鏈狀四角系統(tǒng)及六角系統(tǒng)的GA指數(shù)

莊承州

（華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州 510631）

鏈狀四角系統(tǒng)及六角系統(tǒng)的GA指數(shù)

莊承州

（華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州 510631）

設(shè)G=( )V,E是一個圖，G的Geometric-Arithmetic指數(shù)（簡稱GA指數(shù)）在某些化學(xué)物品的物理性質(zhì)方面具有良好的預(yù)測作用．通過計算，給出了直鏈、鋸齒鏈四角系統(tǒng)和轉(zhuǎn)向細(xì)胞個數(shù)為1的鏈狀四角系統(tǒng)的GA指數(shù)公式；證明了六角系統(tǒng)中完全冷凝苯類的GA指數(shù)是其轉(zhuǎn)向六邊形個數(shù)和分枝六邊形個數(shù)的單調(diào)遞增函數(shù)．

GA指數(shù)；鏈狀四角系統(tǒng)；六角系統(tǒng)；轉(zhuǎn)向細(xì)胞；分枝六邊形

分子的很多特性是由分子的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)所確定的，既包括那些與分子大小和形狀有關(guān)的性質(zhì)，如分子的體積、沸點、溶解度等；又包括分子的量子力學(xué)特性，如能量級、電子密度等，而這些性質(zhì)本質(zhì)上依賴于原子的連通性[1]．因此，給出反映分子結(jié)構(gòu)基本特征的一種定量標(biāo)準(zhǔn)就具有重要意義，這樣的定量標(biāo)準(zhǔn)通常稱為拓?fù)渲笖?shù)[2-3]．其中，Geometric-Arithmetic指數(shù)（簡稱GA指數(shù)）在某些化學(xué)物品的物理性質(zhì)方面，如熵、汽化焓、標(biāo)準(zhǔn)汽化焓、生成焓和離散系數(shù)等，有良好的預(yù)測作用[4]．

1 直鏈、鋸齒鏈四角系統(tǒng)和轉(zhuǎn)向細(xì)胞個數(shù)為1的鏈狀四角系統(tǒng)的GA指數(shù)

1.1 基本定義

四角系統(tǒng)是2-連通平面圖，其每個內(nèi)部面都是單位正方形（又稱為細(xì)胞），且每條邊至少屬于一個細(xì)胞(見圖1).

定義1 G為一個四角系統(tǒng)，且G中任何4個細(xì)胞沒有公共頂點，則稱G為渺位四角系統(tǒng)；以G中所有細(xì)胞中心為頂點集，以相鄰細(xì)胞中心連線為邊集的圖稱為圖G的特征圖；如果特征圖為一條路，則稱G為鏈狀四角系統(tǒng)（見圖1）.

如果邊e是G中兩個細(xì)胞的公共邊，則稱邊e為G的內(nèi)部邊，否則稱邊e為G的外部邊.

定義2 G為含n個細(xì)胞的鏈狀四角系統(tǒng)，如果去掉其所有的2度頂點及相關(guān)聯(lián)邊后為一條路，則稱G為鋸齒鏈四角系統(tǒng)，用Zn(n≥1)（圖1（c））表示；不含4度頂點的鏈狀四角系統(tǒng)為直鏈四角系統(tǒng)，用Ln(n≥1) （圖1（a））表示[5].

用βn表示含n個細(xì)胞的鏈狀四角系統(tǒng)的集合．設(shè)Bn∈βn,Bn中細(xì)胞c有2個相鄰細(xì)胞，且它們與c的公共邊不是c的一組對邊，則稱c是一個轉(zhuǎn)向細(xì)胞，記Bn中轉(zhuǎn)向細(xì)胞個數(shù)為t(Bn)．用一條折線順序連接Bn中各細(xì)胞中心，則這折線拐點個數(shù)即為Bn轉(zhuǎn)向細(xì)胞個數(shù)t(Bn)，于是0≤t(Bn)≤n-2,t(B1)=t(B2)=0，特別，當(dāng)t(Bn)=0時，Bn=Ln；當(dāng)t(Bn)=n-2時，Bn=Zn．

圖1 鏈狀四角系統(tǒng)

1.2 主要結(jié)果及其證明

圖2 鏈狀四角系統(tǒng)B32、B42、B52和Bn2

2 完全冷凝苯的GA指數(shù)

圖3 不含分枝的完全冷凝苯L′n、B′n和Z′n

由（1）的結(jié)論易知（2）、（3）得證.

下面計算含分枝的（至少存在一個六邊形有3個相鄰六邊形）完全冷凝苯，用Fn(n≥4)表示．對于Dn∈Fn，若Dn（如圖4）的六邊形有3個相鄰的六邊形，則稱該六邊形為Dn的分枝六邊形，記b(Dn)為Dn分枝六邊形個數(shù)；若Dn中六邊形H僅有2個相鄰六邊形，且與H的公共邊不是H對邊，則稱H是轉(zhuǎn)向六邊形，用t(Dn)表示Dn中轉(zhuǎn)向六邊形的個數(shù).

圖4 含分枝的完全冷凝苯Dn

將Dn看成由Dn-1添加Hn得到，設(shè)與Hn相鄰六邊形為Hn-1，則通過計算可知：對于n≥4,Dn∈Fn,有

[1]ROUVRAY D H.Predicting chemistry from topology[J]．Sci Amer，1986，255：42-47.

[2]GUTMAN I.Extremal hexagonal chains[J]．J Math Chem,1993，12：197-210.

[3]鄧漢元，徐立新．雙圈圖的Laplace譜半徑[J]．湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，2002，25（1）：1-3.

[4]YUAN YAN，ZHOU BO.On geometric-arithmetic index[J]．J Math Chem，2010，47：833-841.

[5]魏首柳．鏈狀四角系統(tǒng)的Randic指數(shù)[J]．閩江學(xué)院學(xué)報，2010，31（2）：9-12.

[6]鄧漢元，夏建業(yè)，夏方禮．六邊形系統(tǒng)的Randic指數(shù)[J]．湖南師范大學(xué)：自然科學(xué)學(xué)報，2003，26（3）：9-13.

Geometric-Arithmetic Index of the Chain Polyomino Systems and Hexagonal Systems

ZHUANG Cheng-zhou
(School of Mathematical Sciences,South China Normal University,Guangzhou 510631,China)

LetG=(V,E)be a graph,The Geometric-Arithmetic index(called GA index)serves as a good predictor in the physical properties of certain chemicals.Using counting arguments，we can get the GA index of linear chain polyomino systems,zigzag chain polyomino systems,and chain polyomino systems with the number of turned cell being one.And we prove that the GA index is monotone increasing over the number of turned hexagons and the number of branched hexagons in hexagonal systems.

GA index；chain polyomino systems；hexagonal systems；turned cell；branched hexagons

O157.5

A

1007-6883(2011)06-0017-05

2011-09-20

莊承州（1989-），男，廣東普寧人，華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2011級在讀研究生.

責(zé)任編輯 朱本華