類比思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用誤區(qū)

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(杭州外國語學(xué)校 浙江杭州 310023)

類比思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用誤區(qū)

●趙肖東

(杭州外國語學(xué)校 浙江杭州 310023)

類比推理是由2類對象具有某些相似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理(簡稱類比).在數(shù)學(xué)中，可以由已經(jīng)解決的問題和已經(jīng)掌握的知識出發(fā)，通過類比推理提出新問題和作出新發(fā)現(xiàn).數(shù)學(xué)家波利亞曾指出“類比是一個(gè)偉大的引路人”.高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)把培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力作為主要的能力培養(yǎng)目標(biāo)之一.類比在發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新精神的過程中有著無可比擬的價(jià)值.類比推理的創(chuàng)造性作用除了體現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)新的命題，直至發(fā)現(xiàn)新的領(lǐng)域外,還可以用來發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑與方法.在解決數(shù)學(xué)問題中，為尋找問題的線索往往可借助類比的方法，在類比的應(yīng)用過程中，往往與解題者原有知識、經(jīng)驗(yàn)中類似形式或結(jié)構(gòu)、類似方法或模式有聯(lián)系.類比含有猜測的成分，是或然推理，屬于合情推理的范疇，在數(shù)學(xué)思維中正是這種局限性導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識、解決新問題過程中產(chǎn)生錯(cuò)誤.本文試圖通過一些例子來探討類比推理在數(shù)學(xué)解題中的使用誤區(qū).

1復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的類比

在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)的概念從實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集后，其基本運(yùn)算性質(zhì)和實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)相類似，但是有些實(shí)數(shù)集中的性質(zhì)就喪失了，譬如實(shí)數(shù)集中的有序性、平方的非負(fù)性等，此時(shí)再用實(shí)數(shù)集中的老辦法解決復(fù)數(shù)集中的新問題，就容易導(dǎo)致錯(cuò)誤.

案例1

分析類比實(shí)系數(shù)一元二次方程，利用判別式判斷方程根的個(gè)數(shù)的方法來討論復(fù)系數(shù)方程根的情況是錯(cuò)誤的.實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0，配方得

正解設(shè)x0為其實(shí)根，則

即

于是

2向量與數(shù)量的類比

高中課程類比數(shù)量引入向量的概念，向量不同于數(shù)量，向量有方向，而數(shù)量的代數(shù)運(yùn)算在向量范圍內(nèi)不都適用，因此若將向量運(yùn)算和數(shù)量運(yùn)算簡單作類比，則有可能導(dǎo)致錯(cuò)誤.

案例2

已知a，b，c是非零向量，a⊥b，x∈R，x1，x2是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的2個(gè)解，求證：x1=x2． 已知x1，x2是關(guān)于x的方程ax=b(a≠0)的2個(gè)解，求證：x1=x2．方程兩邊同乘非零向量b，則b·(ax2+bx+c)=0，即b·ax2+b2x+b·c=0．因?yàn)閍⊥b，所以方程可化為b2x+b·c=0．方程兩邊同乘1a，得x=-b·cb2，從而x1=x2．得x=ba，所以x1=x2．

分析實(shí)系數(shù)方程同解原理：在實(shí)系數(shù)方程中,2邊同乘非零常數(shù)，解集不變.但是將向量方程的2邊同時(shí)乘非零向量b卻不是同解變形.因?yàn)橛蒪與ax2+bx+c垂直也可得b·ax2+b2x+b·c=0,所以b·ax2+b2x+b·c=0的解不一定是ax2+bx+c=0的解.

正解由題意得

兩式相減得

(x1-x2)[(x1+x2)a+b]=0.

因?yàn)閍⊥b，所以(x1+x2)a⊥b，得

(x1+x2)a+b≠0,

故x1=x2.

3空間與平面的類比

把立體幾何知識與相關(guān)的平面幾何知識類比，是實(shí)現(xiàn)知識遷移的一種有效方法，同時(shí)也可以簡化運(yùn)算與推理，從而優(yōu)化解題過程.但是平面幾何中的定義、定理對于空間圖形不一定成立，因此兩者類比可能導(dǎo)致錯(cuò)誤.

案例3

分析在平面幾何中有平行四邊形的判定定理：2組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.而在空間中，這個(gè)定理并不正確.因此該題的證明是錯(cuò)誤的.

正解如圖3，在DD1上取DG=AE.由DG=AE,DG∥AE,得四邊形CGEB是平行四邊形，因此

CG=BE，CG∥BE.

從而易得△C1D1F≌△DCG(SAS)，于是

CG=D1F,CG∥D1F,

因此

BE=D1F,BE∥D1F,

圖3

故四邊形BFD1E是平行四邊形.

4圓錐曲線與圓的類比

圓是圓錐曲線中最基本、最簡單的一種圖形，與圓錐曲線在定義和幾何性質(zhì)方面有很多的相似性，但由于各類曲線的差異性、特殊性，若都套用圓的解題模式，則失誤必然難免.

案例4

判斷下列橢圓和圓的位置關(guān)系：x2+2y2=8，x2+(y+2)2=4． 判斷下列兩圓的位置關(guān)系：x2+y2+2x+8y-8=0，x2+y2-4x-4y-2=0．聯(lián)立方程x2+2y2=8；x2+(y+2)2=4，{(1)聯(lián)立方程x2+y2+2x+8y-8=0；x2+y2-4x-4y-2=0，{(3)2式相減消去x，得y2-4y-8=0．(2)2式相減化簡得x+2y-1=0(4)再代入式(3)消去y得x2-2x-3=0，(5)由Δgt;0，得方程(2)有2個(gè)不同的解，則橢圓與圓有2個(gè)交點(diǎn)．由Δgt;0，得方程(5)有2個(gè)不同的解，則兩圓有2個(gè)交點(diǎn)．

分析因?yàn)槭?3)等價(jià)于方程組

正解方程(2)有2個(gè)不同的解

一般說來，當(dāng)學(xué)生進(jìn)入新知識領(lǐng)域時(shí)，常常會選擇熟知的、有相似特征的舊知識和方法類比地對待新知識、新問題，尋求一條快捷的解決途徑.但這有時(shí)會發(fā)生不易察覺的錯(cuò)誤，上面這些例子就是如此.因此教師應(yīng)采用多種方法和手段指導(dǎo)學(xué)生主動建構(gòu)新知識，處理好新舊知識之間的聯(lián)系和區(qū)別.用好類比這把雙刃劍，對類比的過程要多加分析，去偽存真，這不但能獲得新知識，而且更重要的是它對發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力有著極好的促進(jìn)作用.