數(shù)學(xué)認(rèn)知加工教學(xué)模式初探

●(仙居縣教育局教研室 浙江仙居 317300)

數(shù)學(xué)認(rèn)知加工教學(xué)模式初探

●吳增生(仙居縣教育局教研室 浙江仙居 317300)

隨著課程改革的深入，教師逐步關(guān)注到了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中過程性目標(biāo)和結(jié)果性目標(biāo)的達(dá)成，逐步關(guān)注到了學(xué)生的主體地位，探究性學(xué)習(xí)成為重要的學(xué)習(xí)方式.但是，存在的突出問題是教師對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)的設(shè)計(jì)缺乏科學(xué)性和有效性，如：全盤否定接受學(xué)習(xí)，把接受學(xué)習(xí)與機(jī)械學(xué)習(xí)劃等號(hào)；只有探究外衣而無探究實(shí)質(zhì)的假探究大行其是；只給出一個(gè)特例就讓學(xué)生進(jìn)行歸納；把自主學(xué)習(xí)理解為獨(dú)立看書；把一節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容分成“自學(xué)—交流—訓(xùn)練”，把自學(xué)和訓(xùn)練放在課外，把課堂變成交流，以加重學(xué)生課外負(fù)擔(dān)為代價(jià)換取課堂中的輕松學(xué)習(xí)和精彩交流；把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中充滿理性的思考過程降級(jí)為“記住公式+練習(xí)訓(xùn)練”，把原來的“人灌”變成“紙灌”(用文字材料灌輸)或“機(jī)灌”(用多媒體灌輸)；把情感態(tài)度教育變成游離于學(xué)生認(rèn)知活動(dòng)之外的說教；課堂中沒有開展與內(nèi)容及學(xué)生實(shí)際相匹配的認(rèn)知活動(dòng)，等等.數(shù)學(xué)認(rèn)知的發(fā)展，只有在基于學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知水平、適合于學(xué)生的認(rèn)知風(fēng)格和加工特點(diǎn)的認(rèn)知活動(dòng)中才可能實(shí)現(xiàn).

3B教育，指的是基于腦、適于腦和發(fā)展腦的教育.在這種教育理念下，教育的核心價(jià)值在于構(gòu)建適合于腦的教育，改善大腦神經(jīng)系統(tǒng)的信息加工效率，優(yōu)化大腦神經(jīng)系統(tǒng)的認(rèn)知功能.在這種教育理念下，數(shù)學(xué)教育的核心價(jià)值是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知加工能力.基于這一要求，數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該讓學(xué)生完整地經(jīng)歷與其發(fā)展水平相適應(yīng)的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)，也就是說，在數(shù)學(xué)課堂中，應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)感知、表征、抽象概括和推理計(jì)算等認(rèn)知活動(dòng)過程[1].

綜上所述，探索一種通過有效的數(shù)學(xué)認(rèn)知加工活動(dòng)來實(shí)現(xiàn)高效率發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知水平和情感態(tài)度價(jià)值觀的教學(xué)模式，具有深遠(yuǎn)的理論研究意義和重大的現(xiàn)實(shí)意義.

1 認(rèn)知加工教學(xué)模式的指導(dǎo)思想和核心教學(xué)活動(dòng)

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)的教學(xué)，只有適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)才能發(fā)展數(shù)學(xué)認(rèn)知加工能力.通過設(shè)計(jì)合理的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自然合理的數(shù)學(xué)操作和數(shù)學(xué)思考進(jìn)而產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí)(在大腦中產(chǎn)生新的神經(jīng)聯(lián)結(jié))，通過適當(dāng)?shù)慕涣魈嵘J(rèn)識(shí)(更新、修剪新的聯(lián)結(jié))，通過有針對(duì)性的訓(xùn)練強(qiáng)化這種新認(rèn)識(shí)(強(qiáng)化期望的神經(jīng)新聯(lián)結(jié))，從而達(dá)到優(yōu)化大腦神經(jīng)認(rèn)知加工功能的效果，這就是認(rèn)知加工教學(xué)模式的教學(xué)指導(dǎo)思想.在這一指導(dǎo)思想下，數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心活動(dòng)，數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是這種認(rèn)知加工活動(dòng)的自然產(chǎn)物.另一方面，情感態(tài)度價(jià)值觀等非智力因素通過個(gè)體大腦的情緒中心控制著信息對(duì)大腦皮層的刺激.因此，在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)時(shí)應(yīng)該高度關(guān)注積極的情緒體驗(yàn)，讓學(xué)生感受并創(chuàng)造數(shù)學(xué)的精彩與美麗，體驗(yàn)數(shù)學(xué)理性的思想光芒，發(fā)展數(shù)學(xué)的效率意識(shí)(如用簡(jiǎn)約的、抽象的、準(zhǔn)確的方式描述與研究對(duì)象的屬性).

基于上述指導(dǎo)思想，認(rèn)知加工教學(xué)模式中核心的學(xué)習(xí)活動(dòng)是：

(1)注意選擇活動(dòng).通過合理選擇，把注意集中于認(rèn)知對(duì)象的某些信息而忽略其他信息.選擇性注意是個(gè)體意識(shí)對(duì)自身的認(rèn)知活動(dòng)的控制，它為后繼學(xué)習(xí)活動(dòng)確定了明確的認(rèn)知加工的對(duì)象，從而對(duì)認(rèn)知活動(dòng)起到定向的作用，也就是說，它是個(gè)體通過意識(shí)控制大腦接受的信息刺激輸入類別，從而影響著大腦神經(jīng)激活擴(kuò)散的方式、擴(kuò)散的神經(jīng)回路.

(2)數(shù)學(xué)感知活動(dòng).感知是數(shù)學(xué)認(rèn)知的基礎(chǔ)活動(dòng)，感知包括感覺登記、對(duì)象表征和知覺建構(gòu)活動(dòng).對(duì)象信息刺激大腦后，經(jīng)過“額葉—丘腦系統(tǒng)”的控制投射到相應(yīng)的大腦皮層區(qū)域，進(jìn)行初級(jí)加工，形成對(duì)某些特征直接的和初步的認(rèn)識(shí)，這就是感覺登記活動(dòng)；接著，通過意識(shí)的控制和對(duì)象屬性的表征，把關(guān)注的對(duì)象從背景中分離出來，得到對(duì)象屬性穩(wěn)定的直接的認(rèn)識(shí)，于是，知覺就形成了.知覺形成的標(biāo)志是從背景中分離出對(duì)象、覺知到對(duì)象，并形成具有恒常性的知覺.在感覺登記到知覺形成的過程中，表征起到了關(guān)鍵的作用.

(3)數(shù)學(xué)表征活動(dòng).數(shù)學(xué)表征不僅影響著數(shù)學(xué)感知從而間接地影響著其他數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)，還直接影響著數(shù)學(xué)抽象概括和推理活動(dòng)，影響著數(shù)學(xué)記憶和數(shù)學(xué)問題解決活動(dòng).事實(shí)上，數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史伴隨著數(shù)學(xué)專業(yè)化表征技術(shù)的發(fā)展，學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的發(fā)展也伴隨著數(shù)學(xué)表征技術(shù)的發(fā)展，無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)背景是對(duì)兩直角邊長為有理數(shù)的直角三角形斜邊長的度量化表示，微積分的發(fā)現(xiàn)背景是瞬時(shí)速度、割線到切線變化的數(shù)學(xué)度量化表征的需要，而分形幾何的發(fā)展則是基于海岸線的精確度量表示需要.學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展也是如此，如小學(xué)中對(duì)圓的認(rèn)識(shí)只局限于典型樣例和半徑、直徑、面積，初中階段則用定義加以描述，以對(duì)稱性和與其他平面圖形的關(guān)系加以認(rèn)識(shí)，高中階段則用直角坐標(biāo)方程(x-x0)2+(y-y0)2=r2表示，高等數(shù)學(xué)中則以微分方程xdx+ydy=0來表征圓.數(shù)學(xué)表征不僅表現(xiàn)在新知識(shí)的學(xué)習(xí)過程，還表現(xiàn)在知識(shí)的組織過程和問題的解決過程.數(shù)學(xué)表征的困難是解決問題中遇到的主要障礙之一.

(4)數(shù)學(xué)抽象和概括活動(dòng).數(shù)學(xué)抽象和概括是數(shù)學(xué)思維的核心.正因?yàn)閿?shù)學(xué)是抽象的，才使數(shù)學(xué)具有廣泛的應(yīng)用，使之成為工具性學(xué)科.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，概念的抽象、原理的概括、數(shù)學(xué)思想方法的提煉、數(shù)學(xué)解題策略的概括是認(rèn)知活動(dòng)的核心之一.在數(shù)學(xué)教學(xué)中不失時(shí)機(jī)地開展數(shù)學(xué)抽象與概括活動(dòng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，起著重要的作用.

(5)數(shù)學(xué)推理活動(dòng).數(shù)學(xué)推理包括類比推理、歸納推理和演繹推理.數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)抽象與概括，構(gòu)成了數(shù)學(xué)思維的基本形式.同時(shí)，推理也是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心特征，正是由于有了數(shù)學(xué)推理，才使數(shù)學(xué)能夠承擔(dān)起發(fā)展學(xué)生理性思維的教育重任.

(6)數(shù)學(xué)記憶活動(dòng).數(shù)學(xué)記憶包括數(shù)學(xué)信息(知識(shí)、典型模型、思想方法、認(rèn)知策略等)的編碼、儲(chǔ)藏和提取.從記憶的時(shí)間與屬性分類，數(shù)學(xué)記憶分為感覺登記、工作記憶和長時(shí)記憶；從意識(shí)參與的程度分，記憶可以分為內(nèi)隱記憶和外顯記憶；從記憶的方式分，記憶可分為語義記憶和情景記憶.感覺登記是對(duì)刺激信息的暫時(shí)保持(時(shí)間不超過30秒)，長時(shí)記憶是由工作記憶中的信息通過精細(xì)加工和組織轉(zhuǎn)移而成的信息保持；工作記憶指的是大腦為完成某一目標(biāo)任務(wù)而在線保持信息，并對(duì)所保持的信息進(jìn)行操作加工的系統(tǒng).工作記憶在表象、語言、計(jì)劃、推理、決策、學(xué)習(xí)、思維、問題解決和空間加工等高級(jí)認(rèn)知功能和智力活動(dòng)中起著非常重要的作用[2].

數(shù)學(xué)記憶中的編碼指數(shù)學(xué)感知、表征、抽象概括和推理獲得新知并對(duì)新知進(jìn)行簡(jiǎn)約、多元表征；數(shù)學(xué)記憶中的組織指建立新知與個(gè)體已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系并使之系統(tǒng)化，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程；數(shù)學(xué)記憶中的存儲(chǔ)指通過復(fù)述和應(yīng)用(其中包含知識(shí)的提取和遷移)，在理解知識(shí)的基礎(chǔ)上鞏固新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程.

(7)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用活動(dòng).通過感知、表征、思維(抽象概括和推理)獲得的新知，一般屬于陳述性知識(shí)，要轉(zhuǎn)化成程序性知識(shí)，才能用于推理或計(jì)算.例如把“平行四邊形對(duì)邊相等”轉(zhuǎn)化成“如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么它的對(duì)邊相等”并進(jìn)一步寫成推理的邏輯序列“因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AB=CD,AD=BC”.至此，把陳述的事實(shí)變成了認(rèn)知操作的程序.

另一方面，數(shù)學(xué)概念和原理是針對(duì)典型模型的認(rèn)知加工獲得的，當(dāng)問題情境中的模型與典型模型的表面相似性逐步降低時(shí)，問題情境中模型的典型化概括要求越來越高，知識(shí)遷移應(yīng)用的難度越來越大.通過結(jié)構(gòu)相同而表面相似性逐步降低的問題系列(問題變式系列)知識(shí)應(yīng)用訓(xùn)練，可以有效地訓(xùn)練學(xué)生的知識(shí)遷移應(yīng)用水平和數(shù)學(xué)概括水平.同時(shí)，這種變式訓(xùn)練的另一個(gè)教育價(jià)值是：通過訓(xùn)練建立典型模型和非典型模型之間的有機(jī)聯(lián)系，強(qiáng)化大腦的神經(jīng)聯(lián)結(jié).

(8)數(shù)學(xué)元認(rèn)知活動(dòng).數(shù)學(xué)元認(rèn)知活動(dòng)指?jìng)€(gè)體對(duì)自身的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)的感知、體驗(yàn)、監(jiān)控和調(diào)節(jié)活動(dòng).元認(rèn)知活動(dòng)的關(guān)鍵在于自我評(píng)價(jià)、自我反思和自我調(diào)節(jié)，以此保證認(rèn)知活動(dòng)高效有序進(jìn)行.

綜上所述，選擇性注意、數(shù)學(xué)感知、數(shù)學(xué)表征、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)記憶、數(shù)學(xué)元認(rèn)知、數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的核心認(rèn)知活動(dòng).根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)合理的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)序列及其評(píng)價(jià)技術(shù)，是教師教學(xué)設(shè)計(jì)中的核心工作.

因此，高效率的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)是教師指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)和元認(rèn)知活動(dòng)的有序開展和有機(jī)組合，是教師指導(dǎo)下由數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)和元認(rèn)知活動(dòng)序列所構(gòu)成的課堂生態(tài)系統(tǒng).在這一系統(tǒng)中，教師的指導(dǎo)(導(dǎo))、學(xué)生的新知探究活動(dòng)(學(xué))、師生的相互交流活動(dòng)(講)、學(xué)生的新知應(yīng)用活動(dòng)(練)和學(xué)生的自我評(píng)價(jià)與反思、相互評(píng)價(jià)與交流(評(píng))構(gòu)成了促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展的關(guān)鍵教學(xué)活動(dòng).因此，從師生的活動(dòng)類型上看，“導(dǎo)、學(xué)、講、練、評(píng)”構(gòu)成了高效率的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)系統(tǒng)的核心活動(dòng).

2 核心教學(xué)活動(dòng)及其操作方法

2.1 導(dǎo)

“導(dǎo)”指的是教師的組織和引導(dǎo).首先，教師的“導(dǎo)”貫穿教學(xué)的全過程，教師須要?jiǎng)?chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫?，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理的注意選擇，需要對(duì)學(xué)習(xí)過程中的活動(dòng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)墓芾?調(diào)節(jié)和轉(zhuǎn)換)，對(duì)學(xué)生的學(xué)、講、練、評(píng)活動(dòng)進(jìn)行有針對(duì)性的指導(dǎo).導(dǎo)、學(xué)、講、練、評(píng)之間的關(guān)系可用圖1表示.

圖1

在這一教學(xué)模式的課堂中，教師的作用是：(1)整體設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)課堂中的學(xué)習(xí)活動(dòng)，以這些活動(dòng)承載學(xué)生課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)中的數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展價(jià)值；(2)設(shè)計(jì)合理的學(xué)習(xí)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理的注意選擇，專注于學(xué)習(xí)對(duì)象；(3)與學(xué)生一起確定認(rèn)知任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生自然合理地提出問題；(4)在學(xué)生形成知識(shí)的過程中進(jìn)行有針對(duì)性地啟發(fā)性引導(dǎo)(個(gè)別指導(dǎo)、小組指導(dǎo)和全班性指導(dǎo))；(5)在階段學(xué)習(xí)任務(wù)完成后，引導(dǎo)學(xué)生反思和總結(jié)自己的思考過程，進(jìn)行學(xué)習(xí)活動(dòng)程序的總結(jié)和提升，讓學(xué)生知道前面是怎樣想的和怎樣做的；(6)組織學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立的基礎(chǔ)訓(xùn)練活動(dòng)，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的訓(xùn)練進(jìn)行自我評(píng)價(jià)和相互評(píng)價(jià)，糾正自己的認(rèn)識(shí)偏差，獲得必要的幫助和指導(dǎo).

例如，在全等三角形判定(邊邊邊)的教學(xué)中，首先要提出問題：屋頂人字架是三角形，同一間房子的屋頂人字架要全等，怎樣檢驗(yàn)2個(gè)人字架的形狀大小是否完全一樣.由于人字架很大，無法用疊合的方法進(jìn)行檢驗(yàn)，需要尋找更簡(jiǎn)便的方法——從邊角對(duì)應(yīng)關(guān)系角度研究三角形全等的條件，這就是引入性引導(dǎo)；接下來，怎么找？對(duì)應(yīng)相等的邊角對(duì)數(shù)從少到多或從多到少找，一對(duì)邊或角對(duì)應(yīng)相等的2個(gè)三角形不一定全等；2個(gè)條件也不能保證2個(gè)三角形全等(這樣的結(jié)論應(yīng)由學(xué)生得出并讓學(xué)生自己舉例說明);3個(gè)條件成立時(shí)，學(xué)生難以判斷，這時(shí)，就需要教師啟發(fā)“畫邊長為4 cm，5 cm，6 cm的2個(gè)三角形試試”.當(dāng)學(xué)生完成實(shí)驗(yàn)，形成初步猜想后，還需要教師引導(dǎo)學(xué)生“進(jìn)一步再畫一對(duì)3條邊長都對(duì)應(yīng)相等的三角形試試——尺規(guī)作圖”，通過一般的作圖檢驗(yàn)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)初步猜想的信念,這些引導(dǎo)屬于啟發(fā)性的引導(dǎo).在學(xué)生形成“邊邊邊”判定知識(shí)后，教師需要選擇合理的練習(xí)供學(xué)生訓(xùn)練，讓學(xué)生把陳述性知識(shí)轉(zhuǎn)化為認(rèn)知操作程序“因?yàn)锳B=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，所以△ABC≌△A′B′C′”，初步學(xué)習(xí)應(yīng)用該原理進(jìn)行證明和計(jì)算，逐步把知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)榧寄?在課堂小結(jié)中，需要教師引導(dǎo)學(xué)生回顧課堂中的學(xué)習(xí)歷程和獲得的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)自己的數(shù)學(xué)思考過程，教師要進(jìn)行概括性的總結(jié)提升.

課堂中教師導(dǎo)的基本教學(xué)行為與學(xué)生的學(xué)習(xí)行為的關(guān)系如圖2.

圖2

2.2 學(xué)

“學(xué)”指的是學(xué)生獲得知識(shí)的相關(guān)認(rèn)知活動(dòng).學(xué)生可以進(jìn)行接受性的學(xué)習(xí)(如傾聽、閱讀、模仿)，也可以是探究性的.對(duì)于一般性知識(shí)可以用接受學(xué)習(xí)方法，對(duì)于核心數(shù)學(xué)知識(shí)則應(yīng)該采用探究性的學(xué)習(xí)，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主合作探究，在探究中獲得知識(shí)，積累數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn).數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)包括數(shù)學(xué)感知、表征、抽象概括和推理、記憶等活動(dòng).學(xué)生的探究需要教師提供適當(dāng)?shù)奶骄繉?duì)象、探究資源和探究啟發(fā)，需要教師引導(dǎo)學(xué)生自然合理地提出問題(產(chǎn)生探究對(duì)象)，自然合理地解決問題(探究方法引導(dǎo))和自然合理地解釋與拓展問題(探究方法的反思、總結(jié)和運(yùn)用).引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行充分有序的感知、有向多元表征、合理抽象概括、適當(dāng)計(jì)算推理及時(shí)反思總結(jié)記憶等活動(dòng).這些認(rèn)知活動(dòng)及其關(guān)系如圖3所示.

圖3

例如，在初中函數(shù)概念的學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過觀察生活中各種變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系(如勻速直線運(yùn)動(dòng)中路程與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)系，周長固定的矩形面積與某一邊長的關(guān)系，面積固定的矩形鄰邊長之間的關(guān)系，價(jià)格數(shù)量與價(jià)值之間的關(guān)系，心律與時(shí)間的關(guān)系等)，初步感知變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是生活中廣泛存在的現(xiàn)象，然后對(duì)這2個(gè)變量之間的關(guān)系進(jìn)行研究.接著，通過畫對(duì)應(yīng)拓?fù)鋱D來粗略表示這種對(duì)應(yīng)關(guān)系,如圖4.

圖4

在此基礎(chǔ)上，通過列函數(shù)關(guān)系式、對(duì)應(yīng)值表來表示這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，感知一個(gè)變量的變化是如何影響另一個(gè)變量變化的.進(jìn)一步，通過描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖像，在平面直角坐標(biāo)系中表示出變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系(用圖像進(jìn)行直觀的表示).在上述活動(dòng)的基礎(chǔ)上，通過類比和歸納，抽象出函數(shù)的概念，并從文字、解析式、圖像等不同側(cè)面進(jìn)行結(jié)構(gòu)化記憶.

2.3 講

“講”指的是師生交流活動(dòng).講的核心功能是讓學(xué)生充分展示自己的思考過程，展示自己的成果、交流學(xué)習(xí)的體會(huì).通過這一活動(dòng)，教師可以收集學(xué)習(xí)過程中的相關(guān)信息.在當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生意見的發(fā)表并不充分，主要體現(xiàn)在以下幾方面：學(xué)生反應(yīng)時(shí)間欠充分，教師給出一個(gè)問題，馬上催促學(xué)生回答；教師提供學(xué)生思考的問題缺乏整體性，學(xué)生的回答片言只語，難以形成完整的數(shù)學(xué)思維交流；好學(xué)生搶話題，獲得更多的話語權(quán)，而學(xué)困生的話語權(quán)很少；學(xué)生缺乏質(zhì)疑的勇氣和精神.目前的數(shù)學(xué)教學(xué)，更多的是訓(xùn)練了學(xué)生的解題，但學(xué)生并不知道為什么要解題，為什么可以這樣解.只會(huì)解題與會(huì)講出自己的解題思路具有不同認(rèn)知水平，后者的發(fā)展水平更高.讓學(xué)生多講，不僅對(duì)聽的學(xué)生有利(可以獲得幫助和借鑒)，對(duì)主講的學(xué)生更有利(可以進(jìn)一步加深知識(shí)理解、鍛煉有條理的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，獲得成功的體驗(yàn)等).由于課堂教學(xué)時(shí)間的限制，可以先讓有不同想法的學(xué)生分別發(fā)表自己的意見.數(shù)學(xué)課堂中的合作，主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)探究過程中的分工協(xié)作、數(shù)學(xué)課堂中的交流，主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)探究思路和結(jié)果的交流中.

2.4 練

“練”指的是對(duì)知識(shí)的辨別、理解和運(yùn)用.數(shù)學(xué)訓(xùn)練的基本功能是理解知識(shí)、強(qiáng)化知識(shí)與問題的聯(lián)結(jié)，建立大腦神經(jīng)系統(tǒng)中與知識(shí)相關(guān)典型模型相匹配的神經(jīng)聯(lián)結(jié)，并通過激活擴(kuò)散拓展知識(shí)相關(guān)神經(jīng)聯(lián)結(jié)網(wǎng)絡(luò)，在此基礎(chǔ)上通過多次不同但相關(guān)的激活，強(qiáng)化神經(jīng)聯(lián)結(jié)，增強(qiáng)神經(jīng)聯(lián)結(jié)的特異性.從認(rèn)知加工的角度看，“練”促進(jìn)了陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)之間的轉(zhuǎn)化，是從知識(shí)向技能轉(zhuǎn)化的核心認(rèn)知活動(dòng)平臺(tái).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“練”，既包括對(duì)知識(shí)的辨別和理解活動(dòng)，也包括知識(shí)的典型應(yīng)用和非典型應(yīng)用活動(dòng)，還包括了具有訓(xùn)練學(xué)生大腦計(jì)劃、控制、決策等高級(jí)認(rèn)知功能的數(shù)學(xué)問題解決活動(dòng)，它們分別對(duì)應(yīng)著訓(xùn)練認(rèn)知功能的3個(gè)不同層次：知識(shí)、思想方法和解決問題的策略.

應(yīng)用型練習(xí)的核心功能是幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)問題之間的聯(lián)系，這些問題的解決過程須要選擇適當(dāng)?shù)闹R(shí)經(jīng)驗(yàn)，用典型的思考方式建立知識(shí)與問題之間的典型聯(lián)系.如在學(xué)習(xí)了全等三角形的判定和性質(zhì)后，用全等三角形相關(guān)知識(shí)研究角平分線的性質(zhì)，從而形成證明線段(或)角相等的基本方法：尋找或構(gòu)造全等三角形,這就是證明線段或角相等的重要思想方法.數(shù)學(xué)問題解決首先需要學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)感知、表征，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，其次需要比較問題結(jié)構(gòu)與知識(shí)應(yīng)用典型模型的結(jié)構(gòu)一致性和變異性，尋找典型模型或構(gòu)造典型模型建立已知與未知之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)問題解決的全部認(rèn)知過程，讓學(xué)生在解決問題的認(rèn)知活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知活動(dòng)水平.

根據(jù)上述分析，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的練可分成3個(gè)層次：基礎(chǔ)訓(xùn)練(知識(shí)辨別與理解)、綜合運(yùn)用(數(shù)學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)單運(yùn)用，數(shù)學(xué)思想方法的初步體驗(yàn))、拓展提高(數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知活動(dòng)訓(xùn)練，數(shù)學(xué)思想方法的提煉與應(yīng)用).這些層次之間，前者是后者的基礎(chǔ)，后者是前者的發(fā)展.這種關(guān)系可用圖5表示.

圖5

對(duì)應(yīng)地，基礎(chǔ)訓(xùn)練、綜合運(yùn)用和拓展提高的習(xí)題類型分別應(yīng)用是表面相似性習(xí)題、表面變異性和結(jié)構(gòu)一致性習(xí)題、結(jié)構(gòu)變異性習(xí)題.所謂表面相似性習(xí)題指問題的表面類似于知識(shí)的典型模型,屬于知識(shí)辨別與直接應(yīng)用；表面變異性結(jié)構(gòu)一致性問題是問題的本質(zhì)結(jié)構(gòu)與知識(shí)的典型結(jié)構(gòu)一致，但表面的描述方式與知識(shí)應(yīng)用典型結(jié)構(gòu)有明顯差異，需要在問題背景中辨別出典型結(jié)構(gòu),屬于知識(shí)的遷移應(yīng)用訓(xùn)練；結(jié)構(gòu)變異性指問題的本質(zhì)結(jié)構(gòu)與知識(shí)的典型應(yīng)用結(jié)構(gòu)不同，但研究的思想方法和策略與知識(shí)的典型結(jié)構(gòu)相類似,屬于數(shù)學(xué)思想方法和認(rèn)知策略的遷移訓(xùn)練.

2.5 評(píng)

“評(píng)”指的是對(duì)自己或別人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)行評(píng)價(jià)的課堂活動(dòng).數(shù)學(xué)課堂中的評(píng)價(jià)，包括學(xué)生的自我評(píng)價(jià)、同伴的相互質(zhì)疑和相互評(píng)價(jià)、學(xué)習(xí)小組的總結(jié)性評(píng)價(jià)和教師的啟發(fā)性激勵(lì)性評(píng)價(jià).評(píng)價(jià)需要在對(duì)認(rèn)知活動(dòng)感知和體驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行，也是調(diào)整學(xué)習(xí)活動(dòng)的控制器.自我評(píng)價(jià)是元認(rèn)知中的自我體驗(yàn)和自我監(jiān)控，是自我調(diào)節(jié)的基礎(chǔ).開展課堂中的自我評(píng)價(jià)和相互評(píng)價(jià)，可發(fā)展學(xué)生的元認(rèn)知水平,是開展高效率認(rèn)知活動(dòng)的重要保障.從認(rèn)知神經(jīng)學(xué)的角度看，“評(píng)”能有效發(fā)展大腦前額葉的執(zhí)行控制功能.數(shù)學(xué)課堂中的評(píng)價(jià)，是與認(rèn)知活動(dòng)形影相隨的，它既包括每個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中的自我評(píng)價(jià)和調(diào)控，也包括某一學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)結(jié)束時(shí)的自我反思、自我評(píng)價(jià)和相互質(zhì)疑評(píng)價(jià)等.在這些評(píng)價(jià)活動(dòng)中，教師需要幫助學(xué)生確定合理的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)和評(píng)價(jià)方法，也要幫助學(xué)生確定正確的反思評(píng)價(jià)方向，還要在教學(xué)過程中進(jìn)行直接的啟發(fā)性評(píng)價(jià)和激勵(lì)性評(píng)價(jià).

3 數(shù)學(xué)認(rèn)知加工教學(xué)模式的課堂時(shí)空結(jié)構(gòu)

課堂是一個(gè)時(shí)空系統(tǒng)，是由師生和學(xué)習(xí)內(nèi)容組成的信息加工和交互系統(tǒng).在課堂特定的環(huán)境下，學(xué)生接受學(xué)習(xí)材料、同伴和教師發(fā)出的信息，這種信息刺激學(xué)生的大腦后，經(jīng)過內(nèi)省的加工，建立起個(gè)體對(duì)信息的理解、產(chǎn)生新信息，并通過表達(dá)傳播自身的信息.這種信息加工是即時(shí)、即情、即境的，隨著時(shí)間的流逝，先前的信息加工和交互影響著后繼的信息加工和交互，但先前的時(shí)空系統(tǒng)是不可復(fù)制的，即便重復(fù)進(jìn)行，也不可產(chǎn)生與先前同樣的信息.從這個(gè)意義上說，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)所留下的遺憾是不可補(bǔ)救的，因此，對(duì)課堂時(shí)空結(jié)構(gòu)進(jìn)行精細(xì)設(shè)計(jì)是非常必要的.由于課堂中學(xué)生的情緒對(duì)大腦的認(rèn)知加工有重大影響,因此，在課堂教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施中應(yīng)充分關(guān)注學(xué)生的情緒狀態(tài).

[1] 吳增生.3B教育理念下的數(shù)學(xué)高效課堂教學(xué)策略初探[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011(1):17-22.

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