具有非局部反應(yīng)項(xiàng)的退化拋物方程解的爆破

荊煥先， 石金娥， 魏保軍， 郭從洲

(信息工程大學(xué) 理學(xué)院,河南 鄭州 450001)

本文主要研究了如下具有非局部源的退化的非線性拋物方程

(1)

的初邊值問題的爆破.其中，00,α>-1,β>0.

近年來，有一些學(xué)者致力于非局部源的半線性拋物方程爆破性質(zhì)的研究[1-4]，對(duì)不同模型得出了問題解的整體存在性和解的爆破性質(zhì)以及解的爆破速率，研究問題的方法也有很多.

由文獻(xiàn)[1]和[5-6]所研究的問題的解的爆破的啟發(fā)，我們研究問題(1)的解的爆破性質(zhì)，通過引入特征函數(shù)，根據(jù)其性質(zhì)構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)谋埔蜃?，利用比較原理，從而得出問題解在有限時(shí)刻爆破.

1 定義與引理

定義1 設(shè)u(x,t)是問題(1)的解，若存在T0<+∞，使得

(2)

則稱解u(x,t)在有限時(shí)刻產(chǎn)生爆破.

為了解決問題，引入如下特征值問題：

(3)

(4)

為了獲得問題在Ω上的整體解的性質(zhì)，我們選取Ω上的一個(gè)緊支集閉球B，在閉球B上考慮問題(1)，B??Ω.

(5)

其中，λ0>0,φ(x)是B上特征值問題φ″(x)+λ1xαφ(x)=0的第一特征值λ0所對(duì)應(yīng)的特征函數(shù).

2 解的爆破

定理1 設(shè)u(x,t)是問題(1)的非負(fù)解，若λ>λ1,則u(x,t)在有限時(shí)刻產(chǎn)生爆破(λ1是區(qū)域B上特征問題φ″(x)+λ1xαφ(x)=0的第一特征值).

證明我們利用特征值方法證明，其中φ為區(qū)域B上的特征問題φ″(x)+λ1xqφ(x)=0的第一特征函數(shù).φ滿足φ″(x)+λ1xαφ(x)=0,φ|?B=0,φ>0inΩ.

由假設(shè)α>-1可得:當(dāng)α+1≤1時(shí)，問題可化為W′(t)≥-λ1W(t)+λeβW(t)/x，且x∈B??Ω,則‖x‖≤‖Ω‖,于是有W′(t)≥-λ1W(t)+λeβW(t)/‖Ω‖≥-λ1W(t)+λeβW(t)-λe‖Ω‖.

只要λ>λ1,則W(t)必在有限時(shí)刻爆破.

當(dāng)α+1>1時(shí)，只要有xα≤β則問題就化為W′(t)≥-λ1W(t)+λeW(t)，且x∈B??Ω,則‖x‖≤‖Ω‖.于是有W′(t)≥-λ1W(t)+λeW(t).

只要λ>λ1,則W(t)必在有限時(shí)刻爆破.

所以由定義1及引理1得出：在特定條件下，問題(1)的解u(x,t)在有限時(shí)刻爆破.

參考文獻(xiàn)：

[1] Zhang Jian. Boundedness and blow-up behavior for reaction-diffusion systems in a bounded domain[J]. Nonlinear Analysis,1999(35):833-844.

[2] Stuart A， Floater M S. On the conputation of blow-up[J]. Euro J Appl Math,1990(1):47-71.

[3] 劉亞成. 半線性熱方程整體解的存在性與非存在性[J]. 數(shù)學(xué)年刊, 1997,18A(1):65-72.

[4] Floater M S. Blow-up at the boundary for degenerate semilinear parabolic equations[J]. Arch Rat Mech Anal,1991(114):57-77.

[5] Chan C Y, Liu H T. Global existence of solutions for degenerate semilinear parabolic problems[J]. Nonlinear Analysis,1998(34):617-628.

[6] 施國(guó)華. 一類退化的半線性拋物型方程解的爆破與全局存在性[J]. 南京大學(xué)學(xué)報(bào)(數(shù)學(xué)半年刊),2000,17(1):116-124.