廣義凸性假設下的集合最優(yōu)化解的性質(zhì)＊

李毛親， 李杉林

(1．太原師范學院數(shù)學系，山西太原 030012;2．臺州學院數(shù)學系，浙江臨海 317000)

0 引言

集合最優(yōu)化問題依賴于集合之間的序關系，這種序關系最早由Young［1］于1931年提出．1984年，Nishniandze［2］在研究集值映射的不動點時用了這種序關系;1997年，Kuroiwa等［3-6］在此基礎上定義了集合之間的6種序關系，并應用其中的2種序關系定義了具有集值映射的多目標最優(yōu)化問題的最優(yōu)集和最優(yōu)解的概念，研究了解的存在性及對偶問題．從此，集合最優(yōu)化(set optimization)的概念被大家接受，并越來越多地受到關注．文獻［7］討論了集合最優(yōu)化的共軛對偶問題;文獻［8］通過定義集簇的Kl-半緊性和Ku-正則性，得到了最優(yōu)集和最優(yōu)解存在的充分和必要條件，其結(jié)論的特殊情況就是經(jīng)典的向量最優(yōu)化問題有效解的存在性結(jié)論;文獻［9-10］定義了集合最優(yōu)化問題的弱最優(yōu)的概念，分別討論了Lagrange對偶和數(shù)值化的問題;文獻［11］探討了集合最優(yōu)化的外穩(wěn)定性問題，得到了外穩(wěn)定的條件．

設X，Y是拓撲線性空間，K?Y是內(nèi)部非空的尖閉凸錐，導出Y中的向量之間的偏序為:

對于向量最優(yōu)化問題

其中:φ≠M?X;F:M→2Y是集值映射．稱x0∈M為(VP)的有效解(弱有效解)，若存在y0∈F(x0)使得

若將F(x)看作參加國內(nèi)CBA聯(lián)賽的籃球隊，x為該隊教練，負責隊伍的組織和訓練．由向量最優(yōu)化有效解的定義可以看到:若在某支球隊F(x0)中有一個全國最佳運動員y0，則不管該隊的成績?nèi)绾?，該隊教練都是一個最優(yōu)的教練．這顯然與事實不符．一個球隊除了這個最佳運動員外，如果其他運動員都不會打球，挑選出這樣隊伍的教練員作為最佳教練是很難讓人接受的．這個問題的關鍵是在選擇最優(yōu)解時用到的序關系是向量之間(即運動員之間)的序關系而不是集合之間(即球隊之間)的序關系．正是基于這樣的原因，集合之間的序關系被提出．于是，上述問題就可以在球隊之間進行比較，從而選出最佳隊伍及最佳教練，這至少在某些方面更接近于現(xiàn)實，也為多目標最優(yōu)化問題提供了一個新的研究途徑，就像Jahn［12］所說，集合最優(yōu)化為多目標最優(yōu)化研究打開了一個新的更廣闊的領域．這也是集合最優(yōu)化越來越受到關注的原因之一．

1 概念及記號

現(xiàn)介紹集合之間的序關系．設P0(Y)=2Y{φ}，即Y的所有非空子集所成之集簇，A，B∈P0(Y)．若

則稱≤l為集合之間的下關系，≤u為集合之間的上關系．

定義P0(Y)上的關系～l為:A～lB??A≤lB且B≤lA，則～l是一個等價關系．在此等價關系下，包含集合A的類記作［A］l．類似地，若A～uB??A≤uB且B≤uA，則～u也是P0(Y)上的一個等價關系．在此等價關系下，包含集合A的類記作［A］u．

關于集合最優(yōu)化問題極小集的定義，還可以作如下的表述:

2 與集合的序關系相關的性質(zhì)探討

接下來給出集合的序關系及極小集的的一些基本性質(zhì)．

命題1［6，9-10］關于上節(jié)定義的2個等價關系，有如下結(jié)論:

1)［A］l=［B］l??A+K=B+K;

2)［A］u=［B］u??A-K=B-K;

3)若［A］l=［A1］l，［B］l=［B1］l，則［A+B］l=［A1+B1］l;

4)若［A］u=［A1］u，［B］u=［B1］u，則［A+B］u=［A1+B1］u;

5)若［A］l=［B］l，則 A+int K=B+int K;

6)若［A］u=［B］u，則 A-int K=B-int K．

命題 2［9］

1)若 A?B+int K 且 B?A+int K，則［A］l=［B］l;

2)若 A?B-int K 且 B?A-int K，則［A］u=［B］u．

命題 3［10］

命題4

證明 只證明2)和4)，1)和3)的證明類似，故略．

由命題3和4可以直接得到推論1．

推論1

1)設［A］l=［B］l，若 B?lA，則 A?lB;

2)設［A］u=［B］u，若 B?uA，則 A?uB．

3 廣義凸性假設下的集合最優(yōu)化問題(SPl)和(SPl(W))的解的基本性質(zhì)

凸性在最優(yōu)化中起著重要的作用，接下來將討論當目標函數(shù)和約束集合具有某種凸性時集合最優(yōu)化問題最優(yōu)解的性質(zhì)．首先給出一些有關凸性的概念．

定義1 設M是凸集，集值映射F:M?X→2Y稱為K-凸映射，若對于任意的x，y∈M，λ∈(0，1)，

即

稱 F 為 K-嚴格凸的，若對于任意的 x，y∈M，x≠y，λ∈(0，1)，

即

記號K-WminF(x0)表示對集合F(x0)求向量最優(yōu)化弱極小點，具體定義見文獻［12-14］．

命題 5 設 M是凸集，F(xiàn):M→2Y是 K-嚴格凸映射．若 x0∈l-WminF，F(xiàn)(x0)是凸集，且K-WminF(x0)≠φ，則 x0∈l-minF．

由x0∈l-WminF得 F(x0)?lF(x)，于是有 F(x0)?lF(x0)，即 F(x0)?F(x0)+int K．再考慮到K-WminF(x0)≠φ，取 y0∈K-WminF(x0)，則存在 y∈F(x0)，k∈int K，使得 y0=y+k．這與 y0∈K-WminF(x0)矛盾．所以 x0∈l-minF．

推論2 設M是凸集，F(xiàn)是K-嚴格凸的凸值映射．若對于任意的x∈M，K-WminF(x)≠φ，則

證明 因為l-minF?l-WminF，再由條件及命題5知l-WminF?l-minF，所以結(jié)論成立．

命題6 設M是凸集，x0∈lL-WminF是F在M上的局部l-弱最優(yōu)解．若存在x0的鄰域U使得U∩M是凸集且F在U∩M上是K-嚴格凸映射，F(xiàn)(x0)是凸集，且K-WminF(x0)≠φ，則x0∈lL-minF是局部l-最優(yōu)解．

證明 若x0?lL-minF，則存在x1∈U∩M，使得F(x1)≤lF(x0)，但F(x0)≤/lF(x1)．由于F(x)在M上是K-嚴格凸的映射且F(x0)是凸集，取充分小的λ，令x=λx1+(1-λx0)，則 x∈U∩M，于是

由x0∈lL-WminF及x∈U∩M得F(x0)?lF(x)，于是F(x0)?lF(x0)．再由條件 K-WminF(x0)≠φ，得到矛盾．命題6證畢．

命題7 設M是凸集，x0是F在M上的局部l-最優(yōu)解．如果F是K-嚴格凸的，F(xiàn)(x0)為凸集，且K-WminF(x0)≠φ，則x0是F在M上的全局l-最優(yōu)解．

證明 設 x0∈lL-minF．若 x0?l-minF，則存在 x1∈M，使得 F(x1)≤lF(x0)，［F(x1)］l≠［F(x0)］l．對x0的任意鄰域U，取充分小的λ，使得x=x0+λ(x1-x0)=λx1+(1-λ)x0∈U，由F的K-嚴格凸性及F(x0)是凸集得

由 x0∈lL-minF 得 F(x0)≤lF(x)，所以有 F(x0)≤lF(x)?lF(x0)，F(xiàn)(x0)?F(x0)+int K．由條件知K-WminF(x0)≠φ，取 y0∈K-WminF(x0)，存在 y∈F(x0)，k∈int K，使y0=y1+k．這與 y0∈K-WminF(x0)矛盾．命題7證畢．

推論3 設M是凸集，F(xiàn)是M上K-嚴格凸的凸值映射．若對任意的x∈M，K-WminF(x)≠φ，則

證明 與推論2的證明類似，故略．

命題8 設M是凸集，x0∈lL-WminF是F在M上的局部l-弱最優(yōu)解．如果F是K-凸的，F(xiàn)(x0)為凸集，K-WminF(x0)≠φ，則x0∈l-WminF是F在M上的全局l-弱最優(yōu)解．

證明 設x0∈lL-WminF．若 x0?l-WminF，則存在 x1∈M，使得 F(x1)?lF(x0)，但 F(x0)?/lF(x1)，即［F(x1)］l≠［F(x0)］l．對于 x0的任意鄰域U，取充分小的 λ，使得 x=λx1+(1-λ)x0∈U，由于 F 是K-凸映射，F(xiàn)(x0)是凸集，故

由x0∈lL-minF推知F(x0)?lF(x)，得F(x0)?F(x0)+int K．由K-WminF(x0)≠φ，故可用類似于命題5的證明方法得到矛盾．命題8證畢．

推論4 設M是凸集，F(xiàn)是M上K-凸的凸值映射．若對任意的x∈M，K-WminF(x)≠φ，則

證明 與推論2的證明類似，故略．

4 廣義凸性假設下的集合最優(yōu)化問題(SPu)和(SPu(W))的解的基本性質(zhì)

接下來討論與序關系≤u相關的集合最優(yōu)化問題的解的性質(zhì)，將得到弱最優(yōu)解與最優(yōu)解的關系及局部最優(yōu)解和全局最優(yōu)解的關系．

定義2［3］設M是凸集．稱集值映射F:M?X→2Y為u-凸映射，若對于任意的x，y∈M，λ∈(0，1)，有

即

稱 F 為 u-嚴格凸的，若對于任意的 x，y∈M，x≠y，λ∈(0，1)，有

即

在以下的命題中，記號K-WmaxF(x0)表示對集合F(x0)求向量最優(yōu)化的弱極大點，具體定義見文獻［13］．

命題9 設M是凸集，F(xiàn):M→2Y是u-嚴格凸映射．若x0∈u-WminF，F(xiàn)(x0)是凸集，且K-WmaxF(x0)≠φ，則 x0∈u-minF．

證明 設x0∈u-WminF．若 x0?u-minF，則存在 x1∈M，使得 F(x1)≤uF(x0)，且［F(x0)］u≠

由x0∈u-WminF得 F(x0)?uF(x)，于是有 F(x0)?uF(x0)，即 F(x0)?F(x0)-int K．再考慮到K-WmaxF(x0)≠φ，取 y0∈K-WmaxF(x0)，則存在 y∈F(x0)，k∈int K，使得 y0=y-k．這與 y0∈K-WmaxF(x0)矛盾．所以 x0∈u-minF．

推論5 設M是凸集，F(xiàn)是u-嚴格凸的凸值映射．若對于任意的x∈M，K-WmaxF(x)≠φ，則

證明 因為u-minF?u-WminF，再由條件及命題9知u-WminF?u-minF，所以結(jié)論成立．

從如上過程可以看出，命題9及推論5的證明與命題5和推論2的證明非常類似，接下來幾個命題的證明也與相應命題的證明類似，故只給出命題，不加以證明．

命題10 設M是凸集，x0∈uL-WminF是F在M上的局部u-弱最優(yōu)解．若存在x0的鄰域U使得U∩M是凸集且F在U∩M上是u-嚴格凸映射，F(xiàn)(x0)是凸集，且K-WmaxF(x0)≠φ，則x0∈uL-minF是局部u-最優(yōu)解．

命題11 設M是凸集，x0∈uL-minF是F在M上的局部最優(yōu)解．如果F是u-嚴格凸的，F(xiàn)(x0)為凸集，且K-WmaxF(x0)≠φ，則x0是F在M上的全局u-最優(yōu)解．

推論6 設M是凸集，F(xiàn)是M上u-嚴格凸的凸值映射．若對任意的x∈M，K-WminF(x)≠φ，則

命題12 設M是凸集，x0∈uL-WminF是F在M上的局部弱最優(yōu)解．如果F是u-凸的，F(xiàn)(x0)為凸集，且K-WmaxF(x0)≠φ，則x0∈u-WminF是F在M上的全局弱最優(yōu)解．

推論7 設M是凸集，F(xiàn)是M上u-凸的凸值映射．若對任意的x∈M，K-WmaxF(x)≠φ，則

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