一道德國(guó)奧數(shù)題的巧解和錯(cuò)解引發(fā)的探究

●

(南通高等師范學(xué)校 江蘇南通 226100)

一道德國(guó)奧數(shù)題的巧解和錯(cuò)解引發(fā)的探究

●曹軍

(南通高等師范學(xué)校 江蘇南通 226100)

2008年德國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克有如下一道題目：

題目求最小的常數(shù)c，使得對(duì)所有的實(shí)數(shù)x，y，有

1+(x+y)2≤c(1+x2)(1+y2)．

《中等數(shù)學(xué)》2009年增刊第191頁給出如下巧解：

化簡(jiǎn)整理得

(2x-y)2+(x-y)2≥0,

解法21+(x+y)2≤c(1+x2)(1+y2)等價(jià)于

cx2y2+(c-1)(x2+y2)-2xy+c-1.

(1)

令x=y=0，得c≥1，于是

cx2y2+(c-1)(x2+y2)-2xy+c-1≥

cx2y2+2(c-1)xy-2xy+c-1=

cx2y2+2(c-2)xy+c-1.

(2)

令xy=t，則t∈R，設(shè)f(t)=ct2+2(c-2)t+c-1.若f(t)≥0恒成立，則

(2c-4)2-4c(c-1)≤0，

解得

解法1的確太神秘了，就像從魔術(shù)師的帽子里突然鉆出兔子一樣，讓人匪夷所思.解法2雖比解法1自然，但遺憾的是解法有誤，于是筆者作了一番探究，現(xiàn)將探究過程整理出來，和大家分享．

g(x,y)=cx2y2+(c-1)(x2+y2)-2xy+c-1，

f(xy)=cx2y2+2(c-2)xy+c-1.

解法3(解法2的修正)

(1)當(dāng)c≥2時(shí)，滿足題意.事實(shí)上,只需驗(yàn)證

1+(x+y)2≤2(1+x2)(1+y2)，

化簡(jiǎn)得

(x-y)2+2x2y2+1≥0，

這是顯然成立的.而

2(1+x2)(1+y2)≤c(1+x2)(1+y2)，

因此

1+(x+y)2≤c(1+x2)(1+y2).

(2)當(dāng)c<2時(shí)，在原不等式中令x=y=0，得c≥1，于是

1≤c<2.

從而1+(x+y)2≤c(1+x2)(1+y2)等價(jià)于

cx2y2+(c-1)(x2+y2)-2xy+c-1≥0.

(3)

令g(x,y)=cx2y2+(c-1)(x2+y2)-2xy+c-1，則不等式(3)恒成立的充要條件是g(x,y)min≥0.

下面求g(x,y)min：由基本不等式x2+y2≥2xy,得

g(x,y)≥cx2y2+2(c-2)xy+c-1,

(4)

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立.記f(xy)=cx2y2+2(c-2)xy+c-1,令xy=t，則

f(xy)=f(t)=ct2+2(c-2)t+c-1(t∈R)，

因此

以上解法不但修正了解法2，而且揭開了解法1的神秘面紗，真可謂一舉兩得．其實(shí)，錯(cuò)誤的解法都有某些合理的因素，充分挖掘并運(yùn)用這些合理因素往往能修正錯(cuò)誤的解法，甚至有時(shí)還能啟迪新的解題思路．進(jìn)一步反思解法2，它是利用基本不等式放縮，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題，利用判別式求解．然而已知的不等式本來既可以看作關(guān)于x的一元二次不等式，也可以看作關(guān)于y的一元二次不等式，因此利用基本不等式放縮顯得多余，由此引發(fā)了下面的創(chuàng)新解法.

解法4不等式1+(x+y)2≤c(1+x2)(1+y2)可化為

令x=y=0，得c≥1．對(duì)任意x,y∈R，式(6)恒成立等價(jià)于

Δ=4y2-4(cy2+c-1)(c-1)(y2-1)≤0

對(duì)任意y∈R恒成立，整理得

c(c-1)y4+c(2c-3)y2+(c-1)2≥0.

令y2=t，則等價(jià)于

c(c-1)t2+c(2c-3)t+(c-1)2≥0

對(duì)任意t∈[0,+∞)恒成立．

當(dāng)c=1時(shí)，顯然不符合題意；

該賽題是一道含參數(shù)的恒成立問題，另一種常規(guī)思路是分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為最值問題，如果先分離參數(shù)，會(huì)怎樣呢？

解法5x,y∈R，1+(x+y)2≤c(1+x2)(1+y2)等價(jià)于對(duì)任意x，y∈R，有

(7)

即

(8)

(9)

注意到式(9)的分子、分母中3處出現(xiàn)了xy，結(jié)合分母中的x2+y2，自然想到用基本不等式x2+y2≥2xy來放縮，但必須考慮2xy-x2y2的正負(fù)．由式(9)可知，M的最大值在2xy-x2y2>0時(shí)取得，于是不妨設(shè)2xy-x2y2>0(即0

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立.

即

(2)配方法

解法3至解法5的共同特征都是先求出c的取值范圍，再確定c的最小值.解題過程比較繁瑣，有沒有簡(jiǎn)捷的解法呢?自然會(huì)聯(lián)想到解法1.解法1雖神秘巧妙，令人匪夷所思，但它卻凸現(xiàn)了一個(gè)很重要的解題思想方法——先求必要性再驗(yàn)證充分性，借鑒這種思想方法，將解法1稍作修改，可得解法6.

解法6由于式(7)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y都成立，當(dāng)然在特殊情形x=y下也成立，于是得到了式(7)的一個(gè)必要條件，即對(duì)任意x∈R，都有

即

接下來驗(yàn)證充分條件，同解法1．

這道競(jìng)賽題的探究歷程至少給我們?nèi)缦?點(diǎn)啟示：第一，任何一種解法都有一定的價(jià)值，錯(cuò)解也不例外，其價(jià)值有時(shí)并不在于錯(cuò)誤本身，而在于從中可以挖掘合理因素，修正錯(cuò)誤解法，化失敗為成功，甚至還能啟迪創(chuàng)新思路，因此教學(xué)中要注重錯(cuò)誤資源的有效利用;第二，問題的巧解不是憑空產(chǎn)生的，它往往依托于通性解法，因此教學(xué)中既要注重教通法，又要注重教反思，通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)通法進(jìn)行反思，使學(xué)生在反思中看到轉(zhuǎn)變思維的方向、方式、方法和策略，盡快獲得成功.這不僅使學(xué)生感到巧妙思路的到來是順其自然的，而且在發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)創(chuàng)新能力上無疑是一種很好的體驗(yàn)和進(jìn)步．

[1] 高孝君．一道德國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克試題的解答[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊(上半月)，2010(11-12)：117．