關(guān)于nZ的理想及商環(huán)

張隆輝, 石化國, 趙鳳鳴

(四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系,四川遂寧 629000)

關(guān)于nZ的理想及商環(huán)

張隆輝, 石化國, 趙鳳鳴

(四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系,四川遂寧 629000)

給出了nZ的全部理想、極大理想和素理想,并研究了nZ的商環(huán)的構(gòu)造以及為域的條件,解決了Zn的子域的存在和個數(shù)問題.

理想;極大理想;素理想;商環(huán);域;子域;單素因子

若環(huán)R關(guān)于其加法作成的加群(R,+)是一個循環(huán)群,則稱R是一個循環(huán)環(huán).若a是循環(huán)環(huán)R的加群的一個生成元,則也稱a是循環(huán)環(huán)R的一個生成元,并記R=〈a〉.循環(huán)環(huán)R=〈a〉的元素個數(shù)叫做R的階,記為|R|,也就是生成元a關(guān)于R的加法的階(簡稱a的加法階).

整數(shù)環(huán)Z是無限循環(huán)環(huán)且是歐氏環(huán),對它的研究在代數(shù)學(xué)中具有十分重要的意義.循環(huán)環(huán)的子加群、子環(huán)、理想三者是一致的.Z的子環(huán)即由整數(shù)n生成的主理想,記為nZ或〈n〉.Z關(guān)于模n的剩余類環(huán)即Z的商環(huán),記為Zn或Z/nZ.文[1]給出了Z/nZ的全部理想、極大理想和素理想及其具體求法,文[2]研究了Zn的子環(huán).本文研究nZ的理想、商環(huán)以及Zn的子域的存在和個數(shù)問題.

1 nZ的理想

引理1[1]設(shè)Z是整數(shù)環(huán),m Z是Z的理想,則Z中理想nZ?m Z?n|m.

定理1 nZ的全部理想為mnZ,其中m≥0.

證由引理1,mnZ是nZ的理想.設(shè)H是nZ的任一理想.由于nZ=〈n〉是以n為生成元的循環(huán)環(huán),故H也為循環(huán)環(huán).設(shè)其生成元為mn(m≥0),則H=〈mn〉=mnZ.

定理2 nZ的全部極大理想為np Z,其中p為素數(shù).

證(i)設(shè)p為素數(shù),則np Z?nZ.若np ZHnZ,則H=nkZ(k≥0)?nk|np?k|p.而p是素數(shù)?k=1或k=p?H=nZ或H=np Z?np Z為nZ的極大理想.

(ii)設(shè)N是nZ的一個極大理想,則N=np Z(p≥0).顯然p≠0且p≠1,故p＞1.如果p為合數(shù): p=p1p2,1＜pi＜p(i=1,2)?np=(np1)p2,npnp1,np1n?np Z?np1Z?nZ,矛盾.故p為素數(shù).

顯然nZ總有兩個素理想{0}和nZ,這兩個素理想稱為nZ的平凡素理想.

定理3 nZ的全部素理想為np Z,其中p=0或p=1或p為素數(shù)且pn.

證(i)當p=0或p=1時,np Z是nZ的平凡素理想.當p為素數(shù)且pn時,?a,b∈nZ,且ab∈np Z,令a=ns,b=nt,則ab=npq=nsnt?nst=pq.又由p為素數(shù)且pn?p|s或p|t?np|a或np|b?a∈np Z或b∈np Z?np Z為nZ的素理想.

(ii)設(shè)H是nZ的任一素理想,則H=np Z,p≥0.若H={0},則p=0.若H=nZ,則p=1.若H≠{0}且H≠nZ,則p＞1.

①如p為合數(shù):p=p1p2,1＜pi＜p(i=1,2),則取a=np1,b=np2,有a,b∈nZ.但a,b?np Z,ab =np1np2=n(np)∈np Z,所以np Z不是nZ的素理想,矛盾.所以p必為素數(shù).

②如p為素數(shù)但p|n.取a=b=n(p+1)∈nZ,令n=pk,則

但a=b?np Z(否則np|n(p+1)?p|p+1,矛盾.),所以np Z也不是nZ的素理想,矛盾.所以p為素數(shù)且pn.

作為定理2,3的特例得熟知的結(jié)果:在Z中,除平凡理想外,素理想和極大理想是一致的.定理2、3還表明,在nZ(n＞1)中,非平凡素理想是極大理想,極大理想未必是素理想,故可以在nZ(n＞1)中找到是極大理想而不是素理想的例子.

2 nZ的商環(huán)

定理4給出了nZ的商環(huán)的構(gòu)造,下面進一步看該商環(huán)為域的條件.

引理2[3]階大于1的有限環(huán)若無零因子,則必為除環(huán).

定理5 nZ/mnZ為域的充要條件是m為素數(shù)且mn.

證充分性.由m為素數(shù)且mn,則mnZ是nZ的非平凡素理想,所以nZ/mnZ為無零因子交換環(huán).而|nZ/mnZ|=m有限且大于1,則由引理2知nZ/mnZ為域.

必要性.假設(shè)m不是素數(shù).若m=0或m=1,顯然nZ/mnZ不是域.故m＞1.若m是合數(shù),設(shè)m=m1m2,1＜mi＜m(i=1,2),記Z/mnZ的元為k ,則

推論對商環(huán)nZ/mnZ,(i)當m=0時,與nZ同構(gòu);(ii)當m=1時,為零環(huán);(iii)當m為合數(shù)時,為有零因子環(huán);(iv)當m為素數(shù)且m|n時,為零乘環(huán);(v)當m為素數(shù)且mn時,為特征是m的域且與Zm同構(gòu).

證(i),(ii)顯然,(iii),(iv)由定理5的證明已得.

3 Zn的子域

定義1 若環(huán)R的子環(huán)K對R的加法和乘法作成一個域,則稱K是R的子域.

定義2 設(shè)正整數(shù)n和素數(shù)p.若p|n且p2n,則稱p是n的單素因子,n的單素因子的個數(shù)記為ψ(n).

定理6 對模n剩余類環(huán)Zn,(i)若Zn有p階子域,則Zn的p階子域只有一個,即為m Z/pm Z (n=pm);(ii)Zn有p階子域的充要條件是p為n的單素因子;(iii)Zn的子域個數(shù)為ψ(n).

證(i)設(shè)Zn有p階子域Kp,令n=pm,則Kp也是Zn的p階子環(huán).而Zn是n階循環(huán)環(huán),有唯一的p階子環(huán),m Z/pm Z已是Zn的p階子環(huán),從而Kp=m Z/pm Z.

(ii)若Zn有p階子域,即為m Z/pm Z(n=pm).由定理5,p是素數(shù)且pm,故p是n的單素因子.反之,若p是n的單素因子,令n=pm,因p是素數(shù)且pm,由定理5,m Z/pm Z是Zpm=Zn的p階子域.

(iii)若ψ(n)=0,則n沒有單素因子,Zn的子域個數(shù)為0.若ψ(n)＞0,設(shè)n的全部單素因子為p1,…,pψ(n),則對每個pi,Zn有唯一的pi階子域miZ/pimiZ(pimi=n).而當i≠j(1≤i,j≤ψ(n))時, pi≠pj,miZ/pimiZ≠mjZ/pjmjZ,故Zn的子域個數(shù)為ψ(n).

由定理6可知,Znk(n,k＞1)不含子域,求Zn的子域的方法如下:

①求出n的全部單素因子(如有的話)p1,…,pψ(n);②按定理4寫出Zn的pi階子域miZ/pimiZ

[1] 杜福昌.剩余類環(huán)Z/mZ的理想素理想極大理想[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),1989,12(1)：66-67.

[2] 李伯葓.模n的剩余類環(huán)的子環(huán)[J].南京師大學(xué)報(自然科學(xué)版),1992,15(3)：17-20.

[3] 楊子胥.近世代數(shù)[M].2版.北京：高等教育出版社,2003：167.

[4] 吳品三.近世代數(shù)[M].北京：高等教育出版社,1987.

On Ideals and Quotient Rings ofnZ

Z HA N G L ong-hui, S H I Hua-guo, Z HAO Feng-ming
(Department of Mathematics,Sichuan Vocational and Technical College,Suining,Sichuan 629000,China)

All of ideals,maximal ideals and prime ideals ofnZare given in this paper.The construction of quotient rings ofnZand the properties such that the quotient rings are fields are discussed.And the problems about the existence and the number of subfields ofZnare solved.

ideal;maximal ideal;prime ideal;quotient ring;field;subfield;single prime divisor

O153.3

A

1672-1454(2011)03-0050-03

2008-07-21;[修改日期]2008-12-23