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    邏輯學在《數(shù)學分析》教學中的應用

    2011-11-20 07:05:22何先平宋述剛
    長江大學學報(自科版) 2011年4期
    關(guān)鍵詞:數(shù)學分析邏輯學全稱

    何先平,宋述剛

    (長江大學信息與數(shù)學學院,湖北 荊州 434023)

    邏輯學在《數(shù)學分析》教學中的應用

    何先平,宋述剛

    (長江大學信息與數(shù)學學院,湖北 荊州 434023)

    在《數(shù)學分析》教學中,運用邏輯學的原理與方法,闡明《數(shù)學分析》的分析與綜合方法,揭示極限等重要概念中的性質(zhì)判斷的定義結(jié)構(gòu),有助于突出教學重點,分解教學難點,使學生深入理解和掌握《數(shù)學分析》的基本概念與思想方法,從而提高《數(shù)學分析》的教學質(zhì)量。

    數(shù)學分析;邏輯學原理;分析;綜合

    在科學發(fā)展的初期,數(shù)學被包含在哲學的母體之中。邏輯學是研究思維的邏輯形式、基本規(guī)律與方法的學科,它與數(shù)學有著十分密切的關(guān)系。在它的發(fā)展過程中,不斷借用數(shù)學的思想方法,反過來又促進數(shù)學的發(fā)展。《數(shù)學分析》是大學相關(guān)專業(yè)十分重要的基礎課程,蘊含著豐富的邏輯思維原理與方法。《數(shù)學分析》充分運用了分析與綜合的邏輯思維方法,其基本概念——極限的定義,被稱之為典型的分析語言,即是分析與綜合的體現(xiàn),其中包含了一些全稱判斷與特稱判斷,由此構(gòu)成一個復合判斷。極限的概念與方法,貫穿于《數(shù)學分析》的始終,既是教學的重點,也是教學的難點,其教學歷來受到特別的重視。因此,在《數(shù)學分析》教學中,運用邏輯學的原理與方法,對提高教學質(zhì)量有著非常重要的意義。

    1 分析與綜合

    分析法與綜合法則是常用的普通邏輯思維方法。分析法就是把復雜的事物或過程分解成各個部分、局部或階段,然后用孤立、靜止的觀點逐個對其研究,從而得出事物的微觀性質(zhì);而綜合法則是把事物的各個部分或階段的微觀性質(zhì)有機整合在一起,把握事物的整體、宏觀性質(zhì)。通常人們往往將這兩者先后結(jié)合起來,達到認識事物的目的。概念、判斷、推理是思維的基本形式,因而數(shù)學概念就是教學中首先要注重的對象?!稊?shù)學分析》的基本概念,例如極限、微分、積分的定義都采用了分析與綜合的方法。下面以極限與定積分的概念為例說明。

    |an-a|<0.1 |an-a|<0.01 |an-a|<0.002 …

    對于上述每個變化階段,用孤立、靜止的觀點研究它們,所得條件是自變量n必須大于某個正整數(shù)。這樣的變化階段有很多很多,它們具有上述類似的特征,運用邏輯量詞符號,將其綜合、概括起來即為:

    ?ε>0,?正整數(shù)N,當n>N時,都有|an-a|<ε

    的近似值的極限值即為它的精確值。上述過程中的分割、近似即為分析,而作和、取極限則為綜合,定積分的概念是分析與綜合相結(jié)合的完美范例。

    2 判斷與否定判斷

    判斷是對思維對象有所斷定(即肯定或否定)的思維形式。數(shù)學中的判斷大量存在于數(shù)學的概念與推理之中。在《數(shù)學分析》中,很多判斷屬于性質(zhì)判斷,即斷定對象具有或者不具有某種性質(zhì)的判斷。如:①函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)可導;②函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]不可積。

    性質(zhì)判斷按對象的數(shù)量劃分,可分為單稱判斷、全稱判斷和特稱判斷;按性質(zhì)劃分,又可分為肯定判斷與否定判斷。否定一個全稱判斷,須用特稱判斷,而否定一個特稱判斷,則須用全稱判斷。

    《數(shù)學分析》大多數(shù)基本概念的定義由全稱判斷和特稱判斷構(gòu)成,如極限、上(下)確界、有(無)界函數(shù)、微分、積分等。這些概念都是教學的重點與難點。特別是教學之初就涉及到的極限概念,學生對其正概念,尤其是對其負概念中的“ε-N語言”、“ε-δ語言”的理解和掌握容易產(chǎn)生障礙,究其原因,筆者認為是教學中缺乏邏輯學的指導。

    ?ε>0,?正整數(shù)N,當n>N時,都有|an-a|<ε

    這是一個復合判斷。其中?ε>0…引導一個全稱肯定判斷,而這個判斷之中,又包含一個特稱肯定判斷:?正整數(shù)N…,一個全稱判斷?n>N…。

    ?ε0>0,?正整數(shù)N,?n0>N,使得|an0-a|≥ε0

    同理,數(shù)列{an}發(fā)散的定義為:

    ?a∈R,?ε0>0,?正整數(shù)N, ?n0>N,使得|an0-a|≥ε0

    類似地,可以討論各種類型的函數(shù)極限的定義及其否定形式。

    此外,在邏輯推理(例如反證法)中,也經(jīng)常涉及到全稱判斷和特稱判斷及其否定。

    3 結(jié) 語

    除了上面提到的邏輯學原理與方法以外,《數(shù)學分析》還大量運用了演繹推理、歸納推理、類比推理等邏輯推理論證方法與普通邏輯的基本規(guī)律,如同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。學習與掌握一定的邏輯學知識,不僅可以促進數(shù)學的學習,而且可以指導數(shù)學的教學。

    [1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M]. 第3版.北京:高等教育出版社,2001.

    [2] 陳紀修.數(shù)學分析[M].北京:高等教育出版社,2002.

    [3] 吳家國.普通邏輯原理[M]. 北京:高等教育出版社,1994.

    [4] 吳家國.普通邏輯述評[M].上海:上海人民出版社,1990.

    [5] 宋述剛,陳忠.微積分理論中的辯證法規(guī)律與辯證思維方法[J].長江大學學報(自然科學版),2005,2 (10):385-386.

    [6] 屈婉玲,耿素云,張立昂.離散數(shù)學[M].北京:清華大學出版社,2005.

    [編輯] 洪云飛

    10.3969/j.issn.1673-1409.2011.02.047

    N4

    A

    1673-1409(2011)02-0135-02

    2010-12-24

    何先平(1965-),男,1985年大學畢業(yè),碩士,副教授,現(xiàn)主要從事數(shù)理統(tǒng)計方面的教學與研究工作;E-mail:hexp@yangtzeu.edu.cn。

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