組合KdV方程的雙扭結孤立波及其穩(wěn)定性研究*

石玉仁 張 娟 楊紅娟 段文山

(西北師范大學物理與電子工程學院，蘭州 730070)

(2010年3月30日收到;2010年4月30日收到修改稿)

組合KdV方程的雙扭結孤立波及其穩(wěn)定性研究*

石玉仁?張 娟 楊紅娟 段文山

(西北師范大學物理與電子工程學院，蘭州 730070)

(2010年3月30日收到;2010年4月30日收到修改稿)

利用擴展的雙曲函數(shù)法得到了combined KdV-mKdV(cKdV)方程的幾類精確解，其中一類為具有扭結—反扭結狀結構的雙扭結單孤子解.在不同的極限情況下，該解分別退化為cKdV方程的扭結狀或鐘狀孤波解.理論分析表明，cKdV方程既有傳播型孤立波解，也有非傳播型孤立波解.文中對雙扭結型孤立波解的穩(wěn)定性進行了數(shù)值研究，結果表明，cKdV方程既存在穩(wěn)定的雙扭結型孤立波，也存在不穩(wěn)定的雙扭結型孤立波.

cKdV方程，雙扭結單孤子，穩(wěn)定性

PACS:04.30.Nk，02.90.+p

1.引 言

對非線性演化方程(nonlinear evolution equations，簡稱NEE)的求解是非線性科學的一個重要組成部分.近年來，很多學者提出和發(fā)展了許多新的 0 法，如 齊 次 平 衡 法［1—4］、雙 曲 函 數(shù) 法［5—8］、Jacobi橢圓函數(shù)展開法［9—11］、同倫分析法［12—17］、F-展開法［18—21］、輔助方程法［22—24］、分離變量法［25—27］、Riccati函數(shù)法［28—30］等.這些方法都可以借助計算機代數(shù)系統(tǒng)得以部分甚至完全實現(xiàn)，從而大大提高了工作效率.

1970年，Tappert等在文獻［31］中導出了combined Korteweg-de Vries-mKdV(cKdV)方程

其中α，β，γ為常數(shù)，α與γ表征非線性效應，β表征色散效應.當 α=0時，方程(1)變?yōu)?KdV方程;當γ=0時，方程(1)變?yōu)?mKdV方程.方程(1)是流體力學中的重要模型方程［31］，它也能很好地描述具有非諧束縛粒子的一維非線性晶格中波的傳播［32］;在等離子體物理中，它描述了無Landau衰變的小振幅離子聲波的傳播［33］;在固體物理中，可用于解釋通過氟化鈉單晶的熱脈沖的傳播［34］等.

雙曲函數(shù)展開法是求解非線性演化方程的一種直接法，可借助計算機代數(shù)系統(tǒng)如 Maple，Mathematica等得以部分甚至完全實現(xiàn).該方法被廣泛用于求解非線性演化方程的孤立波解.本文利用雙曲函數(shù)展開法的基本思想，通過選擇新的展開函數(shù)，得到了cKdV方程的一類新型的孤立波解，該解具有扭結—反扭結狀結構.在不同的參數(shù)條件下，該孤立波既可能向右傳播，也可能向左傳播;一定條件下，它也可以為非傳播的.文中對該類孤立波的穩(wěn)定性進行了數(shù)值研究，結果表明，cKdV方程既存在穩(wěn)定的雙扭結狀孤立波，也存在不穩(wěn)定的雙扭結狀孤立波.

2.cKdV方程的雙扭結單孤子解

考慮方程(1)的行波解

引入展開函數(shù)

其中 p，r為常數(shù).容易驗證，f(ξ)和 g(ξ)滿足下列關系:

容易看出，文獻［5］中的雙曲函數(shù)法是這里 p=1的特例.

設(3)式有解

其中 a0，a1，b1為待定常數(shù).把(6)式代入(3)式并反復利用(5)式，使得所得方程中僅含f和g的冪次項且 g的冪次不大于1，然后令 figj(i=0，1，…;j=0，1)項的系數(shù)為零，得包含所有待定常數(shù)的一組超定非線性代數(shù)方程組，通過求解該方程組就能最終得到方程(2)的精確解.

利用上述方法，我們得到了下面3種情況下方程(1)的解(下面所得解也適合于所選參數(shù)是復數(shù)的情況，本文只討論參數(shù)取實數(shù)的情況).

情況1

其中k為任意常數(shù).值得說明的是，上述解既存在于αβ<0(要求r2>p)的情況下，也存在于αβ>0(要求r2

圖 1(a)和(b)分別顯示了 α =6，β= －1，γ=1，k=1，r=10，x0=0，t=0，p=0 與 p=2 兩種情況下(8)式(取“－”號)的圖像.圖1(a)為扭結型孤立波，圖1(b)為鐘型孤立波，表明在αβ<0的情況下，cKdV方程(1)既存在扭結型孤立波解，也存在鐘型孤立波解.

圖1 cKdV方程的扭結型和鐘型孤立波解(α=6，β=－1，γ=1，k=1，r=10，x0=0，t=0)(a)p=0，(b)p=2

圖2 cKdV方程的雙扭結型孤立波解(α=6，β= －1，γ=1，k=1，r=10，x0=0，t=0，p=10 －6)

對圖2所示的雙扭結型孤立波，容易得

這里正負號分別和(8)式中正負號相對應.波的振幅A和波寬W可分別定義為

其中x1(t)和x2(t)為圖2所示位置.理論計算得有限遠極值點為，峰值為

且有

(12)式表明:波的振幅與波數(shù)成正比而波的寬度與波數(shù)成反比，說明振幅越大的波其寬度越小，這一點和KdV方程所描述的孤立子有著類似的性質.從速度的表達式可以看出，并非振幅越大的波速度也越大，這一點不同于由KdV方程所描述的孤子.從(12)式還可看出，該孤子既可以是向右傳播的(v>，也可以為向左傳播的，該孤子也可以為非傳播性孤子(v=0即說明由cKdV方程描述的孤子，有著比KdV方程描述的孤子更為豐富的結構特征.從前面的結果也可看出，方程(1)中系數(shù)γ僅影響波的速度，而不影響波的形狀、振幅以及波寬.理論結果表明，槡p/r越小，兩波峰之間的距離越大;當 p→0時，W→ +∞.事實上，當p=0時，波已演變?yōu)閱闻そY型孤立波.

此時方程(1)的解整理后為

其中p，k為任意常數(shù).若要求該解為實函數(shù)，則它僅存在于αβ<0的情況下.理論分析表明，當p<0時，該解存在間斷點;當 p=0時，該解為平凡解(常數(shù));當 p>0時，該解為 cKdV方程的扭結型孤立波解.

3.雙扭結孤立波的穩(wěn)定性

設u0=u0(x，t)是cKdV方程的一個精確解，下面數(shù)值研究該解的穩(wěn)定性.在初始時刻對u0加一相對很小的擾動 u′(x，0)= ε(x)，記 u(x，t)=u0(x，t)+u′(x，t)且設 u(x，t)滿足方程(1)，則可通過考察u(x，t)隨時間的演變而得知u0的穩(wěn)定性.數(shù)值求解時，采用如下有限差分格式:

其中Δx，Δt分別為空間和時間方向步長.該格式為三層顯式格式，截斷誤差為 O((Δt)2+(Δx)2)，條件穩(wěn)定.計算第一層時，采用下列格式啟動

本文著重考察mKdV方程的雙扭結單孤立波解的穩(wěn)定性，故取 u0為(8)式(取“－”號)，所用方法也適合于考察其他解的穩(wěn)定性.數(shù)值計算時，各參數(shù)取為步長取為 Δx=0.05，Δt=2×10－5.下面考察兩種參數(shù)情況時解在隨機擾動下的穩(wěn)定性.

3.1.α >0，β <0

不妨取 α=6，β= －1，從而波的振幅 A≈1，波寬W≈19.807.數(shù)值計算時，空間范圍取為［－50，50］，采用周期性邊界條件.考慮初始時刻各節(jié)點上的擾動為一隨機數(shù)，隨機數(shù)區(qū)間取為［－0.02，0.02］.由于孤子的局域性，故設初始時刻的擾動也限于某個區(qū)間，這里取為［－20，20］.

圖3 隨機擾動下不同時刻左傳播雙扭結型孤立波的波形(a)t=0，(b)t=10，(c)t=20

由前面的討論知γ的取值會影響波速的大小和方向.用以上參數(shù)計算得:γ≈3.4641時，孤子為非傳播性的(駐孤波);γ>3.4641時，孤子向左傳播;γ<3.4641時，孤子向右傳播.圖 3，圖 4，圖 5分別顯示了 γ=6，v=0(γ≈3.4641)，γ=1時，不同時刻的波形.從圖中可以看出:隨著時間的演變，初始時刻的局部擾動逐漸擴散為整個周期上的擾動，但擾動幅度始終局限于有限范圍內，表明此時的左傳播型、右傳播型和非傳播型雙扭結孤立波均穩(wěn)定.

圖4 隨機擾動下不同時刻非傳播雙扭結型孤立波的波形(a)t=0，(b)t=10，(c)t=20

圖5 隨機擾動下不同時刻右傳播雙扭結型孤立波的波形(a)t=0，(b)t=10，(c)t=20

3.2.α <0，β >0

此時，不妨取 α = －6，β=1，則仍有A≈1，波寬W≈19.807.數(shù)值計算時，為盡量減小邊界對結果的影響，空間范圍適當加大，取為［－200，200］，并采用絕熱邊界條件.由于在數(shù)值計算過程中存在舍入誤差，故可認為舍入誤差就是對解的擾動，該擾動相對來說非常小.舍入誤差具有隨機性，所以這里考察的仍然是隨機擾動對解的影響.

用前述參數(shù)計算得:γ≈3.4641時，(8)式表示非傳播性的駐波;γ<3.4641時，它表示向左傳播的行波;γ>3.4641時，它表示向右傳播的行波.圖6為γ=6時不同時刻數(shù)值結果的波形圖.從圖6可以看出:隨著時間的推移，初始時刻的雙扭結狀波逐漸演變?yōu)橄蜃髠鞑サ恼袷幮筒?色散波)，初始時刻的波形逐漸消失殆盡，表明此時的雙扭結狀行波是不穩(wěn)定的.當γ取其他值時，所得數(shù)值解的波形圖與圖6類似，這里從略.

圖6 當α=－6，β=1時，雙扭結型波隨時間演變圖 (a)t=0，(b)t=3，(c)t=6

綜上可見，cKdV方程(1)的雙扭結孤立波解在不同的參數(shù)情況下具有不同的穩(wěn)定性.當α>0，β<0時，(8)式表示的解具有很強的穩(wěn)定性;而當 α<0，β>0時，(8)式表示的行波解是不穩(wěn)定的.

4.結 論

本文基于雙曲函數(shù)展開法的思想，通過選擇新的展開函數(shù)，得到了cKdV方程的幾類精確解，其中一類為具有扭結—反扭結狀結構的雙扭結單孤子解.在不同的極限情況下，該解分別退化為cKdV方程的扭結狀或鐘狀孤波解.文中對雙扭結型孤子解的穩(wěn)定性進行了數(shù)值研究，結果表明，在不同的參數(shù)情形下，該解表現(xiàn)出不同的穩(wěn)定性.對于由其他非線性演化方程描述的物理系統(tǒng)中，是否也存在雙扭結型孤立波以及這樣的波是否穩(wěn)定，是個值得研究的問題.

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PACS:04.30.Nk，02.90.+p

The single solitary wave w ith double kinks of the combined KdV equation and its stability*

Shi Yu-Ren?Zhang Juan Yang Hong-Juan Duan Wen-Shan
(College of Physics and Electronic Engineering，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China)
(Received 30 March 2010;revised manuscript received 30 April 2010)

Based on the ideas of the hyperbola function expansion method，we obtained some analytical solutions of the combined KdV-mKdV(cKdV)equations by introducing new expansion functions.One of the single soliton solutions has the kink-antikink structure，and this solution reduces to the kink-like solution and the bell-like solution under different limitations.Theoretical analysis shows that the cKdV equation has both propagated-type and non-propagated-type solitary wave solutions.We also investigated the stability of the single solitary wave solution with double kinks numerically.The results indicate that the solution may be stable or unstable，depending on different sets of parameters.

cKdV equation，single soliton solution with double kinks，stability

*國家自然科學基金(批準號:10575082，11047010)、教育部科學技術研究重點項目(批準號:209128)和西北師范大學科技創(chuàng)新工程(批準號:NWNU-KJCXGC-03-53)資助的課題.

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.10575082，11047010)，the Key Program of the Science and Technology Foundation of Ministry of Education of China(Grant No.209128)and the Science and Technology Innovation Program of Northwest Normal University，China(Grant No.NWNU-KJCXGC-03-53).