隨機線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的概率分布函數(shù)研究

苗則朗,馮永興,張書畢,張秋昭

(1.中國礦業(yè)大學環(huán)境與測繪學院,江蘇徐州 221008;2.江蘇省資源環(huán)境信息工程重點實驗室,江蘇徐州 221008)

隨機線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的概率分布函數(shù)研究

苗則朗1,2,馮永興1,張書畢1,張秋昭1

(1.中國礦業(yè)大學環(huán)境與測繪學院,江蘇徐州 221008;2.江蘇省資源環(huán)境信息工程重點實驗室,江蘇徐州 221008)

通過仿真計算出隨機線元落入其“真實值”緩沖區(qū)內(nèi)的比例,并采用柯氏檢驗法對其進行分布擬合檢驗,得出隨機線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的比例服從正態(tài)分布的結(jié)論,從而完善線元誤差不確定帶模型。

隨機線元;緩沖區(qū);正態(tài)分布;柯氏檢驗法

一、引 言

線狀地形物的特征一般包括長度和曲率,通常線狀地形物的真實位置不容易獲得或者獲得的方式比較困難[1],因此不容易對線元整體精度作出評價。有關(guān)線狀地形物精度評價目前已有多種模型。Perkal于 1956年首先提出了應(yīng)用 Epsilon帶模型來建立線元不確定性模型[2],圍繞“真實”的位置建立寬度相等的緩沖區(qū),比較測量值與“真值”之間的關(guān)系;Blakemore定義了點與線段的緩沖區(qū)之間的五種位置關(guān)系:絕對在、有可能在、模棱兩可、可能不在、絕對不在[3];Skidmore和 Turner通過查找測量與參考線元之間的數(shù)目估計線元的精度[4];Goodchild和Hunter利用隨機線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的比例評價隨機線元的精度[5];Tveite、Langass和張永彬等通過緩沖區(qū)疊置分析,評價測量數(shù)據(jù)精度[6-7]。但以上方法均假設(shè)參考線元與測量線元之間不存在偏移,僅考慮方差的影響。為克服以上方法的不足,Joon Heo等在考慮偏移、方差的綜合影響下,提出了非線性最小二乘方法[1],并將該方法應(yīng)用于海岸線退化研究[8]。

以上模型與方法,均直接假設(shè)隨機線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的比例服從高斯正態(tài)分布,但沒有給出具體的原因或者推導過程,體系稍欠完善。本文基于計算機仿真和分布擬合檢驗的方法,采用柯爾莫戈羅夫(KolmogorovA N)檢驗法對假設(shè)的正態(tài)分布進行分布擬合檢驗,給出了隨機線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的比例服從高斯正態(tài)分布的結(jié)論及證明過程。

二、誤差函數(shù)及柯氏檢驗法

在數(shù)學中,誤差函數(shù) erf(x)(也稱為高斯誤差函數(shù))是一個特殊的函數(shù) (非初等函數(shù)),在概率、統(tǒng)計、材料科學和偏微分方程等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。erf(x)定義為

誤差函數(shù)與標準正態(tài)分布累積函數(shù) (記為Φ)基本相同,可以通過比例和旋轉(zhuǎn)運算等同。即

柯氏檢驗法由前蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫戈羅夫首先提出,對于連續(xù)型的隨機變量,柯氏檢驗法較χ2檢驗法更好。設(shè) X的分布函數(shù) F(x)是未知的;X1,…,Xn是樣本;F0(x)是給定的某個分布函數(shù);作如下假設(shè)

首先從樣本出發(fā)求出經(jīng)驗分布函數(shù) Fn(x),計算分歧度

取否定域為

當計算出分歧度 Dn的值小于臨界值λ時,則接受 H0。臨界值λ的取值可以由柯爾莫戈羅夫檢驗臨界值表查知[9]。

三、模擬步驟及分布擬合分析

1.模擬步驟

隨機線元及其使用“真實值”建立的緩沖區(qū)示意圖如圖 1所示,隨機線元的分布受偏移和方差的影響,文獻[1]論述了偏移和方差對隨機線元分布的影響。綜合考慮偏移和方差的影響,得出計算機仿真的步驟如下:

1)生成隨機線元。模擬的點分別為 Z1、Z2,并假設(shè) Z1、Z2相互獨立。其分布依次為

利用Matlab生成上述兩組隨機點,連接兩個隨機點,即得到該線段一組隨機線元。

2)圍繞“真實”線段建立緩沖區(qū)。

3)計算隨機線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的比例

4)采用蒙特卡羅方法重復(fù)以上三個步驟10 000次,將平均值作為該緩沖區(qū)帶寬下隨機線元落入帶寬為緩沖區(qū)內(nèi)的比例。

5)以一定的步長(如 0.5 m)增加緩沖區(qū)帶寬,重復(fù)以上四個步驟,得到一系列不同緩沖區(qū)帶寬下隨機線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的比例。

圖1 隨機線元落入緩沖區(qū)示意圖

2.模擬結(jié)果

隨機線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的長度與隨機線元長度的比值如表 1所示;隨機線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的比例曲線圖如圖2所示。

表 1 隨機線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的比例

從圖 2中可以發(fā)現(xiàn)隨機線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的比例曲線圖與誤差函數(shù) erf(x)曲線圖很接近,為了驗證,采用柯氏檢驗法進行假設(shè)檢驗。

圖 2 隨機線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的比例

3.分布擬合檢驗

采用柯氏檢驗法進行假設(shè)檢驗。從圖 2可以看出,該曲線的形態(tài)與正態(tài)分布的誤差函數(shù)曲線相似,因此作如下假設(shè)

參數(shù)μ、σ的最大似然估計值

計算分歧度Dn

計算臨界值λ

可知

故認為 H0成立。因此,隨機線元落入“真實值”緩沖區(qū)內(nèi)的比例服從高斯正態(tài)分布的誤差函數(shù)。

四、結(jié)果分析

本文通過計算機仿真,驗證了隨機線元落入緩沖區(qū)內(nèi)的比例與正態(tài)分布有著密切的聯(lián)系即其比例符合正態(tài)分布的誤差函數(shù),從體系上完善了 Epsilon帶的應(yīng)用。但文章不足之處在于:①模擬分析是在假設(shè)線元端點分布獨立的情況下研究的,可以推廣到誤差相關(guān)的一般情形;②研究對象主要是線元,樣本量較小,可以推廣至折線、曲線等更加一般的情況,這是下一步工作的重點。

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Research on Probability D istribution Function of Random L ine within the Buffer Zone

M IAO Zelang,FENG Yongxing,ZHANG Shubi,ZHANGQiuzhao

0494-0911(2011)02-0029-02

P208

B

2010-05-07

苗則朗(1988—),男,安徽碭山人,博士生,主要研究方向為地理信息系統(tǒng)算法及遙感圖像處理及模式識別。