數(shù)學核心素養(yǎng)視域下解題評價研究

王琳杰 張福娥

【摘要】數(shù)學核心素養(yǎng)體現(xiàn)了學生的綜合能力，對課程教學起著引導(dǎo)的作用，基于核心素養(yǎng)下的解題評價可以正確把握學生對知識的掌握程度、內(nèi)化水平，有利于教師的課程教學。首先，筆者結(jié)合2017年新課標所提出的學科核心素養(yǎng)構(gòu)建解題評價框架。其次，選取一道數(shù)學題，利用波利亞思想對解題的四個階段進行具體的分析，深入探討核心素養(yǎng)與數(shù)學解題之間的關(guān)系。最后，提出解題教學建議，為更好的在解題過程中培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)做準備。

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng)? 解題評價? 波利亞解題

【中圖分類號】G642? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）13-0128-02

1.引言

近年來“問題解決的熱潮”久經(jīng)不衰，學習的最終目是提高學生的應(yīng)用能力，而這種能力的培養(yǎng)絕大部分源于“問題解決”。2017年《普通高中數(shù)學課程標準》提出了學科核心素養(yǎng)，素養(yǎng)的體現(xiàn)離不開具體的情境，即問題解決。蔣志學（2017）認為當下研究的數(shù)學核心素養(yǎng)，就是培養(yǎng)學生解題能力的本質(zhì)途徑。同時李尚志（2018）指出新課標提出的核心素養(yǎng)并不是強加于課程之外的負擔，而應(yīng)是滲透在具體知識內(nèi)容的教學中。由于核心素養(yǎng)是一個抽象的概念，需要依附在具體內(nèi)容上才能體現(xiàn)出來，寧銳（2019）在中把六大數(shù)學核心素養(yǎng)兩兩歸類為數(shù)學思維素養(yǎng)、數(shù)學方法素養(yǎng)、數(shù)學工具素養(yǎng)三大素養(yǎng)，在三大素養(yǎng)模型上深入探討了學生在問題解決中所表現(xiàn)出的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力、數(shù)學情意。對于解題評價的研究，2010年黃茜君在文獻論述了一個新的學習方式，嘗試把評價引入解題，為拓展學生解題思維設(shè)計解題過程評價表引導(dǎo)學生對題目的理解與解決。史寧中教授（2018）提到新課程標準修訂中的關(guān)鍵問題之一是基于核心素養(yǎng)的教學和評價，給出了基于核心素養(yǎng)的考試評價，從評價方式和命題形式兩個方面展開討論。

目前國內(nèi)外關(guān)于解題的研究主要表現(xiàn)為對解題方法、習題匯編、競賽解題技巧、解題規(guī)律探究等方面，基于核心素養(yǎng)理論下對解題能力評價的研究并不多。由于學生解題能力參差不齊，如果能夠?qū)W生的解題作出素養(yǎng)上的正確評價，那么教師對學生知識點掌握程度的把握就較準確。鑒于此，為深刻探究核心素養(yǎng)與解題之間的關(guān)系，筆者構(gòu)建一個評價指標框架，從平面解析幾何解題上來研究數(shù)學核心素養(yǎng)的體現(xiàn)，并提出基于核心素養(yǎng)的解題策略。

2.數(shù)學核心素養(yǎng)下解題框架分析

2.1核心素養(yǎng)解題評價框架

數(shù)學核心素養(yǎng)們既是教學核心又是素養(yǎng)體現(xiàn)，教學的各個方面都能夠體現(xiàn)出核心素養(yǎng)。本文所研究的方向主要是聚焦在解題過程，著名數(shù)學家波利亞在《怎樣解題》一書中將解題過程分為四個階段：理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案、回顧。筆者初步把擬定方案和執(zhí)行方案合為一個過程，于是得到解題過程三個大階段即題目理解、策略實施、反思回顧。具體見圖一：

評價的水平劃分就要從解題的角度著手，參照喻平老師在知識層面下的數(shù)學核心素養(yǎng)評價框架，提出在數(shù)學解題下的核心素養(yǎng)的三種水平。見表一：

本文把解題過程分為題目理解、策略實施、反思回顧，每個階段分別與核心素養(yǎng)三水平所對應(yīng)，以此基于數(shù)學核心素養(yǎng)對解題評價提供一個理論框架（見表二），該表直觀地顯示出了解題過程中具體所體現(xiàn)的六大核心素養(yǎng)。

2.2核心素養(yǎng)要素解題體現(xiàn)

（1）運用數(shù)學抽象獲得有效信息

抽象是數(shù)學的特性之一，把題目中隱含的數(shù)量關(guān)系抽象出來，用數(shù)學符號來表示。面對一道題重要的是讀懂題目即通過給出的條件抽象出對自己有用的信息。

（2）運用直觀想象理解問題

直觀想象理解問題的關(guān)鍵，很多題目如果能夠借助圖形，通過建立數(shù)與形的關(guān)系，利用幾何圖形描述問題，建立幾何直觀模型，往往能夠使題目的解決變得更加簡便，通過圖形能夠挖掘出題目中的隱含條件，更能理解問題所在。

（3）運用數(shù)據(jù)分析整理數(shù)據(jù)

題中呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)有可能是圖表或數(shù)字，在解題的過程中需要我們及時判讀哪些數(shù)據(jù)是有用的哪些是多余的，通過對數(shù)據(jù)的分析整理便于我們對問題的快速解決。

（4）運用邏輯推理明確思路

邏輯推理能力在解題中發(fā)揮著重要的作用，首先要保證大腦清晰，在看似互不相聯(lián)系的條件中一步步推出要證明或要求得的問題。把邏輯弄清的同時就是把思路理清的過程。

（5）運用數(shù)學建模設(shè)計框架

數(shù)學建模鍛煉了學生的思維，推理等各方面能力，通過數(shù)學建模把生活中的問題抽象化，用數(shù)學的知識構(gòu)建模型。在擬定思路的基礎(chǔ)上需要設(shè)計一個完整的解題方案和框架。這是解題最重要的環(huán)節(jié)也是必不可少的。

（6）運用數(shù)學運算得出結(jié)果

由于計算機的存在，學生的運算能力往往會被忽視，但是我們必須承認數(shù)學運算在整個解題過程中都有存在，扮演著舉足輕重的地位，解題的最終呈現(xiàn)方式是結(jié)果，恰當?shù)倪\算策略和巧妙的運算途徑相結(jié)合可提升學生的解題能力。

3.解題分析

筆者以求定值和面積取值范圍的解析幾何題目為例，分析探討數(shù)學核心素養(yǎng)在解題各階段是如何發(fā)揮解題作用，基于數(shù)學核心素養(yǎng)進行解題評價。

3.1例題剖析

圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E。

①證明|EA|+|EB|為定值，求出E的軌跡方程。②設(shè)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M和N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交P，Q點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍。（16年高考理科數(shù)學全國卷）

（1）理解題目（一級水平）

理解題目是第一步，通過數(shù)學抽象素養(yǎng)，將題中信息進行檢索整理作圖，運用直觀想象素養(yǎng)對圖形進行分析提取題目中的有用信息。

分析：從圓的一般方程可得圓的標準方程，得圓心坐標和半徑。由已知條件“過B作AC的平行線交AD于點E”作出圖形抽象出點線角的關(guān)系。

第②問，通過觀察圖形，運用直觀想象素養(yǎng)引導(dǎo)得到若要求四邊形MPNQ的面積則求得|PQ|和|MN|兩線段的長。

（2）擬定解題方案

該階段需要將題目中的信息正確獲取，重新編排，這時就要求我們運用邏輯推理素養(yǎng)，數(shù)學建模素養(yǎng)，直觀想象素養(yǎng)擬定解題方案。

（3）執(zhí)行方案（二級水平）

在對題目進行完整梳理則對題目的解答過程有了一個清晰的框架，而后就是方案的實施，在進行具體的解答過程中對數(shù)學運算的要求是很高的，同時也需要邏輯推理的輔助。

（4）回顧（三級水平）

整個解題過程利用直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)對題進行整體把握，梳理大致解題思路，通過數(shù)學抽象素養(yǎng)對該題中的隱含條件進行分析，運用數(shù)學運算素養(yǎng)對第2問面積進行求解與檢驗。

3.2分析總結(jié)

可以發(fā)現(xiàn)解題的不同階段體現(xiàn)了不同核心素養(yǎng)，它們彼此相聯(lián)系，共同完成了整個題目的解答。該題核心素養(yǎng)的體現(xiàn)如下表三：

表三 各級水平核心素養(yǎng)要素的體現(xiàn)

4.基于核心素養(yǎng)解題評價教學建議

核心素養(yǎng)存在于解題的各個階段，筆者在此提出三條解題教學的建議，希望能夠幫助到大家。

（1）創(chuàng)設(shè)情境-問題模式

在解題中如果能夠有具體的生活實例不僅可以吸引學生解題的求知欲，更能有意識地去培養(yǎng)學生數(shù)學建模素養(yǎng)，讓學生主動地進行建構(gòu)，進行問題的解決，問題情境的創(chuàng)設(shè)不是簡單地把生活中的問題搬到課堂上，而是需要一定的策略和藝術(shù)，教師應(yīng)本著貼近學生生活深度挖掘情境與問題之間存在的聯(lián)系，如在平面解析幾何解題中穿插生活實例如聚光燈，行星軌跡等以情景問題為主導(dǎo)線。

（2）滲透解題思想

數(shù)學是一個有著思想靈魂的學科，數(shù)學思想是指實際生活中的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到我們大腦的意識之中，通過一定的思維活動所產(chǎn)生的結(jié)果。其中常見的數(shù)學思想有數(shù)形結(jié)合、化歸、轉(zhuǎn)化、分類、類比、方程、函數(shù)等。這些數(shù)學思想往往體現(xiàn)在數(shù)學解題中，若在解題中教師能夠有意識地把相應(yīng)的數(shù)學思想滲透給學生，那么就能很好地培養(yǎng)學生的數(shù)學建模素養(yǎng)、直觀素養(yǎng)、運算素養(yǎng)。

（3）善于反思

解一道題的目的是掌握一類題的解法，由一道題展開復(fù)習全部相關(guān)內(nèi)容，進行比較，歸納。能夠在解題中總結(jié)反思是核心素養(yǎng)三級水平的體現(xiàn)，也是對知識的提煉、探索深化的有效途徑。這里要求學生能夠運用邏輯推理素養(yǎng)對整個思路進行復(fù)述，運算數(shù)學運算素養(yǎng)對整個過程進行驗算。

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