混沌時(shí)間序列及MATLAB仿真實(shí)現(xiàn)

史 婕，吳 堅(jiān)，朱卉喬

（1.安徽農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息與計(jì)算機(jī)學(xué)院，安徽 合肥230036；2.安徽農(nóng)業(yè)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)技術(shù)學(xué)院，安徽 合肥230036；3.中國(guó)科學(xué)院 合肥物質(zhì)研究院，安徽 合肥 230036）

混沌時(shí)間序列及MATLAB仿真實(shí)現(xiàn)

史 婕1，吳 堅(jiān)2，朱卉喬3

（1.安徽農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息與計(jì)算機(jī)學(xué)院，安徽 合肥230036；2.安徽農(nóng)業(yè)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)技術(shù)學(xué)院，安徽 合肥230036；3.中國(guó)科學(xué)院 合肥物質(zhì)研究院，安徽 合肥 230036）

在非線性系統(tǒng)中，存在著一種非常特殊的系統(tǒng)，即混沌系統(tǒng)，是一種介于確定關(guān)系和隨機(jī)關(guān)系之間的狀態(tài)。文章首先闡述了混沌的基本概念，然后對(duì)嵌入維數(shù)m和延遲時(shí)間τ這兩個(gè)參數(shù)的選取方法做了簡(jiǎn)要介紹；列舉了幾個(gè)典型的混沌模型，并運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)其進(jìn)行仿真實(shí)現(xiàn)。

混沌；相空間重構(gòu)；MATLAB仿真

1 引言

近年來，人們?cè)絹碓疥P(guān)注非線性系統(tǒng)，因?yàn)榭陀^世界是動(dòng)態(tài)且復(fù)雜的，它的本質(zhì)是非線性的?；煦缋碚?，是一種非線性的理論，混沌時(shí)間序列分析已逐漸成為科學(xué)家們研究非線性系統(tǒng)的重點(diǎn)之一?；煦绗F(xiàn)象，它是介于確定與隨機(jī)關(guān)系之間，是客觀存在于自然界當(dāng)中的一種重要的形式。混沌現(xiàn)象的一個(gè)很大的特點(diǎn)就是對(duì)初始條件非常敏感，小小的一個(gè)變化都可能會(huì)被放大，從而產(chǎn)生無法估計(jì)的結(jié)果，所以混沌理論不可以應(yīng)用于長(zhǎng)期預(yù)測(cè)中；但是混沌和無法控制的、毫無規(guī)則的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)是不一樣的，它不是純粹的無序，雖然軌跡發(fā)散，但是卻無法逃離奇異吸引子的約束，吸引子的軌線永遠(yuǎn)是在有限區(qū)域內(nèi)具有無限長(zhǎng)的長(zhǎng)度，所以，用它做短期預(yù)測(cè)會(huì)比運(yùn)用傳統(tǒng)的線性模型得到的預(yù)測(cè)結(jié)果要更為精確。

2 混沌系統(tǒng)

“混沌”（chaos），從字面上看是混沌無序的意思，然而它本質(zhì)上其描述的卻是一種表面上看好像沒有規(guī)則的非周期的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，但卻又對(duì)初值非常敏感，具有無窮自相似結(jié)構(gòu)。正式因?yàn)榛煦缦到y(tǒng)具有很強(qiáng)的復(fù)雜性和奇異性，科學(xué)界并沒有給出“混沌”一個(gè)公認(rèn)的、普遍的、確切的定義。Li.Yorke定義和Devaney定義是關(guān)于混沌的兩個(gè)比較有代表性的定義。

2.1 混沌的定義

2.1.1 Li.Yorke定義

1975年，馬里蘭大學(xué)的數(shù)學(xué)家Yorke與他的學(xué)生——華人李天巖發(fā)表的著名論文 《周期3意味著混沌》［1］從區(qū)間映射的角度給出了混沌的第一個(gè)數(shù)學(xué)定義，這也是第一次賦予“混沌”以精辟而權(quán)威的科學(xué)意義，被稱為L(zhǎng)i.Yorke定義（李天巖.約克定義）［2］：

考慮一個(gè)把區(qū)間［a，b］映射為自身的、連續(xù)的、單參數(shù)映射f，其點(diǎn)映射形式為：xn＋1＝f（xn，λ），xn∈［a，b］，只要滿足以下三個(gè)條件，映射f就被稱為是混沌的：

（1）f的周期點(diǎn)的周期無上界，即該映射存在一切周期的周期點(diǎn)；

（2）存在不可數(shù)的子集S?［a，b］，S不含周期點(diǎn)，并且滿足：

其中：fn（x）＝f（fn－1（x））＝f（f…（f（x）））。

2.1.2 Devaney的混沌定義

在拓?fù)湟饬x下，混沌可定義為：

設(shè)V是一度量空間，映射f：V→V，該映射f在V上是混沌的，必須滿足以下條件。

（1）對(duì)初始值的敏感性。存在δ＞0，對(duì)任意ε＜0和任意的x∈V，在x的I鄰域內(nèi)存在y和自然數(shù)n，使得

（2）拓?fù)鋫鬟f性。對(duì)任意對(duì)開集X，Y，存在k＞0，

（3）在V中映射f的周期點(diǎn)集稠密。

2.2 混沌時(shí)間序列

時(shí)間序列指的是客觀存在的一組變量，一組以時(shí)間先后順序排列并且每?jī)蓚€(gè)數(shù)值間的時(shí)間間隔相同的數(shù)值?；煦鐣r(shí)間序列預(yù)測(cè)，是運(yùn)用利去以及現(xiàn)在的觀測(cè)數(shù)據(jù)，建立混沌預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)該組具有混沌特性的時(shí)間序列的未來?；煦鐣r(shí)間序列預(yù)測(cè)主要分為相空間重構(gòu)、混沌判別和建模預(yù)測(cè)三個(gè)步驟［3］，如圖1所示。

圖1 混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)的一般步驟

2.3 相空間重構(gòu)

相空間重構(gòu)［4］這一概念，是Packard等人在20世紀(jì)80年代提出的，它是混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)最根本也是最主要的內(nèi)容。相空間重構(gòu)也叫延遲坐標(biāo)狀態(tài)空間重構(gòu)法，是指把一個(gè)給定的時(shí)間序列擴(kuò)展到多維空間中，從而能夠充分的顯示該時(shí)間序列中蘊(yùn)含的所有信息。Takens提出了著名的Takens嵌入定理［5，，從數(shù)學(xué)角度給出了證明，他認(rèn)為系統(tǒng)中的每一個(gè)分量，它的演化都是由與其相互作用的其他分量決定。對(duì)于時(shí)間序列｛x1，x2，x3，…xn｝，如果能恰當(dāng)?shù)倪x取嵌入維數(shù)m和延遲時(shí)間τ，就可以重構(gòu)出一個(gè)等價(jià)的相空間：

（其中N＝n－（m－1）＊τ為向量序列的長(zhǎng)度）。

可見，相空間重構(gòu)是非常重要的，重構(gòu)的相空間是否恰當(dāng)，直接決定著是否完整確切地展示原有混沌系統(tǒng)的所有特征和規(guī)律，這也是預(yù)測(cè)是否準(zhǔn)確的根本。然而，從上式可以看出，相空間重構(gòu)的是否恰當(dāng)僅與兩個(gè)參數(shù)相關(guān)，即嵌入維數(shù)m和延遲時(shí)間τ。

2.4 嵌入維數(shù)m的選取

為了確保預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性，必須選擇適合的嵌入維數(shù)m，不能過大也不能過小。若選取的m太小，吸引子會(huì)出現(xiàn)自交，這樣就會(huì)出現(xiàn)假鄰近點(diǎn)；如果m過大，又會(huì)使相點(diǎn)間距離太遠(yuǎn)，很容易過濾掉真正的鄰近點(diǎn)，導(dǎo)致預(yù)測(cè)誤差增大。嵌入維數(shù)的確定方法，一般有以下幾種：

2.4.1 飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)法（G－P算法）［6］

飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)法，也成G－P算法，是1983年由美國(guó)數(shù)學(xué)家Grassberger（格拉斯伯格）和Procaccia（普洛克西婭）共同提出的，它的基本思想：計(jì)算半徑為r的“篩孔”當(dāng)中通過的所有相點(diǎn)的對(duì)數(shù)；但是，該方法有一定的局限性，一般用于相點(diǎn)分布較為密集的情況。

2.4.2 偽鄰近點(diǎn)法

1992年，美國(guó)科學(xué)家凱勒（Kennel）提出了比較成熟的方法——偽鄰近點(diǎn)法。首先先介紹什么是偽最鄰近點(diǎn)，它是指，在嵌入空間維數(shù)較低時(shí)，造成空間軌道不能充分的展開，從而導(dǎo)致的某些本來相距很遠(yuǎn)現(xiàn)在卻折疊在一起的相點(diǎn)。所以求最佳嵌入空間維數(shù)的根本就是消滅偽最鄰近點(diǎn)。相空間的軌道會(huì)隨著嵌入空間維數(shù)的慢慢增大而逐漸展開，這樣折疊在一起的相點(diǎn)也會(huì)自然而然的分開，這些偽最鄰近點(diǎn)便不再是最鄰近點(diǎn)。偽鄰近點(diǎn)法一般比較適用于相點(diǎn)分布比較稀疏的情況，此時(shí)得出的結(jié)果更加可靠。

2.4.3 Cao氏方法［7］

1997年，華裔科學(xué)家曹良月在偽鄰近點(diǎn)法基礎(chǔ)上提出了Cao氏方法，該方法是一種比較成熟的方法，具有適用于小數(shù)據(jù)量等諸多優(yōu)良性質(zhì)。其基本思想是：當(dāng)嵌入維數(shù)的增大變化不再影響目測(cè)標(biāo)量E1的變化時(shí)，最佳嵌入維數(shù)就是此時(shí)的m。但是，E1具有波動(dòng)性，因此，在實(shí)際中不同的人往往會(huì)得出不同的結(jié)果。

2.4.4 C－C方法

經(jīng)過無數(shù)次實(shí)驗(yàn)，科學(xué)家們逐漸發(fā)現(xiàn)重構(gòu)的相空間質(zhì)是否能展示原動(dòng)力系統(tǒng)的特征，不再只是選取延遲時(shí)間τ和嵌入維數(shù)m的單獨(dú)選取，而更重要的是如何確定與τ和m都密切相關(guān)的嵌入窗寬τw＝（m－1）τ。于是，科學(xué)家們致力于與研究一種能夠同時(shí)計(jì)算嵌入維數(shù)和延遲時(shí)間的方法，1999年，C－C方法誕生了，它是由美國(guó)學(xué)者Kim、Eykholt和Salas共同提出的。該方法又有獨(dú)特的特點(diǎn)，它通過應(yīng)用關(guān)聯(lián)積分，可以在減少互信息量法的計(jì)算量的同時(shí)保持時(shí)間序列的非線性特征。

2.5 延遲時(shí)間τ選取

Takens嵌入定理認(rèn)為，當(dāng)時(shí)間序列無限長(zhǎng)、且不含有噪聲時(shí)，延遲時(shí)間τ是可以選取任意值的，但在實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)中，序列不可能無限長(zhǎng)，也不可能無噪聲。所以，實(shí)際應(yīng)用中，τ的選取非常關(guān)鍵。如果選取的延遲τ太小，就不能充分顯示系統(tǒng)的動(dòng)力特征，因?yàn)檫^小的τ會(huì)使重構(gòu)的相空間具有較強(qiáng)的相關(guān)性，造成相空間的擠壓；延遲τ太大，會(huì)大大的減小t和t＋τ這兩個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)的相關(guān)性甚至?xí)兊煤敛幌嚓P(guān)，破壞了原系統(tǒng)各變量之間的內(nèi)在關(guān)系，使得重構(gòu)的相空間不再含有原動(dòng)力系統(tǒng)的信息。

延遲時(shí)間τ的確定主要基于以下兩個(gè)準(zhǔn)則：第一，要使得相空間的軌跡要盡可能擴(kuò)展開來同時(shí)，保證不出現(xiàn)重疊的情況；第二，降低序列的相關(guān)性的同時(shí)要保證不丟失原動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的信息。

目前求時(shí)間延遲τ的方法主要有：孩經(jīng)典的依靠時(shí)間序列線性相關(guān)性的自相關(guān)法［8］，它的基本思想是：提取時(shí)間序列間的線性相關(guān)性；但是它只能用于線性相關(guān)的時(shí)間序列并且很難推廣的高維空間?！?989年，F(xiàn)raser（弗雷澤）提出了可用于非線性問題和大數(shù)據(jù)組的互信息量法［9］，克服了自相關(guān)法的缺陷；該方法的基本思想是：從事件bj在B中發(fā)生的概率從而得到ai在集合A中發(fā)生概率，再通過計(jì)算互信息函數(shù)第一極小值來確定延遲時(shí)間；虎中國(guó)學(xué)者林嘉宇、王躍平、黃芝平等于1999年提出的復(fù)自相關(guān)法，它在延續(xù)平均位移法在相空間重構(gòu)中的幾何意義的基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)?！币约吧衔奶岬侥軌蛲瑫r(shí)估計(jì)出嵌入維數(shù)和延遲時(shí)間的C－C方法。

3 混沌系統(tǒng)的仿真研究

3.1 Lorenz方程

1963年，美國(guó)著名的氣象學(xué)家 Lorenz（洛倫茲）［10］在研究大氣對(duì)流現(xiàn)象時(shí)，發(fā)現(xiàn)確定性方程中出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。Lorenz方程的表達(dá)式如下所示：

設(shè)參數(shù)δ＝10，b＝4，r＝28，取前10000個(gè)點(diǎn)，利用MATLAB對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，得到圖2；圖3是它在xy，xz，yz平面上的投影，圖4是它的關(guān)于變量x，y，z的時(shí)間序列。

圖2 Lorenz方程

圖3 Lorenz在xy，xz，yz平面上的投影

圖4 Lorenz X，Y，Z相時(shí)間序列

3.2 Logistic映射

19世紀(jì)中葉，荷蘭生物學(xué)數(shù)學(xué)家Verhulst提出了Logistic映射，方程為xn＋1＝μ·xn·（1－xn）。

取初值x0＝0.1，迭代步數(shù)為2000步，參數(shù)μ從2變化到4，隨著μ的變化，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)形態(tài)不斷變化，最后出現(xiàn)混沌狀態(tài)。圖5是用MATLAB對(duì)其進(jìn)行仿真得到的Logistic映射相圖。

圖5 Logistic映射相圖

3.3 Rossler方程

1976年，Rossler在研究具有中間產(chǎn)物的化學(xué)反應(yīng)時(shí)，通過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變化［11］，給出了此方程組，是非線性動(dòng)力學(xué)中非常著名的方程：

式中：a，b，c為參數(shù)；x1，x2，x3為控制變量。

選取系統(tǒng)參數(shù)a＝0.2，b＝0.2，c＝5.7時(shí)，Rossler系統(tǒng)呈混沌狀態(tài)，用MATLAB對(duì)其進(jìn)行仿真得到此系統(tǒng)的吸引子相空間圖和時(shí)間響應(yīng)圖，如圖6。

3.4 Chen系統(tǒng)

典型的混沌系統(tǒng)Chen系統(tǒng)，方程描述為

式中：a，b，c為體統(tǒng)參數(shù)。

當(dāng)取參數(shù)a＝35，b＝3，c＝28時(shí)，Chen系統(tǒng)呈混沌狀態(tài)。圖7是仿真Chen系統(tǒng)的吸引子相空間圖以及時(shí)間響應(yīng)圖。

圖6 Rossler系統(tǒng)

圖7 Chen系統(tǒng)

4 結(jié)束語

由于混沌現(xiàn)象是普遍地存在于客觀世界的各個(gè)角落，非線性混沌時(shí)間序列能廣泛用于各個(gè)領(lǐng)域，所以這是一個(gè)擁有著非常好的應(yīng)用前景的研究課題；利用Matlab軟件，通過編寫程序，依次對(duì)Lorenz方程，Logistic映射，Rossler方程和Chen系統(tǒng)四個(gè)典型混沌模型進(jìn)行了仿真，并得到了相應(yīng)的混沌系統(tǒng)的相圖，這對(duì)進(jìn)一步研究混沌理論不僅有較好的參考價(jià)值，而且有著十分重要的意義。

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On Chaos Time Series and its MATLAB Simulation

Shi Jie1，Wu Jian2，Zhu Huiqiao3

（1.School of Information and Computer Science，Anhui Agricultural University，Hefei 230036，China；2.School of Economics and Technology，Anhui Agricultural University，Hefei 230036，China；3.Hefei Institutes of Physical Science，Chinese Academy of Sciences，Hefei 230036，China）

In nonlinear systems，there is a very special system，named the chaos system.First，this article elaborates the basic concept of chaos，then it gives a brief introduction to the selection methods of the two parameters，which are embedding dimension and time delay.Finally，MATLAB is used to do simulations on several typical chaos model.

chaos；phase space reconstruction；MATLAB simulation

TP391.9

A

1673-1794（2011）05-0018-04

史 婕（1987－），女，碩士研究生，研究方向：農(nóng)林信息技術(shù)；吳 堅(jiān)（1954－），男，教授，碩士研究生導(dǎo)師，研究方向：農(nóng)林信息技術(shù)；朱卉喬（1954－），男，碩士，研究方向：計(jì)算機(jī)軟件技術(shù)。

2011-06-16