基于線性變換的多項(xiàng)式模型*

尹 智 王解先 許才軍

(1)武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，武漢 430079 2)同濟(jì)大學(xué)測(cè)量與國(guó)土信息工程系，上海200092)

基于線性變換的多項(xiàng)式模型*

尹 智1)王解先2)許才軍1)

(1)武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，武漢 430079 2)同濟(jì)大學(xué)測(cè)量與國(guó)土信息工程系，上海200092)

通過(guò)比較基于線性變換的多項(xiàng)式模型和傳統(tǒng)純量多項(xiàng)式模型的項(xiàng)數(shù)、模型參數(shù)、模型運(yùn)算性質(zhì)以及模型所能表示對(duì)象的集合，并進(jìn)行算例分析發(fā)現(xiàn)，基于線性變換的多項(xiàng)式模型形式更加簡(jiǎn)潔，模型參數(shù)具有直觀的幾何意義和良好的運(yùn)算性質(zhì)，更適合表達(dá)多維高次對(duì)象，在工業(yè)測(cè)量領(lǐng)域的應(yīng)用中更容易確定必要的擬合參數(shù)，整體上更具有優(yōu)越性。

線性變換;多項(xiàng)式模型;純量多項(xiàng)式模型;仿射對(duì)象;正射對(duì)象

1 引言

傳統(tǒng)的純量多項(xiàng)式模型是用完全展開(kāi)的多項(xiàng)式方程來(lái)表示數(shù)學(xué)對(duì)象的模型，它可以應(yīng)用于各學(xué)科［1-3］。

雖然這種模型方便易用，但在很多情況下仍有諸多不便，比如在描述多維高次對(duì)象時(shí)，由于純量多項(xiàng)式模型的項(xiàng)數(shù)非常多而影響運(yùn)算的簡(jiǎn)便性，這時(shí)人們通常就會(huì)舍去大量的復(fù)雜項(xiàng)而保留一些簡(jiǎn)單項(xiàng)進(jìn)行研究，致使模型本身失去完整性。另外，在描述多維高次對(duì)象時(shí)，純量多項(xiàng)式模型的各個(gè)參數(shù)之間通常具有相關(guān)性，沒(méi)有直觀的意義，尤其在工業(yè)測(cè)量領(lǐng)域難以確定模型必要的擬合參數(shù)，這也是人們不常使用復(fù)雜的多維高次純量多項(xiàng)式模型的原因。

鑒于純量多項(xiàng)式模型的不足，本文將推導(dǎo)基于線性變換的多項(xiàng)式模型，并分析和研究該模型的各種性質(zhì)。

2 多項(xiàng)式模型的分類和線性變換

多項(xiàng)式模型的分類方法有多種，根據(jù)解析式形式，可總結(jié)為多項(xiàng)式元數(shù)分類法、多項(xiàng)式次數(shù)分類法和特征根符號(hào)分類法。

多項(xiàng)式元數(shù)分類法和多項(xiàng)式次數(shù)分類法分別是根據(jù)多項(xiàng)式中出現(xiàn)的元數(shù)和各元的最高次數(shù)對(duì)多項(xiàng)式模型進(jìn)行分類的方法。

多項(xiàng)式特征根符號(hào)分類法根據(jù)多項(xiàng)式的特征根符號(hào)的組合方式對(duì)多項(xiàng)式模型進(jìn)行分類。此方法建立在前兩種分類方法基礎(chǔ)上，即多項(xiàng)式模型經(jīng)過(guò)元數(shù)分類和次數(shù)分類以后，利用特征根符號(hào)的組合方式進(jìn)一步分類。文獻(xiàn)［4］在擬合三元二次曲面(空間二次曲面)時(shí)采用以特征根為參數(shù)的擬合方法，在擬合時(shí)特征根的可能出現(xiàn)形式有3種：零特征根、正特征根和負(fù)特征根。筆者認(rèn)為，可以根據(jù)這些特征根符號(hào)的組合方式對(duì)多項(xiàng)式模型分類。比如，在不含交叉項(xiàng)的多項(xiàng)式模型中，x2-y2=2和-x2+ 4y2=1的特征值(x2項(xiàng)的符號(hào)和y2項(xiàng)的符號(hào))都是一正一負(fù)，屬于同一類多項(xiàng)式模型對(duì)象。

由3種分類方法可知，圓和橢圓都是二元二次曲線，且它們的特征根符號(hào)組合方式也相同，所以可以將圓和橢圓歸于同一類對(duì)象。以下將從線性變換的角度研究單位圓至任意橢圓或圓的線性變換過(guò)程。

通常，基本的線性變換形式有：伸縮變換、旋轉(zhuǎn)變換和平移變換。單位圓可以通過(guò)線性變換得到任意橢圓或圓，變換的各個(gè)階段見(jiàn)圖1至圖4，不同階段的橫軸和縱軸采用不同的字母表示，坐標(biāo)分別記為U=(u v)T、X'=(x'y')T、X″=(x″y″)T和X =(x y)T。

圖1中，單位圓的解析式為

式(1)也可表示為

1)軸向伸縮變換

將圖1中的圓在u軸方向收縮l1倍，在v軸方向收縮l2倍，變?yōu)閳D2中的橢圓，該變換相當(dāng)于用l1X'替換式(2)中第一項(xiàng)的U，用l2X'替換式(2)中第二項(xiàng)的U，多項(xiàng)式模型的解析式變?yōu)?/p>

2)旋轉(zhuǎn)變換

將圖2中的橢圓長(zhǎng)軸和短軸分別以原點(diǎn)為中心做旋轉(zhuǎn)變換，以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)方向?yàn)檎?，旋轉(zhuǎn)角度分別為α1和α2。如果α1≠α2，得到原圖形的仿射圖形;如果α1=α2，得到原圖形的正射圖形。在本例中，令α1=α2，變?yōu)閳D3中的橢圓，該變換相當(dāng)于用R1X″和R2X″分別替換式(3)中第一項(xiàng)的X'和第二項(xiàng)中的X'，多項(xiàng)式模型的解析式變?yōu)?/p>

式中：

圖1 標(biāo)準(zhǔn)圖形(單位圓)Fig.1 Standard shape(unit circle)

圖2 伸縮變換后的圖形(橢圓)Fig.2 Shape after stretching and drawing(ellipsoid)

3)平移變換

將圖3中的橢圓以橢圓中心為基點(diǎn)平移至新的位置，平移向量為X0=(x0y0)T，變?yōu)閳D4中的橢圓，該變換相當(dāng)于用X-X0替換式(4)中的X″，多項(xiàng)式模型的解析式變?yōu)?/p>

至此，式(5)便可以表示平面里的任意一個(gè)橢圓或圓。

圖4 平移變換后的圖形(橢圓)Fig.4 Shape after translation(ellipsoid)

3 基于線性變換的多項(xiàng)式模型

設(shè)多項(xiàng)式模型的元數(shù)為n;多項(xiàng)式模型的次數(shù)向量為k=(k1，k2，…，ki，…，kn)，ki是第i項(xiàng)的次數(shù)，max(ki)決定多項(xiàng)式模型的次數(shù);多項(xiàng)式的符號(hào)向量為δ=(δ1，δ2，…，δi，…，δn)，δi是第i項(xiàng)的符號(hào)，可以取值+1、-1或者0。與上述推導(dǎo)類似，其他類的對(duì)象也存在各自類的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)象和一般對(duì)象。其中，標(biāo)準(zhǔn)對(duì)象的多項(xiàng)式模型為

式(6)展開(kāi)后可以寫(xiě)為：

標(biāo)準(zhǔn)對(duì)象經(jīng)過(guò)軸向伸縮變換、旋轉(zhuǎn)變換和平移變換可以得到該類對(duì)象的一般對(duì)象，即可得到本文介紹的基于線性變換的多項(xiàng)式模型：

參數(shù)n、k和δ決定多項(xiàng)式模型的類別，可稱之為分類參數(shù);參數(shù)l、A和X0決定多項(xiàng)式模型的線性變換過(guò)程，可稱之為變換參數(shù)。

4 模型分析

4.1 模型項(xiàng)數(shù)的比較

純量多項(xiàng)式模型在表示較少元數(shù)和較低次數(shù)的對(duì)象時(shí)使用非常方便，但是隨著表達(dá)對(duì)象的元數(shù)和次數(shù)增長(zhǎng)，其項(xiàng)數(shù)的增加速度非常快。如表1，對(duì)于三元三次多項(xiàng)式模型，基于線性變換的多項(xiàng)式模型只有4項(xiàng)，而純量多項(xiàng)式模型已經(jīng)達(dá)到20項(xiàng)。限于篇幅，本文沒(méi)有列出更多的多維高次多項(xiàng)式模型的實(shí)例，但可以驗(yàn)證，隨著多項(xiàng)式模型的次數(shù)和元數(shù)的增加，純量多項(xiàng)式模型的項(xiàng)數(shù)增加速度迅速，這在實(shí)際應(yīng)用中造成了極大的不便。

基于線性變換的多項(xiàng)式模型中，每一項(xiàng)均包含矩陣，其項(xiàng)數(shù)始終只比模型的元數(shù)多一項(xiàng)，模型解析式十分簡(jiǎn)潔，使用該模型表達(dá)多維高次的對(duì)象時(shí)仍然非常方便。

4.2 模型參數(shù)和運(yùn)算性質(zhì)的比較

以表1中二元二次多項(xiàng)式對(duì)象為例，其純量多項(xiàng)式模型為：

表1 兩種多項(xiàng)式模型解析式的項(xiàng)數(shù)比較Tab.1 Comparison between the number of polynomial model items of the two model

相應(yīng)地，其基于線性變換的多項(xiàng)式模型為：

通過(guò)純量多項(xiàng)式模型難以辨別該對(duì)象的幾何性質(zhì);然而，通過(guò)基于線性變換的多項(xiàng)式模型，則容易根據(jù)各個(gè)參數(shù)的數(shù)值和符號(hào)辨別該對(duì)象的幾何性質(zhì)。比如，由式(10)可以判斷，該對(duì)象是由標(biāo)準(zhǔn)雙曲線x2-y2=1在x軸向伸長(zhǎng)2倍，在y軸向伸長(zhǎng)3倍，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π/6，x軸正向平移1個(gè)單位，y軸正向平移2個(gè)單位后形成的雙曲線。

分析說(shuō)明，基于線性變換的多項(xiàng)式模型參數(shù)具有明顯的幾何意義且互不相關(guān)。

另外，在工業(yè)測(cè)量擬合領(lǐng)域中，需要對(duì)多項(xiàng)式模型的參數(shù)求導(dǎo)并做相應(yīng)計(jì)算［4］，所以多項(xiàng)式模型運(yùn)算性質(zhì)的方便與否對(duì)于模型的實(shí)際使用影響很大。

設(shè)橢圓的基于線性變換的多項(xiàng)式模型為：

對(duì)各個(gè)參數(shù)分別求導(dǎo)，結(jié)果為：

可見(jiàn)，基于線性變換的多項(xiàng)式模型求導(dǎo)運(yùn)算較為方便，其參數(shù)具有明顯的幾何意義且互不相關(guān)，對(duì)參數(shù)求導(dǎo)也較為方便，因此，該模型比純量多項(xiàng)式模型更適合應(yīng)用于擬合大型幾何形體的工業(yè)測(cè)量領(lǐng)域。

4.3 模型表示對(duì)象集合的比較

本文模型既能表達(dá)正射圖形，也能表達(dá)仿射圖形。如圖5，圖形Ⅰ(圓)是基于線性變換的多項(xiàng)式模型，解析式為(11)，圖形Ⅱ(橢圓)是基于線性變換的多項(xiàng)式模型解析式為(12)。其中，橢圓是圓的仿射圖形。

圖5 用基于線性變換多項(xiàng)式表達(dá)正射對(duì)象和仿射對(duì)象(單位：m)Fig.5 Ortho object and affine object expressed by polynomial model based on linear transformation(unit：m)

式(11)中x軸和y軸的旋轉(zhuǎn)角都為π/6;式(12)中x軸的旋轉(zhuǎn)角為π/3，y軸的旋轉(zhuǎn)角為π/6。該例說(shuō)明，如果兩個(gè)平面坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換角不同，則表達(dá)的是仿射對(duì)象，否則是正射對(duì)象。

同理，在基于線性變換的多項(xiàng)式模型(8)中，Ri是對(duì)第i個(gè)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換的矩陣。如果線性變換過(guò)程中各個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的角度不同，則模型表達(dá)的是仿射對(duì)象;否則，表達(dá)的是正射對(duì)象。這說(shuō)明基于線性變換的多項(xiàng)式模型與純量多項(xiàng)式模型表達(dá)的對(duì)象集合一致，都可以表達(dá)仿射對(duì)象，若對(duì)模型進(jìn)行一定條件的約束則可以表達(dá)正射對(duì)象。

另外，如果將基于線性變換的多項(xiàng)式模型中的矩陣展開(kāi)，則基于線性變換的多項(xiàng)式模型解析式可以轉(zhuǎn)換為純量多項(xiàng)式模型的解析式。矩陣展開(kāi)的過(guò)程是可逆的，這也說(shuō)明基于線性變換的多項(xiàng)式模型和純量多項(xiàng)式模型的等價(jià)性，兩者表示的對(duì)象集合相同。

5 算例

采用基于線性變換的多項(xiàng)式模型對(duì)文獻(xiàn)［4］中圓的模擬觀測(cè)數(shù)據(jù)分別進(jìn)行擬合，與原文獻(xiàn)的擬合效果進(jìn)行比較，分析多項(xiàng)式模型在工業(yè)測(cè)量擬合中的應(yīng)用價(jià)值。

擬合流程圖如圖6所示，兩種模型擬合得到的結(jié)果如表2所示。

圖6 兩種模型的擬合流程圖Fig.6 Flowchart of simulation by the two models

表2 模擬觀測(cè)值和擬合結(jié)果比較(單位：dm)Tab.2 Simulated observed values and comparison between the fitting results(unit：dm)

比較結(jié)果可以看出，兩種模型的擬合結(jié)果一致。然而，基于線性變換多項(xiàng)式模型在確定必要參數(shù)方面更加方便。如圖6，在擬合流程的第②步，對(duì)于純量多項(xiàng)式模型，需要解析幾何的相關(guān)理論來(lái)輔助判斷參數(shù)之間的相關(guān)性，進(jìn)而確定必要參數(shù)，整個(gè)過(guò)程可能需要大量的公式推導(dǎo)，尤其對(duì)于少見(jiàn)的高次幾何形體，解析推導(dǎo)過(guò)程更加復(fù)雜;對(duì)于基于線性變換的多項(xiàng)式模型，則可以方便地根據(jù)擬合目標(biāo)對(duì)象的先驗(yàn)信息固定模型中的一些參數(shù)，從而高效地消除參數(shù)之間的相關(guān)性，獲得必要的參數(shù)和化簡(jiǎn)多項(xiàng)式模型。本文采用簡(jiǎn)單的二維平面圖形(圓)來(lái)說(shuō)明該模型確定必要參數(shù)的方便性，若推廣到三維高次幾何形體的擬合情況，該優(yōu)點(diǎn)更加明顯。

6 結(jié)論

1)基于線性變換的多項(xiàng)式模型的參數(shù)具有明顯的幾何意義且互相獨(dú)立，對(duì)參數(shù)求導(dǎo)方便，在參數(shù)性質(zhì)和運(yùn)算性質(zhì)方面優(yōu)于純量多項(xiàng)式模型;

2)表示多維高次對(duì)象時(shí)，該模型的項(xiàng)數(shù)相比純量多項(xiàng)式模型少很多，書(shū)寫(xiě)形式更加簡(jiǎn)潔;

3)基于線性變換的多項(xiàng)式模型所能表示的對(duì)象集合與純量多項(xiàng)式模型的保持一致;

4)應(yīng)用于工業(yè)測(cè)量擬合時(shí)，基于線性變換的多項(xiàng)式模型更容易通過(guò)擬合目標(biāo)對(duì)象的先驗(yàn)信息(如幾何對(duì)稱性)確定擬合的必要參數(shù)。

1 王解先.工業(yè)測(cè)量中一種二次曲面的擬合方法［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(信息科學(xué)版)，2007，32(1)：47-50.(Wang Jiexian.A method for fitting of conicoid in industrial measurement［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan U-niversity，2007，32(1)：47-50)

2 張震宇.基于成像模型的星載SAR影像幾何糾正［D］.同濟(jì)大學(xué)，2009.(Zhang Zhenyu.Geometric rectification of satellite SAR image based on imaging model［D］.Tongji University，2009)

3 許偉志.二元散亂數(shù)據(jù)多項(xiàng)式自然樣條擬合及其應(yīng)用［D］.中山大學(xué)，2010.(Xu Weizhi.Bivariate polynomial nature splines fitting for scattered data and its applications［D］.Sun Yat-Sen University，2010)

4 王解先，季凱敏.工業(yè)測(cè)量擬合［M］.北京：測(cè)繪出版社，2007.(Wang Jiexian and Ji Kaimin.Industrial surveying fitting［M］.Beijing：Surveying and Mapping Press，2007)

5 朱雷鳴，等.直角坐標(biāo)系的歐拉旋轉(zhuǎn)變換及動(dòng)力學(xué)方程［J］.海洋測(cè)繪，2010，30(3)：20-22.(Zhu Leiming，et al.The Euler’s rotation and dynamic equation of rectangular coordinate system［J］.Hydrographic Surveying and Charting，2010，30(3)：20-22)

POLYNOMIAL MODEL BASED ON LINEAR TRANSFORMATION

Yin Zhi1)，Wang Jiexian2)and Xu Caijun1)

(1)School of Geodesy and Geomatics，Wuhan University，Wuhan 430079 2)Department of Surveying and Geo-informatics，Tongji University，Shanghai200092)

After summarizing the classification methods of polynomial model，the linear transformation from a unit circle to any ellipse or circle is studied，thus the polynomial model based on linear transformation is derived.By comparing the polynomial model based on linear transformation with the traditional scalar polynomial model on the number of items，the model parameters，calculation properties and the collection of objects that can be represented by model，as well as giving an analytical example about the plane circle fitting，it is found that the new model has a more compact form，its parameters have perceptual geometric meaning and good operational properties，it is more suitable for the expression of the higher-dimensional and higher-degree polynomial object.Particularly it is more convenient to obtain the necessary parameters in industrial surveying field.On the whole，the polynomial model based on linear transformation has more advantages.

linear transformation;polynomial model;scalar polynomial model;ortho object;affine object

1671-5942(2011)05-0091-06

2011-03-01

國(guó)家自然科學(xué)基金(40874003)

尹智：男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榇蟮販y(cè)量與測(cè)量工程.E-mail：yinzhi1221@sina.com.cn

P207

A