分歧泊松自回歸模型的馬爾可夫性

孫耀東

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,中國 四平 136000)

Powell[1]在20世紀(jì)五六十年代做了大量的細(xì)菌細(xì)胞分裂試驗(yàn),其研究的細(xì)胞分裂過程如下:初始狀態(tài)由一個(gè)母細(xì)胞分裂為兩個(gè)子細(xì)胞,之后每一代子細(xì)胞都各自分裂為兩個(gè)下一代子細(xì)胞,如記母細(xì)胞為X1,則X1分裂為X2和X3，之后X2分裂為X4和X5，X3分裂為X6和X7,以此類推.通過對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析,子細(xì)胞受遺傳和環(huán)境因素影響，由同一個(gè)細(xì)胞分裂出來的兩個(gè)子細(xì)胞由于其生長環(huán)境接近,環(huán)境對(duì)它們的影響具有相關(guān)性.針對(duì)此特點(diǎn)，Cowan與Staudte[2]在經(jīng)典的自相關(guān)模型AR(1)基礎(chǔ)上提出分歧自回歸模型BAR(1).文獻(xiàn)[3～5]進(jìn)一步分析細(xì)胞分裂過程將分歧自回歸模型理論不斷發(fā)展完善,Huggins與Basawa[6]提出分歧ARMA(p,q)模型,Huggins與Basawa[7]討論了高斯型分歧AR(p)模型,得到了參數(shù)的極大似然估計(jì),Basawa與Zhou[8]討論了非高斯型分歧自回歸模型,Zhou與Basawa[9]給出了指數(shù)型分歧自回歸模型的極大似然估計(jì).

Zhou與Basawa[10]提出分歧泊松模型,模型形式如下：

(1)

其中,Yi，i=1，2，…，為獨(dú)立同分布隨機(jī)序列,共同分布為二項(xiàng)分布B(φ1),參數(shù)φ1∈(0,1),{(ε2,ε3),(ε4,ε5),(ε6,ε7),…}為獨(dú)立同分布二維隨機(jī)序列,表示環(huán)境對(duì)細(xì)胞分裂的影響,其共同分布是

y∧z=min(y,z),參數(shù)λ>0,μ>0.

下面主要討論模型(1)的性質(zhì).

1 分歧泊松自回歸模型的性質(zhì)

證記φt(s)，ψ(s)分別為Xt和εt的母函數(shù),|s|≤1.將X1之前的細(xì)胞記為X0、X-1、X-2、…,那么(1)可表示成

由引理1的證明有

(2)

令X-∞=Y,對(duì)(2)反復(fù)迭代有

可以得出

(3)

考慮(3)式第一項(xiàng)

(4)

其中Yi，i=1，2，…，為獨(dú)立同分布隨機(jī)序列,共同分布為二項(xiàng)分布B(φ1j).

2 分歧泊松自回歸模型的馬爾可夫性

定理2任意一條由細(xì)胞及其一個(gè)子細(xì)胞構(gòu)成的細(xì)胞分裂鏈?zhǔn)遣豢杉s常返馬爾可夫鏈,如X1,X2,X4,….

證不妨取{X2t|t=0,1,2,…},下面證明它是一條不可約常返馬爾可夫鏈.考慮下面模型：

X2t=φ1°X2t-1+ε2t，t=1,2,….

(5)

對(duì)任意的t≥1及非負(fù)整數(shù)i1,i2,…,it+1,

P(X2t+1=it+1|X1=i1,X2=i2,…,X2t=it)=P(X2t+1=it+1|X2t=it),

所以{X2t|t=0,1,2,…}是馬爾可夫鏈.記P(ε2t=i)=f(i)>0,i=0,1,…,狀態(tài)i到j(luò)的轉(zhuǎn)移概率為Pij,有

所以{X2t|t=0,1,2,…}不可約.

下面證明其常返性.對(duì)于(5)式反復(fù)迭代有

下面先證明

(6)

從而(6)式成立.

由于ε2t-i與X1是獨(dú)立的,所以

參考文獻(xiàn)：

[1] POWELL E O. Some fearures of the generation times of individual bacteria[J].Biometrika,1955,42(1-2):16-44.

[2] COWAN R, STAUDTE R G. The bifurcating autoregression model in cell lineage studies[J].Biometrika,1986,42(4):769-783.

[3] STAUDTE R G. A bifurcating autoregression model for cell lineage data with varying generation means[J].J Theor Biol,1992,156(2):183-195.

[4] HUGGINS R M, STAUDTE R G. Variance components models for dependent cell populations[J].J Am Stat Assoc,1994,89(425):19-29.

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[6] HUGGINS R M, BASAWA I V. Extensions of the bifurcating autoregressive model for cell lineage studies[J].J Appl Probab,1999,36(4):1225-1233.

[7] HUGGINS R M, BASAWA I V. Inference for the extended bifurcating autoregressive model for cell lineage studies[J].Aust & New Zealand J Stat,2000,42(4):423-432.

[8] BASAWA I V, ZHOU J. Non-Gaussian bifurcating models and quasi-likelihood estimation[J]. J Appl Probab,2004,41(1):55-64.

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[10] ZHOU J, BASAWA I V. Least-squares estimation for bifurcating autoregressive processes[J].Stat & Probab Lett,2005,74(1):77-88.

[11] 孫耀東，宋立新.分歧泊松自回歸橫型的漸近分布[J].廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，9(2)：24-25.