淺談二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用

◆劉 蒙

(海拉爾第二中學(xué))

淺談二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用

◆劉 蒙

(海拉爾第二中學(xué))

函數(shù)是中學(xué)中最重要的內(nèi)容之一，二次函數(shù)在高中教材中是很重要的一個(gè)內(nèi)容。在初中教材中，對(duì)二次函數(shù)作了較詳細(xì)的研究。由于初中學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，又受其接受能力的限制，這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)多是機(jī)械的，很難從本質(zhì)上加以理解。進(jìn)入高中以后對(duì)二次函數(shù)還需再深入學(xué)習(xí)。

二次函數(shù) 高中階段 應(yīng)用

在初中教材中，對(duì)二次函數(shù)作了較詳細(xì)的研究，由于初中學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，又受其接受能力的限制，這部份內(nèi)容的學(xué)習(xí)多是機(jī)械的，很難從本質(zhì)上加以理解。進(jìn)入高中以后，學(xué)生感覺(jué)函數(shù)變幻莫測(cè)，做起題來(lái)方法很多，很難掌握，尤其是高三復(fù)習(xí)階段，要對(duì)他們的基本概念和基本性質(zhì)(圖象以及單調(diào)性、奇偶性、有界性)靈活應(yīng)用，對(duì)二次函數(shù)還需再深入學(xué)習(xí)。函數(shù)是歷年高考命題的重點(diǎn)，集合、函數(shù)的定義域、值域、圖象、奇偶性、單調(diào)性、周期性、最值、反函數(shù)以及具體函數(shù)的圖象及性質(zhì)在高考試題中屢見(jiàn)不鮮。

集合是近代數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，集合觀點(diǎn)滲透于中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的各個(gè)方面，所以我們應(yīng)弄懂集合的概念，掌握集合元素的性質(zhì)，熟練地進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算。同時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確地理解以集合形式出現(xiàn)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)。

函數(shù)是中學(xué)中最重要的內(nèi)容之一，主要從定義、圖象、性質(zhì)三方面加以研究。在復(fù)習(xí)時(shí)要全面掌握、透徹理解每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。為了提高復(fù)習(xí)質(zhì)量，我們提出下述幾個(gè)問(wèn)題:理解函數(shù)的概念;求函數(shù)的最值是一種重要的題型。要掌握函數(shù)最值的求法，特別注意二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問(wèn)題以及有些問(wèn)題可能隱藏范圍，因此范圍問(wèn)題是二次函數(shù)最值的關(guān)鍵。另外二次分式函數(shù)的最值亦應(yīng)引起注意，它的基本解法是“△”法，當(dāng)然有一部分可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)=ax(a，b＞0)的形式，而后與基本不等式相聯(lián)系，或用函數(shù)的單調(diào)性求解。學(xué)會(huì)解簡(jiǎn)單的函數(shù)方程，認(rèn)真對(duì)待指數(shù)或?qū)?shù)中含參數(shù)問(wèn)題的求解方法，特別注意對(duì)數(shù)的真數(shù)必須“＞0”，注意方程求解時(shí)的等價(jià)性。

一、進(jìn)一步深入理解函數(shù)概念

初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進(jìn)入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點(diǎn)來(lái)闡明函數(shù)，這時(shí)就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來(lái)加以更深認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個(gè)集合A(定義域)到集合B(值域)上的映射f:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素X對(duì)應(yīng)，記為f(x)=ax2+bx+c(a≠0)這里ax2+bx+c表示對(duì)應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí)，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號(hào)后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問(wèn)題:

例1:已知 f(x)=2x2+x+2，求 f(x+1)

這里不能把(x+1)理解為x=x+1時(shí)的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。

通過(guò)這幾個(gè)例題我們應(yīng)該從本質(zhì)上理解二次函數(shù)的定義，它是掌握二次函數(shù)的基礎(chǔ)。

二、二次函數(shù)的單調(diào)性，最值與圖象

對(duì)于含有絕對(duì)值(或分段)函數(shù)，若函數(shù)圖象比較易作出，則利用函數(shù)圖象能較快的求出其值域。

三、二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等知識(shí)的密切結(jié)合

指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)是學(xué)生步入高中后新學(xué)習(xí)的函數(shù)，學(xué)生掌握的不是很好，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中很難達(dá)到靈活應(yīng)用，那么指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)都有哪些聯(lián)系呢?

評(píng)析:例2是一組具有一些綜合性的指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題，問(wèn)題的解答涉及指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)、參數(shù)討論、方程討論等各種基本能力，這也是指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的特點(diǎn)，題型非常廣泛，應(yīng)通過(guò)解題學(xué)習(xí)不斷積累經(jīng)驗(yàn)。

二次函數(shù)，它有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的冪函數(shù)，可以以它為代表來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問(wèn)題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。二次函數(shù)的內(nèi)容涉及很廣，還有很多其他的性質(zhì)如:單調(diào)性、周期性、奇偶性等很多的知識(shí)點(diǎn)值得我們?nèi)ヌ接懷芯浚疚闹粚?duì)定義和值域的求法以及和指數(shù)函數(shù)。對(duì)數(shù)函數(shù)的聯(lián)系做了簡(jiǎn)單的討論，希望各位同仁在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也多關(guān)注這方面知識(shí)，使我們對(duì)它的研究更深入。

［1］李書(shū)恒．河北重點(diǎn)中學(xué)教程高考調(diào)研．河北教育出版社，2007．

［2］任志鴻．志鴻優(yōu)化系列叢書(shū)贏在課堂．北京西苑出版社，2006．

［3］任志鴻．十年高考分類解析與應(yīng)試策略．南方出版社:南海出版公司．