巧用杠桿原理妙證“分點線三角形面積定理”

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(陽新縣高級中學 湖北陽新 435200)

巧用杠桿原理妙證“分點線三角形面積定理”

●鄒生書

(陽新縣高級中學 湖北陽新 435200)

分點線三角形面積定理設△ABC的面積為S，點D,E,F分別是邊AB,BC,CA上的分點，AE和CD,BF和AE,CD和BF分別相交于點P,Q,R.若AD∶DB=λ1,BE∶EC=λ2,CF∶FA=λ3，則分點線三角形△PQR的面積為

圖1

文獻[1]證明了這個定理，筆者另辟蹊徑運用質(zhì)點系重心的有關知識來證明這個定理.接下來先介紹物理學中重心的有關知識.

一個物體的各部分都要受到重力的作用，從效果上看，我們可以認為各部分受到的重力作用于一點，這一點叫做物體的重心.關于質(zhì)點系重心有如下結論：

若點G是質(zhì)量分別為m,n的2個質(zhì)點A,B的重心，則點G在線段AB上，并且滿足杠桿原理，即mAG=nGB.

若質(zhì)點系有n個質(zhì)點Ai(xi)(i=1,2,…,n)，xi表示質(zhì)點Ai的質(zhì)量.把這n個質(zhì)點任意分成2組：一組m個質(zhì)點，不妨設為A1(x1),A2(x2),…,Am(xm)；另一組n-m個質(zhì)點，設為Am+1(xm+1),Am+2(xm+2),…,An(xn).若第一組m個質(zhì)點的重心為G1(x1+x2+…+xn),第二組n-m個質(zhì)點的重心為G2(xm+1+xm+2+…+xn)，這n個質(zhì)點的重心為G，那么點G在線段G1G2上，且滿足杠桿原理，即(x1+x2+…+xm)G1G=(xm+1+xm+2+…+xn)GG2.

下面用上述質(zhì)點系重心的有關知識來證明該定理.

同理可得

在△ABC中，點D,E,F分別是邊AB,BC,CA上的分點，AE和CD,BF和AE,CD和BF分別相交于點P,Q,R.若AD∶DB=BE∶EC=CF∶FA=2，則△PQR與△ABC的面積之比為______(答案為1∶7).

[1] 張遠榮.分點線三角形面積定理[J].數(shù)學通訊，2007(23)：29-30.

[2] 顏美玲.“分點線三角形面積定理”的另證[J].中學教研(數(shù)學)，2011(4)：13-14.