jù)熱傳導(dǎo)理論，地表邊界處同時(shí)有不同周期τi（i＝1，2，3，…，n.τi＝1／fi）的多個(gè)溫度波動(dòng)，其對(duì)溫度場(chǎng)的作用等價(jià)于單一波動(dòng)的疊加：

于是，在不考慮大地?zé)崃鞯那闆r下，周期性變化的邊界條件下任意深度z處巖土的溫度隨時(shí)間的變化可用下式描述：

而在考慮大地?zé)崃鞯那闆r下，可以描述為［5］：

由式（10）和（11）式可以看出，在地層內(nèi)任意深度的z處，巖土的溫度的變化與表面z＝0處的溫度變化規(guī)律相似，都是周期相同的余弦函數(shù)規(guī)律.但深度為z處的溫度簡(jiǎn)諧波的振幅隨著z的增大，逐漸衰減.當(dāng)溫度振幅衰減到一定程度時(shí)，溫度波動(dòng)很小，幾乎為0，可以忽略不計(jì).在此深度以下，巖土溫度可以看作是常年保持不變，稱為等溫層.根據(jù)各城市地表面平均溫度、年地表面溫度波幅和當(dāng)?shù)貛r土熱物性能參數(shù)，可以計(jì)算出每一時(shí)刻、各個(gè)深度下的巖土溫度值.

2 地溫剖面擬合模型

2.1 周期確定

大部分鉆孔測(cè)量時(shí)間都比較短，不到1h，測(cè)量時(shí)間內(nèi)溫度變化不大；另外1天的溫度變化影響的深度較淺，根據(jù)公式計(jì)算和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證，1m深處的溫度可以認(rèn)為基本上不受地表溫度影響.因此實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)可以代表當(dāng)日不同深度處地溫的分布，并且可以忽略1日地表溫度變化對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的影響.

對(duì)淺層地表地溫分布影響的主要因子是太陽(yáng)對(duì)地表輻射，太陽(yáng)輻射存在日夜變化、季節(jié)性變化、22年波動(dòng)和其他周期性變化.其中1年的太陽(yáng)輻射變化對(duì)淺層地表影響比較顯著，地表以下可以達(dá)到5℃的溫度波動(dòng)；另外考慮到淺層地溫能的年內(nèi)平衡，確定淺層地表溫度分布的主要周期為1年，即f＝1／365d.

2.2 擬合模型和參數(shù)求取

在只考慮年周期影響的情況下，即f＝1／365d，地溫的波動(dòng)方程為：

但對(duì)于比較深的孔（孔深大于10m），大地?zé)崃髟斐傻臏囟茸兓呀?jīng)大于0.06℃，可能影響觀測(cè)數(shù)據(jù)，并且隨著深度增加，影響將進(jìn)一步加大.另外長(zhǎng)周期的太陽(yáng)輻射溫度對(duì)10m以下的地溫波動(dòng)也有貢獻(xiàn)，但振幅很小.在假定巖土為均一介質(zhì)的條件下，可以認(rèn)為大地?zé)崃饕鸬牡販靥荻葹橐怀?shù).綜合考慮，可在（12）式中加入一個(gè)線性項(xiàng)，進(jìn)行修正，修正式為：

因此，只要測(cè)得某一時(shí)刻的巖土剖面溫度隨深度變化的曲線，利用（12）或（13）式對(duì)曲線進(jìn)行逆擬合，就可以得到T0、A0、k和β等參數(shù)，進(jìn)而通過(guò)（5）式就可以求得巖土熱擴(kuò)散系數(shù).下文實(shí)例中，曲線擬合采用OriginPro7.5非線性擬合工具完成［9］.需要特別指出的是，由于上述模型是在勻質(zhì)半無(wú)限大傳熱介質(zhì)的假設(shè)條件下得到的，因此這里求得巖土熱擴(kuò)散系數(shù)是代表所觀測(cè)深度內(nèi)整個(gè)巖土層的平均熱擴(kuò)散系數(shù).對(duì)于巖性差異較大的多層巖土，可以根據(jù)地層情況，分段擬合，分層計(jì)算各巖層的參數(shù).

2.3 野外地溫剖面數(shù)據(jù)測(cè)量

本文野外溫度剖面測(cè)量采用的儀器是TP2000溫度記錄儀，是北京安伏電子技術(shù)有限公司的產(chǎn)品.該儀器的主要性能指標(biāo)見表1.

表1 TP2000溫度記錄儀主要性能指標(biāo)［10］Tab.1 Main technical parameters of temperature recorder TP2000

測(cè)量方法：在野外測(cè)量時(shí)，把TP2000溫度記錄儀探頭固定在皮尺頂端，垂直吊下井孔，把探頭完全浸入水中.溫度記錄儀將自動(dòng)記錄井孔中地下水的溫度，測(cè)量深度可由皮尺讀得，時(shí)間由秒表讀出.測(cè)量時(shí)，儀器的記錄時(shí)間間隔設(shè)為10s，每個(gè)深度測(cè)量時(shí)間1～2min，這樣每個(gè)深度處就可以獲得6～12個(gè)溫度讀數(shù)，數(shù)據(jù)整理時(shí)取平均值作為該深度處的地下水溫度.測(cè)量深度間隔一般設(shè)為10cm，在溫度變化緩慢的深部，間隔適當(dāng)加寬至20～30cm.

3 實(shí)例計(jì)算結(jié)果和討論

3.1 實(shí)例1——洪湖市小港站

該組鉆孔由一眼承壓水孔和一眼潛水孔組成，位于湖北省洪湖市小港監(jiān)測(cè)站內(nèi)，經(jīng)緯度為29°55′22.07"N／113°29′31.72"E，1998年 7 月 成 孔，設(shè)有套管和過(guò)濾管，井管內(nèi)徑為110mm，屬地下水長(zhǎng)期觀測(cè)孔.該孔揭示的地層為江漢平原沖洪積相，地層結(jié)構(gòu)呈典型的二元結(jié)構(gòu)［11］.上部0～11.5m為全新統(tǒng)灰綠色～灰黑色淤泥質(zhì)粘土，中間11.5～17.5m為中更新統(tǒng)灰黑色粘土，下部17.5～27.5m為中更新灰綠～灰色粉砂層.該組孔地下水溫度測(cè)量時(shí)間為2009年8月11日，即一年中的第223d（t＝223），測(cè)量時(shí)承壓水位埋深1.05m，潛水位埋深1.05m.

曲線擬合采用（11）式進(jìn)行.擬合效果如圖1.

圖1 洪湖小港觀測(cè)站承壓水孔（a）和潛水孔（b）地溫剖面曲線和擬合結(jié)果Fig.1 Temperature profile curves and fitting results for the boreholes（（a）confined water and（b）unconfined water）at Xiaogang Monitoring Station in Honghu

擬合得到的承壓水孔地溫公式為：

擬合得到的潛水孔地溫公式為：

擬合得到的參數(shù)如表2.

表2 小港站觀測(cè)孔地溫剖面曲線擬合所得參數(shù)Tab.2 Parameters obtained from fitting of temperature profile curves of boreholes at Xiaogang Station

3.2 實(shí)例2——武漢市武昌區(qū)洪山廣場(chǎng)

該鉆孔為工程地質(zhì)勘察孔，成孔時(shí)間為2009年4月20日，位置為30°32′38.62"N，114°20′1.58"E，孔徑為108mm，不設(shè)套管，孔口絕對(duì)高程為22.5m，該孔地下水屬承壓水.地層結(jié)構(gòu)為，表層0～1m為雜填土，地面為薄層水泥路面；上部埋深1～10m為黃褐、灰褐色粘土和粉質(zhì)粘土，軟塑～可塑狀；中部10～43m為灰色粉砂、粉細(xì)砂和細(xì)中砂，局部夾粉土；下部43～55m為古近系（E）～白堊系（K）強(qiáng)風(fēng)化砂礫巖和中風(fēng)化泥質(zhì)砂巖，泥質(zhì)膠結(jié).該鉆孔地下水溫度測(cè)量時(shí)間為2009年7月12日，測(cè)量時(shí)該孔承壓水水位埋深為1.20m.

考慮到該孔測(cè)量深度遠(yuǎn)超出10m，需要考慮大地?zé)崃鞯挠绊?，故采用?2）式進(jìn)行擬合.擬合效果見圖2.

得到該測(cè)點(diǎn)地溫?cái)M合公式：

圖2 武漢市洪山廣場(chǎng)地溫剖面和擬合結(jié)果Fig.2 Fitting results and temperature profile curves for the boreholes at Hongshan Square，Wahan

擬合得到的參數(shù)如表3所示.

3.3 討論

從這幾例看，所用擬合方程都能很好地對(duì)淺層巖土地溫剖面實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，擬合相關(guān)系數(shù)可以達(dá)到0.99以上.在江漢平原洪湖市小港站，擬合得到的熱擴(kuò)散系數(shù)為0.047～0.050m2·d－1，而有關(guān)文獻(xiàn)［1］［2］給出的潮濕的重土（粘土、沙土）的熱擴(kuò)散系數(shù)為0.055m2·d－1，潮濕的輕土（松散的沙子，淤泥）為0.045m2·d－1，二者十分接近.洪湖市小港站是江漢平原地勢(shì)最低洼之處，地下水位高，土壤常年多保持為潮濕狀態(tài)，該處的淺部地層主要為粘土和粉質(zhì)粘土，相對(duì)較為均一，地面為農(nóng)業(yè)耕作自然狀態(tài).可見，擬合得到的熱擴(kuò)散系數(shù)值的大小與該處巖土類型和含水狀態(tài)是相符合的.當(dāng)然，參考文獻(xiàn)中的數(shù)據(jù)只能對(duì)擬合結(jié)果進(jìn)行大致的檢驗(yàn)，下一步還需要結(jié)合現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試和實(shí)驗(yàn)室樣品測(cè)試進(jìn)一步檢驗(yàn).在武漢市洪山廣場(chǎng)測(cè)孔，擬合得到的熱擴(kuò)散系數(shù)為0.090m2·d－1，大于參考文獻(xiàn)中潮濕粘土和沙的值，比砂礫石層的熱擴(kuò)散系數(shù)（約0.085m2·d－1）略大，而接近與巖石和混凝土的熱擴(kuò)散系數(shù)值.總體上比該處巖土層理論上的值偏大.這可能有兩個(gè)因素的影響，一是本文擬合得到的熱擴(kuò)散系數(shù)值是反映測(cè)量深度內(nèi)整個(gè)巖土層宏觀的熱擴(kuò)散特性，與某單一巖土的值有一定差異，二是該處為城市中心，附近地面大部分被建筑物、水泥路面和瀝青路面所覆蓋，這些材料本身的熱擴(kuò)散系數(shù)就大，同時(shí)它們分布在表面，滲透性能很差，削弱了熱傳質(zhì)作用，使整個(gè)剖面的熱擴(kuò)散系數(shù)偏大.該處擬合得到的線性項(xiàng)修正系數(shù)β為－0.077，該系數(shù)很小，對(duì)整個(gè)擬合方程的貢獻(xiàn)也很小.武漢市所在的江漢平原鉆孔地溫梯度約為0.028～0.050［12］，可見，大地?zé)崃鲗?duì)修正系數(shù)的貢獻(xiàn)為一半左右，另一半的貢獻(xiàn)可能來(lái)源于長(zhǎng)期氣候變化和其他因素，如全球變暖趨勢(shì)［13－14］以及城市熱島效應(yīng)［15］.

表3 武漢市洪山廣場(chǎng)測(cè)孔地溫剖面曲線擬合所得參數(shù)Tab.3 Parameters obtained from fitting of temperature profile curves of boreholes at Hongshan square in Wuhan.

擬合得到的其它大地溫度參數(shù)也與所在地區(qū)的實(shí)際情況相符.根據(jù)作者的研究結(jié)果，在洪湖和武漢地區(qū)，年最低地表溫度一般都出現(xiàn)在一月中旬，年地表溫度變幅在10～14℃ 之間.洪湖地區(qū)的年平均地表溫度為18.5℃，武漢地區(qū)由于存在很強(qiáng)的城市熱島效應(yīng)，該值達(dá)到21℃ 左右［16－18］.

應(yīng)該指出的是，本文的模型是建立在一個(gè)半無(wú)限均質(zhì)介質(zhì)的假設(shè)基礎(chǔ)上的.對(duì)于各層巖性差異大的多層地層，以及地下水位低，包氣帶較厚，或人工填土較厚等情況，該模型不適用.下一步，應(yīng)在本文的基礎(chǔ)上，發(fā)展適用于上述情況的多層介質(zhì)擬合模型，更好地模擬反演各地層的熱物性參數(shù).另外，需要注意的是，在本文的方法中，是利用測(cè)量鉆孔中地下水的溫度代替巖土剖面的溫度的，因此是假定鉆孔中地下水與周圍巖土己達(dá)到熱平衡的.這個(gè)條件在老鉆孔中是基本滿足的，對(duì)于新鉆孔，一般成孔后3～4天就基本達(dá)到平衡.為保證充分達(dá)到熱平衡，對(duì)于新鉆孔，一般要求成孔1周以后才能進(jìn)行溫度測(cè)量.

4 結(jié)論

本文研究結(jié)果表明，基于淺層巖土熱傳導(dǎo)和熱擴(kuò)散理論以及一維半無(wú)限均勻介質(zhì)假設(shè)推導(dǎo)出的淺層巖土地溫變化數(shù)學(xué)方程，可以很好地?cái)M合地溫實(shí)測(cè)剖面曲線，通過(guò)曲線擬合能準(zhǔn)確地估算淺層巖土整體熱擴(kuò)散系數(shù)，同時(shí)可以求取地表年平均溫度、溫度變幅、初相等大地溫度特性參數(shù).該方法建立在可靠的理論和清楚物理機(jī)制之上，簡(jiǎn)單有效，可以在實(shí)際工作中推廣應(yīng)用.需要注意的是，該方法的適用范圍是一維半無(wú)限均勻介質(zhì)，故所應(yīng)用的地層條件應(yīng)符合或大致符合該假設(shè).在進(jìn)一步的研究中，可在本文的基礎(chǔ)上，發(fā)展出針對(duì)多層地層的擬合模型，以便更好的擬合實(shí)測(cè)剖面曲線，更準(zhǔn)確地估算大地溫度特性參數(shù)和各地層的熱擴(kuò)散系數(shù).

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