大學高考數(shù)學成績與高數(shù)成績的弱相關性分析
——基于A大學的個案探討

于 波，夏 焰，張玉坤

（1.德州學院 數(shù)學系，山東 德州253023；2.安徽大學 高教所，安徽 合肥 240039）

大學高考數(shù)學成績與高數(shù)成績的弱相關性分析
——基于A大學的個案探討

于 波1，夏 焰2，張玉坤1

（1.德州學院 數(shù)學系，山東 德州253023；2.安徽大學 高教所，安徽 合肥 240039）

以山東省某綜合型普通本科院校為例，采用實證研究的方法探求高考與大學生學業(yè)成績的Pearson線性相關分析與Copula函數(shù)非線性相關分析，結(jié)果顯示兩者具有較弱的相關性。表明高中數(shù)學教育及高考數(shù)學考試與大學數(shù)學教育及考查有很大不同，研究結(jié)果為我國改革高考制度和中學數(shù)學教育提供了現(xiàn)實依據(jù)。

高考改革；數(shù)學教育；學業(yè)成績；相關系數(shù)；Copula函數(shù)

1 問題提出

截止2010年，我國高等教育毛入學率已達到28%，表明我國已進入高等教育大眾化階段。2011年的高考錄取率全國平均達到75%，源于高考是“一把尺子”衡量所有學生，人們對高考改革的呼聲越來越高，高校自主招生的覆蓋面也一再擴大。2010年頒布的《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010－2020年）》也提出了多元錄取的高考改革方案，為高考改革提出了具體要求和指導原則。

本文以山東省某綜合型普通本科院校（二本）為例，以下簡稱為A校，采用實證研究的方法探求高考與大學生學業(yè)成績的相關關系，為我國高考制度改革提供現(xiàn)實依據(jù)。

A校從2000年開始招收普通本科學生，本科錄取線為山東省本科二批分數(shù)線，在校生規(guī)模接近兩萬，眾所周知該類院校是我國實現(xiàn)高等教育大眾化的主要力量，研究結(jié)果具有普遍意義。研究對象為A校2000至2003級理工科本科畢業(yè)生及在籍學生，隨機抽取其中674名學生，對其入學后的高等數(shù)學考試成績及高考數(shù)學成績進行相關研究。

2 研究方法

本課題采用實證研究方法對學生學業(yè)成績進行追蹤調(diào)查研究。追蹤同一種樣本，研究在不同時刻的動態(tài)變化過程。在數(shù)據(jù)的觀測和收集方面，高考數(shù)學成績由普通高校招生錄取系統(tǒng)獲得，學生的高等數(shù)學成績由A校教務與教學等管理信息系統(tǒng)獲得。在數(shù)據(jù)的分析方面，首先利用社會統(tǒng)計分析軟件SPSS進行相關系數(shù)的檢驗，來分析二者的相關程度。由于Pearson相關系數(shù)僅能度量線性相關關系。因此我們又利用當今在相關性領域分析中比較常用的連接函數(shù)（Copula函數(shù)）來分析高考數(shù)學成績與高等數(shù)學成績之間的關系，并給出二者之間的定量分析。

3 高考數(shù)學成績與高等數(shù)學成績的相關性分析

3.1 采用簡單相關系數(shù)

度量相依關系的工具主要是皮爾遜的相關系數(shù)。這個工具有著方便理解、容易計算等一系列的優(yōu)點，在數(shù)理統(tǒng)計及其應用中起著一個舉足輕重的作用。

3.1.1 相關系數(shù)的特點

相關系數(shù)以數(shù)值的方式很精確地的反應了兩個變量間線性相關的強弱程度。利用相關系數(shù)進行變量間線性關系的分析通常需要完成一下兩個步驟：

第一，計算樣本相關系數(shù) 。

第二，對樣本來自的兩總體是否存在顯著的線性關系進行統(tǒng)計推斷。

（1）提出原假設，即兩總體無顯著的線性關系；

（2）選擇檢驗統(tǒng)計量；

（3）計算檢驗統(tǒng)計量的觀測值和對應的概率P－值；

（4）作出決策。

3.1.2 實例分析

（1）Pearson簡單相關系數(shù)

設X、Y是總體的兩個指標，（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）分別是來自這兩個指標的n組觀察值，則X、Y的相關系數(shù)ρxy記為

首先，利用SPSS軟件的相關分析模塊，得到高考數(shù)學與高數(shù)成績的相關分析結(jié)果，見表1。

表1 高考數(shù)學與高數(shù)成績相關分析結(jié)果

由表1可知：高考數(shù)學成績與高數(shù)成績間的簡單相關系數(shù)為0.049，說明兩者之間存在正的弱相關性。其相關系數(shù)檢驗的概率P值分別為0.205。因此，當顯著性水平為0.05時，應該接受相關系數(shù)檢驗的原假設，認為兩總體是零相關的，但不能確定兩者之間是否存在其他非線形的關系，因此，本文采用Copula函數(shù)，來確定二者之間的關系。

（2）運用Copula函數(shù)做相關性分析

Copula函數(shù)是一個全面度量變量之間相依性的方法，它的出現(xiàn)改變了傳統(tǒng)的用一兩個指標來表示相關結(jié)構的方法，它使用一個完整的、全面的表示變量間的相關性，不僅是相關程度，而是整個相關結(jié)構。由此看來，在不能決定線性相關系數(shù)能否正確度量相關關系的時候，利用Copula理論來分析變量間的相關結(jié)構更為可靠［1］。

第一步，利用邊際分布函數(shù)，將學生的高考數(shù)學成績與高等數(shù)學成績序列（xt，yt）轉(zhuǎn)化為新的序列（ut，vt），利用MATLAB軟件畫出它們的散點圖（圖2），其中ut＝Fx（xt），vt＝Fy（yt），t＝1，…，T，F(xiàn)x（x），F(xiàn)y（y）分別為X，Y的邊際分布函數(shù)；

圖1 高考成績與高數(shù)成績散點圖

圖2 當α＝1.0494時GumbelCopula的674次模擬數(shù)據(jù)的散點圖

根據(jù)散點圖的特征，首先利用Copula函數(shù)的基于經(jīng)驗函數(shù)的BFGS方法估計法得到了與圖1散點圖特征相似的三種Copula函數(shù)中的參數(shù)值（見表2），然后模擬出上述三種Copula函數(shù)的散點圖：Gumbel Copula的模擬散點圖（見圖2）、Frank Copula的模擬散點圖（見圖3）、Clayton Copula的模擬散點圖（見圖4）［5］。

表2 Copula函數(shù)的估計值

圖3 當α＝10－6時Frank Copula的674次模擬數(shù)據(jù)的散點圖

圖4 當α＝0.0989時Clayton Copula的674次模擬數(shù)據(jù)的散點圖

第二步，利用Archimedean Copula的解析法 選擇：把［0，1］10000等分，令t分別等于各等分點，根據(jù)上述公式計算K（t）、＾K（t），t－K（t）、t－＾K（t），分別以t為橫坐標，K（t）、＾K（t），及t－K（t）、t－＾K（t）為縱坐標，利用 MATLAB軟件畫出幾種Copula的t－K（t）圖（見圖5）和它們的分布函數(shù)K（t）圖（見圖6）。通過計算Copula函數(shù) Gumbel、Frank、Clayton的K（t）與＾K（t）的距離：d11＝0.0074，d21＝0.0019，d31＝0.8100，并進一步比較得到Frank的K（t）與＾K（t）的距離較小，因此 Frank是最優(yōu)的 Copula函數(shù)［3］。

圖5 Gumbel、Frank、Clayton的t－K（t）的比較圖

圖6 Gumbel、Frank、Clayton的 K（t）比較圖

第三步，利用Q－Q圖進行評價：利用MATLAB軟件分別作出Gumbel、Frank、Clayton函數(shù)的Q－Q圖，見圖7、圖8、圖9。

圖7 Gumbel函數(shù)的Q－Q圖

圖8 Frank函數(shù)的Q－Q圖

圖9 Clayton函數(shù)的Q－Q圖

通過Q－Q圖比較，我們得到Copula函數(shù)Frank函數(shù)是最適合數(shù)據(jù)的。由Frank Copula函數(shù)的表達式

知，當α→0時，表示隨機變量u，v趨向獨立，而本案例中α＝1.0×10－6，故可以認為高考數(shù)學成績與高數(shù)成績間的相關性非常弱。

4 結(jié)論

基于Pearson簡單相關系數(shù)分析與Copula函數(shù)的分析結(jié)果，可知，該校大學生的高數(shù)成績與高考數(shù)學成績的相關性不大。究其原因，可能與高中數(shù)學教育及高考數(shù)學考試與大學生高等數(shù)學教學及考核的目的、方式不同有關。因為高考是選拔性考試，高中數(shù)學教育注重的是強化學生的應試能力；而大學高等數(shù)學教育的目的培養(yǎng)學生創(chuàng)造性數(shù)學思維能力及運用數(shù)學分析解決問題的能力，注重的是學生能力的培養(yǎng)，且大學高等數(shù)學考試強調(diào)的是學生對數(shù)學知識的運用能力。因此，我們認為應該改革高考數(shù)學考試的方式，發(fā)揮高考“指揮棒”作用，改變中學應試型數(shù)學教育，強調(diào)學生運用知識能力的培養(yǎng)。此外，還應繼續(xù)擴大高校自主招生覆蓋面及采用多種高校錄取方式，在統(tǒng)一高考之外，著重加強學生的知識運用能力的考查。

［1］Sklar.A.Functions de repartition and dimensions et lears marges［J］.Publ.Inst.Statist.univ.Paris，1959，（8）：229－231.

［2］Roger B.Nelsen，Portland，Oregon.An Introduction to Copulas［M］.Springer，New York，1999.

［3］于 波，陳希鎮(zhèn)，杜 江.Copula函數(shù)的選擇方法與應用［J］.數(shù)理統(tǒng)計與管理，2009，（6）.

［4］于 波.Copula函數(shù)模型的選擇［J］.統(tǒng)計與決策，2009（14）.

［5］于 波.一種新的Copula函數(shù)的參數(shù)估計方法［J］.統(tǒng)計與決策，2009（11）.

［6］張楠楠.本科生入學成績與學業(yè)成績的相關性分析［J］.東北農(nóng)業(yè)大學學報（社會科學版），2008，（6）.

Correlation Analysis on Scores between Entrance Exam for Math and Higher Mathematics Test in a Case of A University

Yu Bo1，Xia Yan2，Zhang Yukun1

（1Department of Mathematics，Dezhou university，Dezhou 253023，China；2Institute of Higher Education，Anhui University，Hefei 230039，China）

In a case of general undergraduate university in Shandong Province，the article explores an empirical research to identify academic achievements by ways of Pearson Linear Correlation and Nonlinear Correlation of Copula Function.The result shows that scores＇correlation between Entrance Exam for Math and Higher Mathematics Test is weak.It is convicted that there is a big difference in Math Education between a high school and a university，as well as in goals between Entrance Exam for Math and Higher Mathematics Test.

reform for University Entrance Exam；math education；academic achievement；correlation analysis；Copula Function

G642

A

1673-1794（2011）05-0015-03

于 波（1981－），男，講師，博士研究生，研究方向：統(tǒng)計方法及其應用.

山東省教育科學“十一五”規(guī)劃課題（2008ZK0042）

2011-04-22