一個(gè)核為零齊次的Hilbert級(jí)數(shù)型不等式及其逆

鐘建華

(廣東第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東廣州 510303)

一個(gè)核為零齊次的Hilbert級(jí)數(shù)型不等式及其逆

鐘建華

(廣東第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東廣州 510303)

通過引入?yún)?shù)和應(yīng)用權(quán)函數(shù)的方法，建立了一個(gè)具有最佳常數(shù)因子的核為零齊次的Hilbert級(jí)數(shù)型不等式及其等價(jià)形式，并得到它的逆式及等價(jià)式．

Hilbert級(jí)數(shù)型不等式； 權(quán)函數(shù)； 核； 等價(jià)式

(1)

(2)

這里，常數(shù)因子K為最佳值．當(dāng)=1時(shí)，式(2)變?yōu)槭?1)的對(duì)偶形式．2006年，文獻(xiàn)[7]獲得了一個(gè)新的Hilbert型積分不等式:

(3)

C(

(4)

這里，常數(shù)因子C()=為最佳值．

最近，正數(shù)和零齊次核的Hilbert型不等式研究得到重視，文獻(xiàn)[9]建立了如下正數(shù)齊次核的Hilbert型積分不等式:

(5)

這里，(p,q)和(r,s)為2對(duì)共軛指數(shù)，且p,r>1,>0，rs/為最佳常數(shù)．

文獻(xiàn)[10]建立了一個(gè)零齊次核的級(jí)數(shù)型Hilbert型不等式:

(6)

本文引入?yún)?shù)，應(yīng)用權(quán)系數(shù)方法及實(shí)分析技巧，研究如下零齊次核

(7)

的具有最佳常數(shù)因子的Hilbert型級(jí)數(shù)不等式，并得到其逆式和等價(jià)式,主要結(jié)果如下.

引理1 對(duì)任意0<≤1,A≥-1，定義權(quán)系數(shù)ω如下:

ω(m)∶=

(8)

(9)

則有不等式

0

K

(10)

(11)

0<θ(m,,A)∶=

則有

(12)

(a)當(dāng)A=-1時(shí)，若=1，fm(y)在(0,m)內(nèi)是常數(shù)，在[m,∞)上嚴(yán)格遞減;若0<<1，fm(y)在(0,∞)上嚴(yán)格遞減．

(b)當(dāng)A>-1時(shí)，fm(y)在(0,∞)上嚴(yán)格遞減．

綜合(a)和(b)，由式(8)有

(13)

對(duì)式(13)右側(cè)的積分作變換u=y/m，由式(7)可得

在上面的第一個(gè)積分作變換v=u，在第二個(gè)積分作變換v=u，由式(13)得

ω(m)

(14)

即式(10)右邊成立．由對(duì)稱性可證得式(11)．對(duì)于式(13)左邊積分，有

K(A)-du，

再由式(13)，得式(10)左邊．證畢．

K

(15)

[K

(16)

其中，K0(m,n)和K(A)由式(7)及式(10)所定義，常數(shù)因子K(A)和[K(A)]p都為最佳值．

證明由帶權(quán)的H?lder不等式[11]與式(7)、式(8)和式(9)，有

再由式(10)和式(11)，有式(15)．

K

[K

(17)

再由式(16)，便有式(15)．故式(15)與式(16)等價(jià)．下證式(15)的常數(shù)因子K(A)為最佳值．

(18)

另一方面，由式(7)的對(duì)稱性及式(12)在(0,∞)上嚴(yán)格遞減，作變換u=x/y，

(19)

因u(01)關(guān)于i單調(diào)遞增，由列維定理[12]，當(dāng)i→∞，有

結(jié)合式(18)及式(19)，有K≥K(A)，故K=K(A)為式(15)的最佳常數(shù)因子．式(16)的常數(shù)因子[K(A)]p必為最佳值，否則，由式(17)，易得式(15)的常數(shù)因子也不是最佳值矛盾．證畢．

評(píng)注取A=0時(shí)，式(15)變?yōu)槭?6);取A=0,=1時(shí)，式(15)變?yōu)?/p>

(20)

取A=-1時(shí)，式(15)變?yōu)?/p>

(21)

則有如下等價(jià)逆式

(22)

(23)

[K

(24)

這里，常數(shù)因子K(A)和[K(A)]ρ(ρ=p,q)都為最佳值(,為式(15)和式(16)所定義，θ(m,,A)為式(11)所定義)．

K

K

故式(23)成立． 反之， 設(shè)式(23)成立，由逆向的H?lder不等式[11]，可得式(17)的逆式，因此由式(23)，得式(22)成立．故式(22)與式(23)等價(jià)．

則am(N)>0及

由式(22)，有

K

(25)

再由式(24)，有式(22)成立，即式(22)與式(24)等價(jià)．綜合得式(22)、(23)與式(24)互相等價(jià)．

(26)

由式(7)的對(duì)稱性及式(12)在(0,∞)上的嚴(yán)格遞減，作變換u=x/n，有

(27)

(28)

即式(28)成立．由式(28)及式(27)，得

聯(lián)系式(26)，有

K(A)+o(1)>

(29)

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[12] 匡繼昌． 實(shí)分析與泛函分析[M]．北京:高等教育出版社，2002:108．

Keywords： Hilbert-type series-inequality；weight function；kernel; equivalent form

【責(zé)任編輯 莊曉瓊】

AHILBERT-TYPESERIES-INEQUALITYANDITSREVERSESWITHTHEHOMOGENEOUSKERNELSOFZERODEGREE

ZHONG Jianhua

(Department of Mathematics，Guangdong University of Education，Guangzhou 510303，China)

By introducing some parameters and using the way of weight functions， a new Hilbert-type series-inequality and its equivalent form are given with the homogeneous kernel of zero degree and a best constant factor．The reverse and the equivalent form are also obtained．

2010-02-04

廣東省高等學(xué)校自然科學(xué)基金重點(diǎn)研究項(xiàng)目(05Z026)

*通訊作者，zjh@gdei.edu.cn

1000-5463(2011)02-0033-05

O178

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