π-H-模余代數(shù)的Morita-Takeuchi關(guān)系*

陳丹慧， 李金其， 張 濤

(1．浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華 321004;2．武警上海政治學(xué)院數(shù)理教研室，上海200435)

0 引言

Morita定理在研究模和環(huán)的性質(zhì)中有著很重要的地位．Takeuchi［1］給出了余模的Morita關(guān)系，故稱之為Morita-Takeuchi關(guān)系，簡(jiǎn)稱為M-T關(guān)系，它為研究余模和余代數(shù)的性質(zhì)提供了新的方法．

若H是域K上的co-Frobenius Hopf π-余代數(shù)，A是π-H-余模代數(shù)，文獻(xiàn)［2］建立了Smash積π-分次代A°之間的Morita關(guān)系．本文則研究了π-H-模余代數(shù)，得到了與之相對(duì)應(yīng)的M-T關(guān)系．

本文的討論都在域 K上進(jìn)行，為完整起見(jiàn)，先給出一些基本概念［1，3-4］．為方便，文中省略和號(hào)“∑”．

設(shè)C是余代數(shù)，(M，ρM)是右C-余模，(N，ρN)是左 C-余模，余張量積 M□CN 是指 ρM?idN－idM?ρN:M?N→M?C?N的核，即 M□CN=ker(ρM?idN－idM?ρN)．

定義 1［3］Hopf π-余代數(shù) H=({Hα，mα，1α}，Δ，ε，S)指的是 π-余代數(shù) H=({Hα}，Δ，ε)及一族線性映射 S={Sα:Hα→Hα－1}α∈π(稱為 H 的對(duì)極)滿足:

1)對(duì)任意的 α∈π，(Hα，mα，1α)為代數(shù);

2)對(duì)任意的 α，β∈π，Δαβ:Hαβ→Hα?Hβ及 ε:H1→K 為代數(shù)同態(tài);

3)對(duì)任意的 α∈π，mα(Sα－1?idα)Δα－1，α= ε1α=mα(idα?Sα－1)Δα，α－1．

顯然，(H1，m1，11，Δ1，1，ε，S1)是 Hopf代數(shù)．

若對(duì)任意的α∈π，Hα都是有限維的，則稱Hopf π-余代數(shù)H是有限型的;若每個(gè)Sα都是雙射，則稱對(duì)極 S={Sα}α∈π是雙射．

1 π-H-模余代數(shù)

定義2 設(shè)H是Hopf π-余代數(shù)，C是余代數(shù)．若對(duì)任意的α∈π，C是Hα-模，且對(duì)任意的α，β∈π，c∈C，hαβ∈Hαβ，l∈H1，滿足 Δ(hαβ·c)=h(1，α)·c1?h(2，β)·c2，ε(l·c)= εH(l)εC(c)，則稱 C 為左 π-H-模余代數(shù)．

由文獻(xiàn)［3］知，設(shè) H 是 Hopf π-余代數(shù)，V 是線性空間．若對(duì)任意的 α，β∈π，ρVα:V→V?Hα滿足

則稱(V，{ρVα}α∈π)是右 π-H-余模．

定義 3 設(shè) H 是 Hopf π-余代數(shù)，C 是余代數(shù)，且(C，{ρCα}α∈π)是右 π-H-余模．若對(duì)任意的 α∈π，滿

定義4 設(shè) C 是左 π-H-模余代數(shù)．若對(duì)任意的 α∈π，φα:C→Hα是 Hα-模同態(tài)，則稱 φ ={φα}α∈π為C的π-余積分．

定理1 設(shè)C是左π-H-模余代數(shù)．若存在π-余積分 φ={φα}α∈π，且對(duì)任意的 α，β∈π滿足

證明 對(duì)任意的c∈C，有:

定理2 設(shè)C是左π-H-模余代數(shù)．若存在π-余積分φ={φα}α∈π，且對(duì)任意的α，β∈π滿足式(1)，則 C ×H=({C?Hα}α∈π，Δ ={Δαβ}，ε)為 π-余代數(shù)，稱之為 π-Smash 余積．其中，對(duì)任意的 c∈π，h∈

證明 對(duì)任意的 α，β，γ∈π，有

易證(idα?ε)Δα，1=(ε?idα)Δ1，α=id．所以，C × H 為 π-余代數(shù)．

2 Morita-Takeuchi關(guān)系

引理2 設(shè)C是左π-H-模余代數(shù)．若存在π-余積分φ={φα}α∈π，且對(duì)任意的α，β∈π滿足式(1)，則C有誘導(dǎo)的左和右的π-C×H-余模結(jié)構(gòu)，其中對(duì)任意的α∈π，c∈ C，定義

證明 對(duì)任意的α，β∈π，c∈C，有:

證明 由引理3的1)及式(2)和式(4)知，對(duì)任意的α∈π，有

證明 1)先證明f的定義是合理的(其中記Δ(λα)=λα(1)?λα(2))．由于

故Im G?C□?C×HC．另一方面，由于

有了以上的準(zhǔn)備工作，可得到定理3．

［1］Takeuchi M．Morita theorems for categories of comodules［J］．J Fuc Sci Univ Tokyo Sect 1A Math，1977，24(3):629-644．

［2］Wang Shuanghong．Morita contexts，π-galois extension for Hopf π-coalgebras［J］．Comm Algebra，2006，34(2):521-546．

［3］Virelizier A．Hopf group-coalgebras［J］．J Pure Appl Algebra，2002，171(1):75-122．

［4］Sweedler M E．Hopf algebra［M］．New York:Benjamin，1969．