簡單可求長曲線上的曲線積分

毛戰(zhàn)軍

(長江大學(xué)一年級工作部，湖北荊州 434023)

簡單可求長曲線上的曲線積分

毛戰(zhàn)軍

(長江大學(xué)一年級工作部，湖北荊州 434023)

通過討論簡單可求長曲線上的曲線積分，減弱曲線積分計(jì)算所需的條件，拓廣曲線積分計(jì)算方法應(yīng)用的范圍.

光滑曲線;簡單可求長曲線;曲線積分

關(guān)于曲線積分定義的闡述及曲線積分的計(jì)算，都要求所討論的曲線弧是光滑的，即要求曲線弧的參數(shù)方程x=φ(t)，y=ψ(t)，t∈［α，β］滿足x=φ(t)，y=ψ(t)在［α，β］上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且φ'2(t)+ψ'2(t)≠0.曲線積分并非只有在曲線弧光滑時(shí)才能夠進(jìn)行計(jì)算.

1 第一型曲線積分的定義與計(jì)算的充分條件

在第一型曲線積分的定義中，并沒有強(qiáng)調(diào)所討論的曲線弧為光滑曲線弧，只是要求所討論的曲線弧為平面上可求長度的曲線弧，而在曲線積分計(jì)算的充分條件中，卻要求曲線弧是光滑的.可以猜想:曲線光滑不是曲線積分計(jì)算的必要條件.

2 引理與結(jié)論

引理1設(shè)Γ=是Rn中簡單可求長曲線，f(x，y)在Rn中包含Γ的一個(gè)開區(qū)域Ω內(nèi)連續(xù)，則f(x，y)在Γ上的第一類曲線積分存在，且使得Γ的任意分割T:A=A0，A1，…，Am=B，當(dāng)d(T)=時(shí)，f(x，y)在內(nèi)折線上的積分收斂于f(x，y)在Γ上的積分［2］.從引理中可以看到，只要滿足引理的條件，f(x，y)在內(nèi)折線上的積分收斂于f(x，y)在Γ上的積分，則可以考慮下面的結(jié)論.

證明 取L的任意分割T:A=A0，A1，…，An=B，得到內(nèi)折線A0A1…An，則Ai=(φ(ti)，ψ(ti))，i=0，1，…，n，線段Ai－1Ati的長度為

則由引理得，當(dāng)max{Δti}→0時(shí)，∑→∫Lf(x，y)ds.取和式

由φ'(t)，ψ'(t)在區(qū)間［α，β］上黎曼可積，則φ'2(t)+ψ'2(t)在區(qū)間［α，β］上黎曼可積是x的連續(xù)函數(shù)，則φ'2(t)+ψ'2(t)在區(qū)間［α，β］上黎曼可積，則當(dāng)max{Δti}→0時(shí)，

可以證明定理2是成立的，由此可知在討論曲線積分的時(shí)候，曲線弧光滑這一條件并不是必要的.在簡單連續(xù)曲線L:x=φ(t)，y=ψ(t)，t∈［α，β］上，如果φ(t)，ψ(t)在［α，β］上可微，不需要φ'(t)，ψ'(t)在區(qū)間［α，β］上連續(xù)，只需要φ'(t)，ψ'(t)在區(qū)間［α，β］上黎曼可積，則曲線積分的計(jì)算公式依然是成立的.

3 結(jié)束語

在一般工程應(yīng)用中討論曲線積分時(shí)，大多要求所涉及的曲線弧是光滑的，這是利用定積分計(jì)算曲線積分的充分條件.定理2減弱了計(jì)算所需的條件，應(yīng)用的范圍更廣泛.

［1］ 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析:下冊［M］.3版.北京:高等教育出版社，2001.

［2］ 黃玉民，李成章.數(shù)學(xué)分析:下冊［M］.北京:科學(xué)出版社，1999:349－350.

Curvilinear Integral on Simple Rectifiable Curve

MAO Zhan-jun

(Freshman Education Department，Yangtze University，Jingzhou434023，China)

Through discussion on curvilinear integral on simple rectifiable curve，weakened the condition of calculating curvilinear integral，and extended the application scope of calculation methods for curvilinear integral.

smooth curve;simple rectifiable curve;curvilinear integral

O174.1

A

1007－0834(2011)04－0020－02

10.3969/j.issn.1007－0834.2011.04.007

2011－07－21

毛戰(zhàn)軍(1970—)，男，湖北仙桃人，長江大學(xué)一年級工作部講師.