求解地基極限承載力的上限有限元滑動(dòng)面搜索法

王宇航 楊峰

摘 要：提出一種基于上限有限元的滑動(dòng)面搜索法用于求解地基極限承載力。計(jì)算思路為：通過(guò)將破壞區(qū)域按照假定可能的破壞模式的方式進(jìn)行網(wǎng)格劃分并且網(wǎng)格參數(shù)化，然后利用上限有限元求解對(duì)應(yīng)參數(shù)條件下的上限解，再?gòu)闹羞x取最優(yōu)上限解及其對(duì)應(yīng)的滑動(dòng)面，即達(dá)到利用上限有限元搜索最優(yōu)滑動(dòng)面的目的。該法綜合了上限有限元計(jì)算靈活、剛體滑塊上限法可獲得直觀滑動(dòng)面的特點(diǎn)，可高效快速的獲得一系列上限解并從中優(yōu)選，具有計(jì)算成本低，且能保證計(jì)算精度等優(yōu)勢(shì)。通過(guò)條形基礎(chǔ)地基極限承載力的計(jì)算分析，驗(yàn)證了該法的有效性，并可望應(yīng)用于類似問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：極限分析上限有限元上限法剛體滑動(dòng)面地基極限承載力

1 引言

在進(jìn)行巖土工程穩(wěn)定性分析時(shí)，采用極限分析上限法能直接快速獲得上限解。傳統(tǒng)的上限法（剛體滑塊上限法）需預(yù)先假定破壞模式[1]，而上限有限元法通過(guò)將破壞區(qū)域離散成三角形單元，通過(guò)系統(tǒng)耗能最小原理直接搜索獲得上限解[2,3]。

剛體滑塊上限法對(duì)于特定問(wèn)題求解簡(jiǎn)單，并可得到具體的滑動(dòng)面；上限有限元法計(jì)算結(jié)果與網(wǎng)格單元存在依賴性，計(jì)算獲得的滑動(dòng)面形狀不明顯。

本文試圖結(jié)合兩者的優(yōu)勢(shì)，即采用假定破壞模式的方式劃分上限有限元網(wǎng)格，將破壞區(qū)域的滑動(dòng)面表示成帶參數(shù)的多段線，調(diào)整滑動(dòng)面參數(shù)并利用上限有限元進(jìn)行計(jì)算獲得一系列上限解，最后從中選取最優(yōu)解。

本文以經(jīng)典的條形基礎(chǔ)地基承載力問(wèn)題為例，說(shuō)明采用上述思路的實(shí)現(xiàn)過(guò)程，計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)有文獻(xiàn)進(jìn)行對(duì)比分析，論證基于上限有限元的滑動(dòng)面搜索法對(duì)特定問(wèn)題的可行性和有效性。

2 極限分析上限有限元

極限分析上、下限理論應(yīng)用于巖土工程穩(wěn)定性分析的原理和方法在Chen W F的著作中有詳細(xì)的論述[1]。由于計(jì)算簡(jiǎn)便，極限分析上限法長(zhǎng)期以來(lái)均采用與極限平衡法類似的假定剛體滑面模型的形式。

然而，當(dāng)破壞模式不易假定時(shí)，采用Sloan等提出的上限有限元模型就變得更加有效[2]。本文所采用的上限有限元原理和流程參考了Sloan等所作的工作[2,3]，區(qū)別在于網(wǎng)格劃分按照假定破壞模式的方法進(jìn)行。

當(dāng)采用線性規(guī)劃模型時(shí)，上限有限元需對(duì)摩爾-庫(kù)倫屈服準(zhǔn)則進(jìn)行線性化，之后模型即可轉(zhuǎn)化為如下線性規(guī)劃問(wèn)題：

Minimize(1)

Subject to(2)

式(1)、(2)中為目標(biāo)函數(shù)(1)的系數(shù)向量；為決策變量，由單元節(jié)點(diǎn)速度（實(shí)域）、速度間斷線輔助速度參數(shù)（非負(fù)值）和單元內(nèi)部塑性乘子（非負(fù)值）組成；為等式約束系數(shù)矩陣，為等式約束右側(cè)向量。

由虛功率平衡方程獲得目標(biāo)函數(shù)(1)；等式 (2)由單元內(nèi)部和速度間斷線塑性流動(dòng)約束條件、速度和應(yīng)力邊界約束條件組成。上限有限元基本原理及具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程參見(jiàn)文獻(xiàn)[3]。

3 條形基礎(chǔ)地基承載力

3.1 上限有限元模型建立

地基極限承載力可方便的轉(zhuǎn)化為求解承載力系數(shù),和，其中與自重相關(guān)的承載力系數(shù)的解答需通過(guò)數(shù)值計(jì)算獲得。為減少篇幅，本文僅進(jìn)行的計(jì)算。

地基承載力上限有限元模型網(wǎng)格劃分如圖1所示。利用對(duì)稱性，只考慮模型右側(cè)的一半?？梢钥闯?，三角形單元的布置與現(xiàn)有的破壞模式近似。破壞模式由5個(gè)三角形組成，其中過(guò)渡區(qū)三角形個(gè)數(shù)；破壞模式可由圖中的角度,,,唯一確定。為使剛體運(yùn)動(dòng)更加靈活，過(guò)渡區(qū)中每個(gè)三角形的角度,可取不同數(shù)值。以角度為決策變量，耗散能最小化為目標(biāo)函數(shù)，對(duì)應(yīng)的速度矢量閉合圖為幾何約束條件，即構(gòu)成剛體滑塊上限法的求解方法。

剛體滑塊上限法認(rèn)為耗散能僅在間斷線上發(fā)生[4]。采用上限有限元時(shí)，三角形單元也允許發(fā)生塑性變形，而不再是剛體。如圖1，上限有限元求解承載力問(wèn)題時(shí)，建立圖示的坐標(biāo)系，模型邊界條件為：基礎(chǔ)下方三角形單元左側(cè)邊節(jié)點(diǎn)向速度分量，上邊向速度分量，向速度分量；下邊界滑動(dòng)面對(duì)應(yīng)的邊界條件（剛性邊界）為，此約束并未將臨近的三角形單元節(jié)點(diǎn)速度置零，而是在剛性邊界添加虛擬節(jié)點(diǎn)，并將這些節(jié)點(diǎn)的速度分量均置零，然后在滑動(dòng)面上施加間斷線約束條件。

圖1 地基承載力上限有限元模型網(wǎng)格劃分及邊界條件

由于基礎(chǔ)下方的三角形向速度置零，意味著基礎(chǔ)與地基之間完全粗糙。

上限有限元計(jì)算前需確定三角形單元的數(shù)目()和摩爾-庫(kù)倫屈服準(zhǔn)則線性化對(duì)應(yīng)的塑性乘子數(shù)目，之后將模型的幾何和力學(xué)參數(shù)導(dǎo)入已編制的上限有限元程序，通過(guò)求解線性規(guī)劃問(wèn)題即可獲得承載力系數(shù)的上限解。

3.2 地基破壞時(shí)滑動(dòng)面搜索策略

按照?qǐng)D1模型設(shè)置的三角形單元較少，因此對(duì)于特定網(wǎng)格所獲上限解精度不高。于是，將上述上限有限元的網(wǎng)格參數(shù)化，即由三個(gè)角度參數(shù),,確定一系列的網(wǎng)格，計(jì)算對(duì)應(yīng)的上限解，再?gòu)闹羞x取最小值，與其對(duì)應(yīng)的,,所確定的破壞模式和滑動(dòng)面即為搜索過(guò)程獲得的最終結(jié)果。

從圖1可知，參數(shù),,的取值存在合理范圍：

(3)

因此，參數(shù),,的取值可在式(3)所示的范圍內(nèi)均勻選取。同時(shí)，為了減少無(wú)效的計(jì)算量，在試算的基礎(chǔ)上也可將式(3)中的參數(shù)取值范圍進(jìn)一步縮小。

4 計(jì)算結(jié)果討論

按照上述方法，以下采用上限有限元進(jìn)行地基承載力的計(jì)算以及最優(yōu)滑動(dòng)面的搜索。

4.1 計(jì)算參數(shù)的設(shè)置

選取破壞模式過(guò)渡區(qū)三角形單元數(shù)目為，塑性乘子數(shù)目。于是模型單元總數(shù)為102，間斷線數(shù)目202。以內(nèi)摩擦角為 例，參數(shù)的取值范圍選取為；參數(shù)的取值范圍選取為；參數(shù)的取值范圍為。

計(jì)算步驟為：①按照2°間隔依次選取參數(shù)；②對(duì)于每個(gè)值，按1°間隔依次選取參數(shù)；③對(duì)于每組和值，按1°間隔依次選取參數(shù)；④對(duì)于每組,和值，進(jìn)行一次上限有限元計(jì)算并記錄獲得的值；⑤進(jìn)行循環(huán)計(jì)算，獲得取值范圍內(nèi)每個(gè),和值組合對(duì)應(yīng)的值；⑥得到所有值的最小值。

4.2 計(jì)算結(jié)果分析與討論

當(dāng)時(shí)，采用上限有限元法獲得的承載力系數(shù)計(jì)算結(jié)果如表1。

表1 地基承載力系數(shù)Nγ計(jì)算參數(shù)和結(jié)果

/° /° /° Nγ

128 100 100 40 53 21.00

102 40 51 20.63

104 40 48 20.43

106 40 46 20.40

108 40 43 20.51

110 41 41 20.78

112 41 39 21.20

114 42 37 21.74

116 41 36 22.34

118 42 32 22.84

120 43 30 23.54

表1列出了不同參數(shù)取值時(shí)計(jì)算結(jié)果。其中最優(yōu)解為，對(duì)應(yīng)的,和值分別為106°, 40°和46°。

最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的三角形單元網(wǎng)格劃分和破壞模式見(jiàn)圖2。如圖2(a)，其中地基破壞模式的過(guò)渡區(qū)內(nèi)劃分了密集的三角形單元，以形成速度間斷線并減小滑動(dòng)面范圍。圖2(b)為破壞模式，即表示基礎(chǔ)向下移動(dòng)單位長(zhǎng)度1時(shí)，地基內(nèi)部破壞區(qū)域的運(yùn)動(dòng)形態(tài)?？梢钥闯?，單元之間錯(cuò)動(dòng)，說(shuō)明速度間斷線的作用明顯。被動(dòng)區(qū)的三角形單元向上擠出，說(shuō)明單元發(fā)生了顯著的變形，不再為剛體。

(a) 三角形單元網(wǎng)格劃分

(b) 破壞模式

圖2 計(jì)算承載力系數(shù)時(shí)的網(wǎng)格劃分和所獲破壞模式

按4.1節(jié)計(jì)算步驟，表1列出了時(shí)不同取值對(duì)應(yīng)的較優(yōu)上限解和參數(shù),值。將表中每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的破壞區(qū)域滑動(dòng)面形狀繪制如圖3所示。其中值越大，對(duì)應(yīng)的滑動(dòng)面范圍越大。最優(yōu)解對(duì)應(yīng)于從上至下第四條滑動(dòng)面?？梢韵胂?，破壞范圍越大，對(duì)應(yīng)的值越大；然而破壞范圍越小，其破壞區(qū)域的速度場(chǎng)變化越劇烈，自重功率也將增加。于是，最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的滑動(dòng)面包含在圖3所示的最大與最小破壞區(qū)域之間。

圖3 不同取值對(duì)應(yīng)的破壞區(qū)域滑動(dòng)面

為說(shuō)明不同參數(shù)取值時(shí)計(jì)算結(jié)果的差異，以下將時(shí)，不同和取值對(duì)應(yīng)的值示意如圖4。

圖4 和不同取值對(duì)應(yīng)的承載力系數(shù)計(jì)算結(jié)果

圖4右側(cè)坐標(biāo)軸表示角度，取值范圍為；左側(cè)坐標(biāo)軸為角度，取值范圍為；豎向坐標(biāo)軸表示承載力系數(shù)。從圖中可知，當(dāng)取較小值、取較大值時(shí)，計(jì)算得到的值較大。值組成的曲面呈凹形，盡管曲面底部較平緩，但仍存在最小值為20.40，說(shuō)明通過(guò)設(shè)定參數(shù)取值范圍并逐次計(jì)算確實(shí)可以搜索到最優(yōu)解。

表2列出了內(nèi)摩擦角取不同值時(shí)所得的承載力系數(shù)計(jì)算結(jié)果以及對(duì)應(yīng)的角度參數(shù),和值，計(jì)算選取, 。其中右側(cè)文獻(xiàn)[5]為Soubra采用多剛體塊上限法獲得的值；而文獻(xiàn)[6]為Martin采用滑移線法經(jīng)高精度數(shù)值計(jì)算獲得的值，可認(rèn)為是精確解。

表2 地基承載力系數(shù)Nγ計(jì)算參數(shù)和結(jié)果

/° /° /° /° 本文

Nγ 文獻(xiàn)[5]

Nγ 文獻(xiàn)[6]

Nγ

10 86 3 60 0.71 0.85 0.43

20 92 26 56 4.24 4.67 2.84

30 106 40 46 20.40 21.88 14.75

40 118 52 38 113.77 120.96 85.57

從表2可看出，本文所得上限解優(yōu)于采用剛體滑塊上限法的文獻(xiàn)[5]，這與單元允許發(fā)生塑性變形有關(guān)；本文上限解較之文獻(xiàn)[6]的精確解仍存在誤差，可通過(guò)進(jìn)一步細(xì)化網(wǎng)格，特別是設(shè)置多層單元的方式進(jìn)行彌補(bǔ)，這也是后續(xù)需展開(kāi)的工作。

為了說(shuō)明塑性乘子數(shù)目對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，將值取4~128時(shí)對(duì)應(yīng)結(jié)果列表如表3。可以看出，值較小時(shí)，所得值變大，計(jì)算結(jié)果精度降低；而當(dāng)值大于64時(shí)，計(jì)算結(jié)果的變化不再明顯。

表3 地基承載力系數(shù)Nγ計(jì)算參數(shù)和結(jié)果

/° /° /° Nγ

4 100 106 40 46 21.43

8 20.96

16 20.55

32 20.44

64 20.40

128 20.40

地基破壞模式中的過(guò)渡區(qū)的三角形數(shù)目亦對(duì)計(jì)算結(jié)果有影響，將取不同值時(shí)對(duì)應(yīng)的值列表如表4?？梢钥闯?，隨著值增加，計(jì)算結(jié)果變小，計(jì)算精度增加。這主要得益于三角形數(shù)目越多，破壞范圍越小且過(guò)渡區(qū)速度間斷線也越多。

表4 地基承載力系數(shù)Nγ計(jì)算參數(shù)和結(jié)果

/° /° /° Nγ

128 10 106 40 46 22.32

20 21.72

40 20.99

60 20.68

80 20.50

100 20.40

為了揭示值對(duì)破壞模式以及滑動(dòng)面的影響，將時(shí)的三角形單元網(wǎng)格劃分和計(jì)算得到的破壞模式示意如圖5。與圖2對(duì)比可發(fā)現(xiàn)，取值較小時(shí)，破壞范圍相應(yīng)變大，破壞區(qū)域的變形特別是基礎(chǔ)角點(diǎn)附近的變形劇烈程度降低，因此所得上限解精度降低。

(a) 三角形單元網(wǎng)格劃分

(b) 破壞模式

圖5 計(jì)算承載力系數(shù)時(shí)的網(wǎng)格劃分和所獲破壞模式

5 結(jié)論

以條形基礎(chǔ)地基承載力問(wèn)題為例，提出采用假定破壞模式的方式建立上限有限元計(jì)算網(wǎng)格，并將破壞模式的滑動(dòng)面參數(shù)化。通過(guò)上限有限元求解對(duì)應(yīng)參數(shù)條件下的一系列承載力系數(shù)的上限解，再?gòu)闹羞x取最優(yōu)上限解和對(duì)應(yīng)滑動(dòng)面，即達(dá)到采用上限有限元搜索最優(yōu)滑動(dòng)面的目的。

基于上限有限元的滑動(dòng)面搜索法具有計(jì)算成本低，且計(jì)算精度有保證，能直觀獲得破壞區(qū)域滑動(dòng)面的優(yōu)勢(shì)；該法可望通過(guò)進(jìn)一步的改進(jìn)應(yīng)用于特定的巖土工程穩(wěn)定性課題。

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