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    一類半正二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性

    2011-12-22 07:34:26許也平
    關(guān)鍵詞:邊值邊值問(wèn)題不動(dòng)點(diǎn)

    許也平

    (杭州廣播電視大學(xué),浙江杭州 310012)

    一類半正二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性

    許也平

    (杭州廣播電視大學(xué),浙江杭州 310012)

    研究了一類半正二階非線性常微分方程的三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性,利用Krasnosel'skii錐拉伸錐壓縮型不動(dòng)點(diǎn)定理得到了正解存在的兩個(gè)充分條件.

    半正;三點(diǎn)邊值問(wèn)題;正解;存在性;不動(dòng)點(diǎn)定理

    1 引言及引理

    非線性常微分方程邊值問(wèn)題是微分方程領(lǐng)域中的一個(gè)重要研究課題,在非線性擴(kuò)散氣體動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)等學(xué)科中有重要應(yīng)用.近年來(lái),許多作者研究了非線性常微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性[1-5].文獻(xiàn)[1,4-5]中研究的都是非線性項(xiàng)非負(fù)的情形,該文討論下列非線性二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題

    正解的存在性,其中λ>0,0<η<1,0<α<1.

    g∈C([0,1]×[0,∞),R),且存在M>0使

    而由式(3)知問(wèn)題是半正的,關(guān)于半正二階三點(diǎn)邊值正解存在性問(wèn)題的研究較少.最近文獻(xiàn)[6]研究了一類非線性二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題

    其中λ>0,α>0,0<η<1/α.文獻(xiàn)[7]研究了一類非線性二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題

    其中λ>0,0<η<1,0<α<1.受文獻(xiàn)[6-7]的啟發(fā),在此研究半正問(wèn)題(1)正解的存在性.注意到該文的方程與文[6]相同而邊值條件與文[7]相同.該文的目的是證明,若f在無(wú)窮遠(yuǎn)處是超線性(或次線性)的,那么當(dāng)λ充分小(或充分大)時(shí)邊值問(wèn)題式(1)至少有一正解.這里正解是指滿足u(t)>0,?t∈(0,1)的解.下面的Krasnosel’skii錐拉伸錐壓縮型不動(dòng)點(diǎn)定理在該文中起關(guān)鍵作用.其證明可參見(jiàn)文獻(xiàn)[8].

    定理1 設(shè)E是Banach空間,K?E是E中的錐.假設(shè)Ω1及Ω2是E的開(kāi)子集,0∈Ω1且?Ω2.T:K∩\Ω1)→K是全連續(xù)算子.如果以下兩條件之一成立:

    (1)Tu≤u,?u∈K∩?Ω1;Tu≥u,?u∈K∩?Ω2.

    (2)Tu≤u,?u∈K∩?Ω2;Tu≥u,?u∈K∩?Ω1.

    那么T在K∩\Ω1)中至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

    先給出以下條件:

    (H1)0<η<1,0<α<1;

    引理2[7]設(shè)(H1)成立,則對(duì)y∈C+[0,1]邊值問(wèn)題式(4)的唯一解u≥0;進(jìn)一步,若存在t0∈(0,1)使y(t0)>0,則u(t)>0,0<t<1.

    引理3 設(shè)(H1)成立,則對(duì)y∈C+[0,1],邊值問(wèn)題式(4)的唯一解u滿足u(t)≥tu,0≤t≤1.

    證明 設(shè)邊值問(wèn)題(4)相應(yīng)的齊次方程的Green函數(shù)為G(t,s),則

    引理5[6]設(shè)(H2)成立,定義F:[0,∞)→[0,∞)為

    引理7[6]設(shè)式(2)(3)成立,那么由式(7)所定義的算子是全連續(xù)的且Tλ:K→K.

    2 主要結(jié)果及證明

    下面來(lái)敘述并證明該文的主要結(jié)果.

    定理2 設(shè)式(2)(3)及(H1)成立,那么當(dāng)λ充分小時(shí),邊值問(wèn)題式(1)至少有一正解.

    證明 令λ滿足

    [1]Khan A,Rafique M.Existence and multiplicity results for some three-point boundary value problems[J].Nonl Anal,2007,66(8):1686-1697.

    [2]Liu Bingmei,Liu Lishan,Wu Yonghong.Positive solutions for singular second order three-point boundary value problems[J].Nonl A-nal,2007,66(12):2756-2766.

    [3]Zhang Qiumei,Jiang Daqing.Multiple solutions to semipositone Dirichlet boundary value problems with singular dependent nonlinearities for second order three-point differential equations[J].Comput Math Appl,2010,59(8):2516-2527.

    [4]Ma Ruyun.Positive solutions of a nonlinear three-point boundary value problems[J].Electron J Differential Equations,1999,1999(34):1-8.

    [5]Liu Bing.Positive solutions of a nonlinear three-point boundary value problem[J].Appl Mathe Comput,2002,132(1):11-28.

    [6]孫永平.一類半正二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性[J].浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2004,27(4):329-333.

    [7]劉玉玲.一類半正二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題的正解存在性[J].紡織高?;A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào),2006,19(3):256-263.

    [8]郭大鈞.非線性泛函分析[M].濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,1985:310-311.

    Existence of Positive Solution for A Semi-Positive Second-Order Three-Point Boundary Value Problem

    XU Ye-ping

    (Department of Fundamental Courses,Hangzhou Radio &TV University,Hangzhou 310012,China)

    This paper investigated the existence of positive solutions for a semi-positone second-order three-point boundary value problem and obtained two sufficient conditions that guarantee the existence of the positive solutions by using Krasnosel’skii fixed point theorem.

    semi-positone;three-point boundary value problem;positive solutions;existence;fixed point theorem

    O175.8 MSC2010:34B10;34B15;34B18

    A

    1674-232X(2011)05-0411-05

    10.3969/j.issn.1674-232X.2011.05.006

    2011-03-11

    浙江省教育廳科研基金項(xiàng)目(Y200804663).

    許也平(1962—),男,浙江蕭山人,副教授,主要從事微分方程及其應(yīng)用研究.E-mail:xuyep@126.com

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