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    考慮啟動(dòng)壓力和二次梯度的應(yīng)力敏感油藏穩(wěn)定滲流模型

    2011-11-10 03:34:16王永清楊玲智
    關(guān)鍵詞:壓力梯度滲流滲透率

    張 強(qiáng), 王永清, 楊玲智, 蔣 睿

    ( 西南石油大學(xué) 油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川 成都 610500 )

    0 引言

    近年來,隨著油氣勘探開發(fā)的逐步深入,已經(jīng)把重點(diǎn)逐步轉(zhuǎn)移到低滲透油氣藏.理論研究、室內(nèi)實(shí)驗(yàn)以及生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)表明:低滲透儲(chǔ)層具有啟動(dòng)壓力梯度,即只有生產(chǎn)壓差大于某個(gè)數(shù)值,儲(chǔ)層流體才會(huì)流動(dòng)[1-2];應(yīng)力敏感油藏的存在[3];公式推導(dǎo)時(shí)忽略的二次梯度作用帶來的理論誤差可達(dá)20% 以上[4-6].因此,在滲流中啟動(dòng)壓力梯度、二次梯度項(xiàng)以及應(yīng)力敏感對滲流的影響不應(yīng)該被忽略.然而以往的研究都只考慮這3種因素中的1種或2種對產(chǎn)能的影響,沒有建立綜合的滲流模型.根據(jù)低速非達(dá)西滲流理論,同時(shí)考慮高階梯度項(xiàng)和地層的應(yīng)力敏感因素,筆者推導(dǎo)綜合考慮2種因素的儲(chǔ)層產(chǎn)能評價(jià)公式.

    1 數(shù)學(xué)模型的建立

    假設(shè)均質(zhì)等厚圓形應(yīng)力敏感油藏中心一口井穩(wěn)定生產(chǎn);產(chǎn)層全部打開;滲透率各向同性,隨壓力變化而變化;地層均質(zhì),壓縮系數(shù)和黏度是常值;流體單相微可壓縮;忽略重力和毛管力.

    低滲透油藏低速非達(dá)西滲流在軸對稱時(shí)的滲流方程為

    (1)

    式中:vr為流體滲流速度;K為地層滲透率;μ為原油黏度;p為地層壓力;λ為啟動(dòng)壓力梯度;r為距離井底距離.

    液體的狀態(tài)方程為

    ρ=ρiexp[Cρ(p-pi)],

    (2)

    式中:ρ為液體密度;ρi為原始地層壓力下液體密度;pi為原始地層壓力;Cρ為液體等溫壓縮系數(shù).

    巖心滲透率隨凈應(yīng)力的增加呈指數(shù)遞減規(guī)律[3],可描述為

    K=Kiexp[CK(p-pi)],

    (3)

    式中:Ki為初始滲透率;CK為滲透率模量,定義為

    (4)

    由質(zhì)量守恒原理可得連續(xù)性方程為

    ·(ρvr)=0.

    (5)

    (6)

    對液體狀態(tài)方程式(2)先取對數(shù)再求導(dǎo)可得

    (7)

    對滲透率方程式(3)取對數(shù)再求導(dǎo)可得

    (8)

    聯(lián)立式(1)、式(5-8),可得考慮二次梯度項(xiàng)和啟動(dòng)壓力梯度的非線性滲流控制偏微分方程為

    (9)

    式中:CρK=Cρ+CK.

    令p=lnx/CρK,可得

    (10)

    (11)

    得到線性滲流微分方程為

    (12)

    2 滲流問題的求解

    式(8)中滲流微分方程為二階變系數(shù)齊次微分方程,由文獻(xiàn)[7]可知:變系數(shù)分別為p(r)=-λCρK+1/r,q(r)=-λCρK/r,且當(dāng)R=λCρK時(shí),R2+p(r)R+q(r)≡0,則式(12)有解為

    (13)

    可得滲流微分方程有解為

    (14)

    式中:c1,c2為與邊界條件有關(guān)的常數(shù);Ei為冪積分函數(shù).其壓力分布為

    (15)

    為了確定c1,c2,需要添加內(nèi)外邊界條件,如當(dāng)井底rw處定壓為pw,外邊界re處定壓為pe時(shí),有x|r=rw=exp(CρKpw),x|r=re=exp(CρKpe).可得c1,c2分別為

    (16)

    c2=exp[CρK(pw-λrw)]+c1Ei(-λCρKrw).

    (17)

    3 產(chǎn)量公式的分析

    當(dāng)內(nèi)、外邊界均為定壓邊界時(shí),滲流速度v分布為

    (18)

    根據(jù)達(dá)西定律,可得考慮啟動(dòng)壓力梯度和二次梯度項(xiàng)時(shí)地面原油產(chǎn)量為

    (19)

    式中:q為井底產(chǎn)油量;h為油層厚度;B為原油壓縮因子.

    當(dāng)?shù)貙訛閯傂越橘|(zhì)時(shí),即CK=0時(shí),得考慮二次梯度和啟動(dòng)壓力梯度的產(chǎn)量公式為

    (20)

    如果忽略二次梯度的影響,取Cρ=0,得考慮啟動(dòng)壓力梯度和應(yīng)力敏感油藏的產(chǎn)量公式為

    (21)

    如果忽略二次梯度和地層應(yīng)力敏感的影響,取CρK趨于零,式(16)為求解0/0型的極限,應(yīng)用洛必達(dá)法則可得只考慮啟動(dòng)壓力梯度的產(chǎn)量公式為

    (22)

    如果不考慮啟動(dòng)壓力梯度,對式(18)取λ=0,可得普通直井的產(chǎn)量公式為

    (23)

    比較式(19-23)可知:式(20)、式(21)、式(22)及式(23)是式(19)的特例,即只考慮啟動(dòng)壓力梯度、只考慮二次梯度項(xiàng)、只考慮應(yīng)力敏感因素以及三者均不考慮所得產(chǎn)能公式是文中公式(19)的特例.故式(19)更貼近生產(chǎn)實(shí)際,應(yīng)用范圍更廣.

    4 結(jié)論

    (1)所推導(dǎo)的產(chǎn)量公式綜合考慮啟動(dòng)壓力梯度、二次梯度項(xiàng)以及應(yīng)力敏感的影響,更貼近生產(chǎn)實(shí)際,應(yīng)用范圍廣泛.

    (2)只考慮啟動(dòng)壓力梯度、二次梯度項(xiàng)、應(yīng)力敏感因素或三者均不考慮所得產(chǎn)能公式是文中公式的特例.

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