基于ARIMA模型的我國(guó)GDP分析預(yù)測(cè)

王正宇 王紅玲

(安徽大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，安徽合肥230601)

一、有關(guān)時(shí)間序列分析的理論

時(shí)間序列分析，在預(yù)測(cè)一個(gè)時(shí)間序列未來(lái)的變化時(shí)，不再使用一組與之有因果關(guān)系的其他變量，而只是用該序列的過(guò)去行為來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)，不僅考察預(yù)測(cè)變量的過(guò)去值與當(dāng)前值，同時(shí)對(duì)模型同過(guò)去值擬合產(chǎn)生的誤差也作為重要因素進(jìn)入模型，作為一種精確度相當(dāng)高的短期預(yù)測(cè)方法，近年來(lái)在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)過(guò)程中廣泛應(yīng)用并取得了相當(dāng)好的結(jié)果。

ARIMA模型是一類常見的隨機(jī)時(shí)間模型，它是由美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家博克斯和英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家詹金斯于20世紀(jì)70年代提出來(lái)的，亦稱B－J方法。其基本思想是將預(yù)測(cè)對(duì)象隨時(shí)間推移而形成的數(shù)據(jù)序列視為一個(gè)隨機(jī)序列，用一定的數(shù)學(xué)模型來(lái)近似描述這個(gè)序列。這個(gè)模型一旦被識(shí)別后就可以從時(shí)間序列的過(guò)去值及現(xiàn)在值來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)值。

Box－Jenkins方法在應(yīng)用中的常見模型形式為:自回歸移動(dòng)平均模型(Autoregressive Moving Average Model，簡(jiǎn)記ARMA):若時(shí)間序列Yt為它的當(dāng)前與前期的誤差和隨機(jī)項(xiàng)，以及它的前期值的線性函數(shù):

則稱該時(shí)間序列yt為自回歸移動(dòng)平均模型，記為ARMA(p，q)。參數(shù) φ1，Λ，φp 為待估自回歸參數(shù)，θ1，Λ，θq為待估移動(dòng)平均參數(shù)，殘差μt為白噪聲序列。顯然，AR(p)模型和MA(q)模型都是ARMA(p，q)模型的特例。Box－Jenkins模型要求時(shí)間序列為平穩(wěn)序列，而實(shí)際應(yīng)用中時(shí)間序列往往表現(xiàn)為長(zhǎng)期趨勢(shì)，季節(jié)變動(dòng)、循環(huán)變動(dòng)的非平穩(wěn)數(shù)列，這時(shí)可通過(guò)差分法反復(fù)差分以消除其趨勢(shì)，于是上述ARMA(p，q)又經(jīng)常以自回歸移動(dòng)求積平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model，簡(jiǎn)記ARIMA)的形式加以標(biāo)記。其模型符號(hào)為ARIMA(p，d，q)，p代表自回歸階數(shù)d，表示對(duì)非平穩(wěn)數(shù)列進(jìn)行差分處理的次數(shù)，q代表移動(dòng)平均的階數(shù)。

該方法把時(shí)間序列建模表述為三個(gè)階段:

第一，模式識(shí)別:確定時(shí)間序列應(yīng)屬的模型類型，其基本原理是根據(jù)數(shù)據(jù)的相關(guān)特性進(jìn)行鑒別;

第二，估計(jì)模型的參數(shù)，并結(jié)合定階準(zhǔn)則和殘差檢驗(yàn)對(duì)模型的適用性進(jìn)行診斷檢驗(yàn);

第三，應(yīng)用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。

二、基于ARIMA模型分析預(yù)測(cè)中國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)

從中國(guó)統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)年鑒上摘錄的1978—2008年中國(guó)GDP(生產(chǎn)法)依次如下(單位:億元):

從數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖上來(lái)看，我國(guó)GDP對(duì)時(shí)間折線圖序列表現(xiàn)出趨勢(shì)性，經(jīng)驗(yàn)判斷是不平穩(wěn)的。

方法上序列的平穩(wěn)性可以用自相關(guān)分析圖(自相關(guān)函數(shù)ACF圖和偏自相關(guān)函數(shù)PACF圖)判斷:如果序列的自相關(guān)系數(shù)AC很快地(滯后階數(shù)K大于2或3時(shí))趨于0，即落入隨機(jī)區(qū)間，時(shí)序是平穩(wěn)的，反之非平穩(wěn)。經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)該序列非平穩(wěn)。

也可以檢驗(yàn)對(duì)所有k＞0，自相關(guān)系數(shù)都為0的聯(lián)合假設(shè)，這可通過(guò)如下Q統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行，該統(tǒng)計(jì)量近似地服從自由度為m的χ2分布(m為滯后長(zhǎng)度)。因此，如果計(jì)算的Q值大于顯著性水平為ɑ的臨界值，則有1－ɑ的把握拒絕所有自相關(guān)系數(shù)同時(shí)為0的假設(shè)。若樣本較小，則m一般取［n/4］。

從Q統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算值看，滯后8期的計(jì)算值為71.83，超過(guò)5%顯著性水平的臨界值15.51拒絕所有相關(guān)系數(shù)都為0的假設(shè)。

在現(xiàn)實(shí)中，常見的時(shí)間序列多具有某種趨勢(shì)，但許多序列通過(guò)差分可以平穩(wěn)。如果原序列非平穩(wěn)，經(jīng)過(guò)d階逐期差分后平穩(wěn)，則新序列稱為齊次序列。平穩(wěn)序列可以建立ARMA(p，q)模型。原序列可表示為ARIMA(p，d，q)模型。判斷時(shí)間序列的趨勢(shì)是否消除，只需考察經(jīng)過(guò)d階差分后序列的自相關(guān)序列圖，自相關(guān)系數(shù)是否很快趨于0。

首先進(jìn)行一階差分，經(jīng)過(guò)一階差分的序列仍然不平穩(wěn)。因此需要繼續(xù)差分。

進(jìn)行二階差分后，對(duì)二階差分GDP做ADF檢驗(yàn)，以檢驗(yàn)序列是否有單位根，即是否非平穩(wěn)，二階差分后的序列ADF單位根檢驗(yàn)結(jié)果證實(shí)了它的平穩(wěn)性。

模型的識(shí)別與建立:

在需要對(duì)一個(gè)時(shí)間序列運(yùn)用B－J方法建模時(shí)，應(yīng)運(yùn)用序列的自相關(guān)與偏自相關(guān)對(duì)序列適合的模型類型進(jìn)行識(shí)別，確立 p，q。

參看二次差分后的自相關(guān)序列圖，自相關(guān)系數(shù)在k=1和k=3時(shí)顯著不為0，可以考慮q=1，2，3。同理偏自相關(guān)系數(shù)在k=1和k=3時(shí)顯著不為0，可以考慮p=1，2，3。

綜上，序列 ddgdp可以建立 ARMA(1，1)或 ARMA(1，2)或 ARMA(2，1)或 ARMA(2，2)或 ARMA(3，1)或ARMA(1，3)或 ARMA(3，2)或 ARMA(2，3)或 ARMA(3，3)。經(jīng)過(guò)篩選對(duì)比，將ARMA(p，q)模型的滯后多項(xiàng)式倒數(shù)根落入單位圓外的模型排除，僅考慮ARMA(1，2)和ARMA(2，3)。對(duì)序列 gdp 來(lái)說(shuō)就是 ARIMA(1，2，2)和ARIMA(2，2，3)。

對(duì)ARIMA(1，2，2)模型建立本文通過(guò)Eviews軟件采用命令方式，在主窗口命令行輸入

ls d(gdp，2，0)ar(1)ma(1)ma(2)

這里，對(duì)參數(shù)t檢驗(yàn)顯著性水平的要求并不像回歸方程中那么嚴(yán)格，更多的是考慮模型的整體擬合效果。調(diào)整后的決定系數(shù)、AIC和SC準(zhǔn)則都是選擇模型的重要標(biāo)準(zhǔn)。

再建立 ARIMA(2，2，3)模型:

經(jīng)過(guò)比較，ARIMA(2，2，3)模型t檢驗(yàn)更加滿足顯著性水平，同時(shí)調(diào)整后的決定系數(shù)也大了不少，AIC和SC準(zhǔn)則值比前面模型更小，說(shuō)明這個(gè)ARIMA(2，2，3)模型是更適合的。

參數(shù)估計(jì)后，應(yīng)該對(duì)ARIMA模型的適合性進(jìn)行檢驗(yàn)，即對(duì)模型的殘差序列進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)。若殘差序列不是白噪聲序列，意味著殘差序列還存在有用信息沒(méi)被提取，需要進(jìn)一步改進(jìn)模型。通常側(cè)重于檢測(cè)殘差序列的隨機(jī)性，即滯后期k＞0，殘差序列的樣本自相關(guān)系數(shù)應(yīng)近似為0。檢測(cè)方法可以通過(guò)觀察樣本自相關(guān)序列圖:對(duì)ARIMA(2，2，3)模型從k=8這行找到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Q值為1.5323，從Prob列得到值為67.5%，拒絕原假設(shè)犯錯(cuò)的概率為67.5%，即殘差序列相互獨(dú)立為白噪聲的概率很大。因此檢驗(yàn)通過(guò)，殘差序列是純隨機(jī)的。

從擬合回歸圖看擬合圖形的趨勢(shì)走向和幅度較為一致。

基于序列 ARIMA(2，2，3)模型我國(guó)2007—2011年GDP預(yù)測(cè)值

三、結(jié)論

本文利用ARIMA模型對(duì)我國(guó)經(jīng)濟(jì)進(jìn)行了預(yù)測(cè)與分析，實(shí)證分析表明，該模型對(duì)于分析及預(yù)測(cè)我國(guó)GDP是簡(jiǎn)單而又非常有效的。從圖中MAPE項(xiàng)可以看出與實(shí)際值預(yù)測(cè)值(2007、2008兩年)之間誤差百分比是比較小的。另外值得注意的是，ARIMA模型一般在短期內(nèi)的預(yù)測(cè)比較準(zhǔn)確，隨著預(yù)測(cè)的延長(zhǎng)，三年以上預(yù)測(cè)誤差相對(duì)增大，這也是ARIMA模型的一個(gè)缺陷。但盡管如此，如果在建立模型過(guò)程中不斷補(bǔ)充近期數(shù)據(jù)，調(diào)整和優(yōu)選新模型并實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，則預(yù)測(cè)效果還可進(jìn)一步提高，與其它的預(yù)測(cè)方法相比，其預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度還是比較高的。同時(shí)，這里采用的Box－Jenkins建模思想，由于不需要對(duì)時(shí)間序列的發(fā)展模式作先驗(yàn)的假設(shè)，方法本身又可反復(fù)識(shí)別修改，直到獲得滿意的模型，因此非常適合各種經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列，包括在辨別序列資料的典型特征十分困難和復(fù)雜情況下的預(yù)測(cè)。

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