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    一個(gè)三角形面積關(guān)系式的再探究

    2011-11-30 05:48:41常德市第六中學(xué)湖南常德415003
    中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2011年11期
    關(guān)鍵詞:常德市常德關(guān)系式

    ●(常德市第六中學(xué) 湖南常德 415003)

    一個(gè)三角形面積關(guān)系式的再探究

    ●彭世金(常德市第六中學(xué) 湖南常德 415003)

    文獻(xiàn)[1]研究了有心圓錐曲線涉及三角形面積的一個(gè)關(guān)系式,得到如下命題:

    受其啟發(fā),筆者想到:如果線段AB是曲線Γ過(guò)中心的弦(不在軸上),那么上述結(jié)論是否還成立?通過(guò)探究,得到一個(gè)肯定的結(jié)果.

    圖1

    證明如圖1,連結(jié)OP,OQ,設(shè)M(x0,y0),A(m,n),B(-m,-n),則PQ,AP,BQ的方程分別為

    (1)

    (2)

    (3)

    式(1)-式(3),得OP的方程為

    b2(x0-m)x+a2(y0-n)y=0,

    因此

    式(1)-式(2),得OQ的方程為

    b2(x0+m)x+a2(y0+n)y=0,

    因此

    于是

    因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,y0),A(m,n)在橢圓上,所以

    2式相減得

    從而

    令y0-n=-tb2(x0+m),x0-m=ta2(y0+n),則點(diǎn)M到AP的距離

    點(diǎn)M到BQ的距離

    從而

    于是

    圖2

    性質(zhì)2類似于性質(zhì)1可證,此處從略.

    [1] 梁魯湘,姜坤崇.有心圓錐曲線涉及三角形面積的一個(gè)關(guān)系式[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué),2010(12):39.

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