分離變量法在靜電場(chǎng)問(wèn)題中的應(yīng)用

張保花 郭福強(qiáng) 李艷青

(1,2,3.昌吉學(xué)院物理系 新疆 昌吉 831100)

1 引言

靜電場(chǎng)問(wèn)題是電動(dòng)力學(xué)的核心問(wèn)題[1]，是繼電磁學(xué)理論之后的重要理論知識(shí)。利用電磁學(xué)所學(xué)知識(shí)對(duì)一些實(shí)際問(wèn)題不能解決，而電動(dòng)力學(xué)是在人類對(duì)電磁現(xiàn)象的長(zhǎng)期觀察和生產(chǎn)活動(dòng)中發(fā)展起來(lái)的，對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題起到了十分重要的作用。本論文就是把電磁場(chǎng)的基本理論應(yīng)用到實(shí)際情況，其研究的主要問(wèn)題是：在給定的自由電荷分布以及周圍空間中存在介質(zhì)或?qū)w分布的情況下，怎樣求解靜電場(chǎng)問(wèn)題，主要介紹利用分離變量法求解靜電場(chǎng)的一般步驟，并在不同的環(huán)境下分離變量法對(duì)邊界條件和邊值關(guān)系的適當(dāng)選擇。

2 分離變量法求解的方程及通解

▽2φ=0

(1)

上式稱為拉普拉斯方程(拉氏方程)。產(chǎn)生電場(chǎng)的電荷都分布于區(qū)域V的邊界上，它們的作用通過(guò)邊界條件反應(yīng)出來(lái)。因此，這類問(wèn)題的解法是求拉普拉斯方程的滿足邊界條件的解，(1)式的通解可以用分離變量法給出。

先根據(jù)界面形狀選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，然后在該坐標(biāo)系中用分離變量法解拉普拉斯方程。最常用的坐標(biāo)系有球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系[3]。這里寫出用球坐標(biāo)系中軸對(duì)稱情形下拉普拉斯方程的通解形式。

在球坐標(biāo)系下，球坐標(biāo)用(R,θ,φ) 表示，R為半徑，θ為極角，φ為方位角，則拉氏方程在球坐標(biāo)系中的通解為：

(3)

Pn(cosθ)為勒讓德函數(shù)，an和bn是任意常數(shù)，由邊界條件或邊值關(guān)系確定。所以，在每一個(gè)沒(méi)有電荷分布的區(qū)域內(nèi)，φ滿足拉普拉斯方程，其通解已有(2)或(3)式給出，剩下的問(wèn)題就是由具體的邊界條件或邊值關(guān)系確定這些通解中所含的任意常數(shù)，從而得到滿足邊界條件下的特解。

3 分離變量法的一般解題步驟

從分離變量法求解的方程及通解中，可以總結(jié)出分離變量法的一般解題步驟：

首先，當(dāng)所求區(qū)域中的電荷密度ρ=0時(shí)，自由電荷只分布在某些介質(zhì)或?qū)w表面上，將這些表面視為區(qū)域邊界，并且電勢(shì)φ滿足 ▽2φ=0，則可以用分離變量法求解拉普拉斯方程；

其次，對(duì)實(shí)際情況分析，滿足球?qū)ΨQ或軸對(duì)稱，寫出相應(yīng)的拉普拉斯方程通解；

再次，從實(shí)際情況出發(fā)，依次找出邊界條件和邊值關(guān)系來(lái)確定通解中的待定系數(shù)。

概括起來(lái)，大致有以下幾種類型的邊界條件[4]：

(1) 兩種絕緣介質(zhì)界面上，邊值關(guān)系為

φ1=φ2

應(yīng)用這條件可以把界面兩邊的電勢(shì)銜接起來(lái)。

(2)給出導(dǎo)體上的電勢(shì)，導(dǎo)體面上邊界條件為

φ=φ0(給定常數(shù))

(3)給出導(dǎo)體所帶總電荷Q，在導(dǎo)體面上的邊界條件為

φ=常數(shù) (待定)

應(yīng)用上述邊界條件可以唯一地解出靜電場(chǎng)，用導(dǎo)體面上的另一邊界條件

可以得出導(dǎo)體面上的自由電荷面密度σ。

對(duì)于介質(zhì)和導(dǎo)體存在的邊值關(guān)系：

(1)兩介質(zhì)交接面上邊值關(guān)系

(2)導(dǎo)體表面上的邊值關(guān)系

由于導(dǎo)體表面為等勢(shì)面，因此在導(dǎo)體表面上電勢(shì)為常數(shù)。將介質(zhì)情況下的邊值關(guān)系用到介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，并考慮導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)為零，則可以得到第二個(gè)邊值關(guān)系：

4 分離變量法的實(shí)際應(yīng)用

介質(zhì)球的存在使空間分為兩均勻區(qū)域—球外區(qū)域和球內(nèi)區(qū)域。兩區(qū)域內(nèi)部都沒(méi)有自由電荷，因此電勢(shì)都滿足拉普拉斯方程。以φ1代表球外區(qū)域的電勢(shì)，φ2代表球內(nèi)區(qū)域的電勢(shì)。由(3)式，兩區(qū)域的通解均為：

(4)

(5)

an,bn，cn和dn是待定常數(shù)。

邊界條件包括：

φ1→-E0Rcosθ=-E0RP1(cosθ)

(6)

因而 (a1=-E0,an=0(n≠1)

(7)

(2)R=0處， φ2應(yīng)為有限值，因此 dn=0 ；

(8)

把 (4)和(5)式代入(8)式得

(9)

(10)

比較(9)式其它Pn項(xiàng)的系數(shù)可解出 bn=cn=0,n≠1 (12)

所有常數(shù)已經(jīng)定出，因此本問(wèn)題的解為

(13)

總之，通過(guò)以上例題求解了靜電場(chǎng)，使學(xué)生們更容易掌握在求解靜電場(chǎng)問(wèn)題時(shí)分離變量法的解題步驟，以及在不同情況下靜電場(chǎng)所滿足的邊值關(guān)系及邊界條件[6]，學(xué)生們比較輕松的學(xué)習(xí)了靜電場(chǎng)的求解問(wèn)題，記憶更加深刻，能夠更準(zhǔn)確、更熟練地應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]郭碩鴻.電動(dòng)力學(xué)(第三版)[M].高等教育出版社，2008.

[2]郭勁.鏡像法在靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)的比較[J].高教研究，2000，(3)：31-33.

[3]尹真.電動(dòng)力學(xué)(第二版)[M].科學(xué)出版社，2006.

[4]陳世民.電動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)明教程[M].高等教育出版社，2004.

[5]鄭春開(kāi).電動(dòng)力學(xué)解題指導(dǎo)[M].北京大學(xué)出版社，2004.

[6]俞允強(qiáng).電動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)明教程[M].北京大學(xué)出版社2003.