(2+1)-維色散長(zhǎng)波方程新的精確行波解*

戴振祥， 徐園芬

(1．寧波教育學(xué)院 信息與藝術(shù)學(xué)院，浙江 寧波 315010;2．浙江萬里學(xué)院 基礎(chǔ)學(xué)院，浙江 寧波315101)

0 引言

(2+1)-維色散長(zhǎng)波方程［1］為

方程(1)是描述水波通過等深、狹長(zhǎng)理想運(yùn)動(dòng)水道的重要方程，其中u(x，y，t)，v(x，y，t)為所示變量的物理場(chǎng)．文獻(xiàn)［2］給出了式(1)的一組廣義對(duì)稱及其李代數(shù)結(jié)構(gòu);文獻(xiàn)［3］利用齊次平衡法得到了式(1)的一些精確孤波解;文獻(xiàn)［4］給出了式(1)的類孤子解;文獻(xiàn)［5］給出了式(1)的孤子解和有理分式解析解;文獻(xiàn)［6］利用廣義射影Riccati方程得到了精確行波解;文獻(xiàn)［7］利用擴(kuò)展橢圓函數(shù)有理展開解法得到了沖擊波解和孤立波解．本文將利用平面動(dòng)力系統(tǒng)方法［8-11］研究該方程行波解的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，在給定的參數(shù)條件下，求出方程(1)新的峰形(谷形)光滑孤立波解和周期波解．

為研究方程(1)的行波解，作如下行波變換:

把式(2)的第1個(gè)方程關(guān)于ξ積分2次，第2個(gè)方程關(guān)于ξ積分1次，并取積分常數(shù)為0，得

方程(4)等價(jià)于系統(tǒng)

并有以下首次積分:

下面的目標(biāo)是:首先通過定性分析得到系統(tǒng)(5)隨參數(shù)改變的相圖，然后得到方程(1)在參數(shù)平面上不同區(qū)域內(nèi)的行波解的精確參數(shù)表達(dá)式．

1 系統(tǒng)(5)的所有相圖

先求系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn)．

設(shè)E(φe，0)為系統(tǒng)(5)的任一平衡點(diǎn)，M(φe，0)是系統(tǒng)(5)的線性化系統(tǒng)在該平衡點(diǎn)處的系數(shù)矩陣，用 J(φe，0)表示其 Jacobi行列式，經(jīng)計(jì)算得 J(φe，0)= － f'(φe)．由平面動(dòng)力系統(tǒng)分支理論［8-11］知，作為Hamilton系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn)，當(dāng) J＞0(或 J＜0)時(shí)，E(φe，0)是中心(或鞍點(diǎn));當(dāng) J=0并且其Poincaré指標(biāo)為零時(shí)，E(φe，0)是尖點(diǎn)．

通過定性分析知，隨著參數(shù)c，a的改變，系統(tǒng)(5)有如圖1、圖2所示的相圖．

圖1 當(dāng)c＞0時(shí)系統(tǒng)(5)的相圖

圖2 當(dāng)c＜0時(shí)系統(tǒng)(5)的相圖

2 方程(1)孤立波、周期波解的存在性和參數(shù)表示

根據(jù)以上結(jié)果和奇非線性行波方程研究的動(dòng)力系統(tǒng)方法［8］知，下面的結(jié)論成立:

定理1 若下列條件之一成立，則方程(1)存在一峰形或谷形光滑孤立波解:

定理2 若下列條件之一成立，則方程(1)存在一族峰形或谷形光滑周期波解:

下面計(jì)算方程(1)在不同的參數(shù)條件下其光滑孤立波解和周期波解的參數(shù)表達(dá)式．

(5)的第1個(gè)方程得

經(jīng)計(jì)算得到方程(1)的峰形光滑孤立波解的參數(shù)表達(dá)式為

②對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)(5)并由式(6)定義的水平曲線 H(φ，y)=h(h∈(h2，0))，設(shè)參數(shù) r1，r2由

所定義，其中r1＞r2＞φ＞r3＞r4．利用系統(tǒng)(5)的第1個(gè)方程得

經(jīng)計(jì)算得到方程(1)的峰形光滑周期波解的參數(shù)表達(dá)式為

所定義，其中0＞φ＞r3＞r4．利用系統(tǒng)(5)的第1個(gè)方程得

經(jīng)計(jì)算得到方程(1)的谷形光滑孤立波解的參數(shù)表達(dá)式為

②對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)(5)并由式(6)定義的水平曲線H(φ，y)=h(h∈(h1，0))，經(jīng)計(jì)算得到方程(1)的谷形光滑周期波解的參數(shù)表達(dá)式同式(8)．

所定義，其中r1＞r2＞φ＞φ2．利用系統(tǒng)(5)的第1個(gè)方程得

經(jīng)計(jì)算得到方程(1)的峰形光滑孤立波解的參數(shù)表達(dá)式為

②對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)(5)并由式(6)定義的水平曲線H(φ，y)=h(h∈(0，h2))，經(jīng)計(jì)算得到方程(1)的峰形光滑周期波解的參數(shù)表達(dá)式同式(8)．

所定義，其中φ1＞φ＞r3＞r4．利用系統(tǒng)(5)的第1個(gè)方程得

經(jīng)計(jì)算得到方程(1)的谷形光滑孤立波解的參數(shù)表達(dá)式為

②對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)(5)并由式(6)定義的水平曲線H(φ，y)=h(h∈(0，h1))，經(jīng)計(jì)算得到方程(1)的谷形光滑周期波解的參數(shù)表達(dá)式同式(8)．

①對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)(5)并由式(6)定義的水平曲線H(φ，y)=h1(H(φ，y)=h2)，經(jīng)計(jì)算得到方程(1)的谷形(峰形)光滑孤立波解的參數(shù)表達(dá)式同式(11)(式(10))．

②對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)(4)并由式(5)定義的水平曲線H(φ，y)=h(h∈(h2，h1)或h∈(h1，h2))，經(jīng)計(jì)算得到方程(1)的谷形(峰形)光滑周期波解的參數(shù)表達(dá)式同式(8)．

致謝:衷心感謝浙江師范大學(xué)趙曉華教授的指導(dǎo)!

［1］洪寶劍，方國(guó)昌，盧殿臣，等．(2+1)維色散長(zhǎng)波方程新的類孤子解［J］．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2009，39(1):194-197．

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