賦予標(biāo)準(zhǔn)高斯測(cè)度的有限維空間的平均寬度

韓永杰，陳廣貴，李 超

（西華大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，四川 成都 610039）

賦予標(biāo)準(zhǔn)高斯測(cè)度的有限維空間的平均寬度

韓永杰，陳廣貴，李 超

（西華大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，四川 成都 610039）

本文討論了賦予標(biāo)準(zhǔn)高斯測(cè)度的有限維空間Rm在lmq空間上的p-平均Kolmogorov n寬度，并得到了其精確階.

平均寬度；高斯測(cè)度；有限維空間

1 引言

設(shè)X是賦范線性空間，W是X的子集，如果L是X的子空間，則稱

為集合W到L的偏差，其中

是x到集合L的距離.對(duì)于自然數(shù)n，我們稱

為集合W在空間X中的Kolmogorov n-寬度，其中Fn是取遍空間X中所有維數(shù)不超過(guò)n的子空間.關(guān)于Kolmogorov n-寬度的有關(guān)詳細(xì)信息，可見(jiàn)文獻(xiàn)[1].

假設(shè)W中所有的開(kāi)集構(gòu)成一個(gè)Borel域B，并賦予B一個(gè)概率測(cè)度μ，即：μ是定義在B上的c-可加非負(fù)的集函數(shù)，且μ(W)=1.令ζ∈[0,1]，n=1,2,……，0＜P＜∝，則分別稱

為Kolmogorov(n,ζ)-寬度和p-平均Kolmogorov n-寬度.其中Gδ取遍B中所有測(cè)度不超過(guò)ζ的集合，而Fn是取遍空間X中所有維數(shù)不超過(guò)n的子空間.

Maiorov在[2]中討論了有限維空間Kolmogorov (n,ζ)-寬度.本文繼續(xù)Maiorov的工作，討論賦予標(biāo)準(zhǔn)Gaussian測(cè)度的有限維空間的p-平均Kolmogorov n-寬度.為了敘述我們的結(jié)果，我們首先介紹一些概念和記號(hào).

對(duì)于1:q:∝，在Rm上賦予范數(shù)

則它是個(gè)Banach空間，記為lmq.我們用v=vm表示空間Rm上的標(biāo)準(zhǔn)Gaussian測(cè)度，其定義如下：

其中G是Rm中的Borel集，并且滿足v(Rm)=1.

定理A([2])當(dāng)1≤q≤2時(shí)，對(duì)m≥2n和δ∈(0,1/2]，有

且上界估計(jì)只需要條件m≥n.

定理B([2])對(duì)m≥n和δ∈(0,1/2]，有

定理C([3])當(dāng)2≤q＜∞時(shí)，對(duì)m≥n和δ∈(0,1/2]，有

2 主要結(jié)果

在本文中，我們用ci表示和q有關(guān)的正的常數(shù)，i=1,2,…….對(duì)正函數(shù)a(y)和b(y)，y∈D，當(dāng)存在正的常數(shù)c1,c2，使得c1:a(y)/b(y):c2，我們記做a(y)≈b (y)；當(dāng)存在正的常數(shù)c1，使得a(y):c1b(y)，我們記做a (y)≤b(y).本文的主要結(jié)果如下：

定理11＜P＜∝,m≥n

(1)若1:q:2,m≥2n，則

(2)若2:q＜∝，則

(3)若q=∝，則

證 先證(1).首先，我們給出dn(a)(Rm,v,lmq)p，1≤q≤2的上界估計(jì)的證明.根據(jù)Kolmogorov n-寬度的定義和定理A，對(duì)任意δ∈(0,1/2]，存在集合Gδ?Rm以及l(fā)mq中一個(gè)維數(shù)不超過(guò)n的線性空間L，滿足v(Gδ)≤δ，且

我們得到了定理1中結(jié)論(1)的上界估計(jì).

下面我們給出定理1中結(jié)論(1)的下界估計(jì).當(dāng)1≤q≤2，m≥2n時(shí)，根據(jù)Kolmogorov n-寬度的定義和定理A，對(duì)lmq空間中任意維數(shù)不超過(guò)n的子空間l，一定存在子集G?Rm,且v(G)≥1/2，使得對(duì)?x∈G有

這樣我們就得到了定理1中結(jié)論(1)的下界估計(jì).

利用定理B和定理C，仿照結(jié)論(1)上方估計(jì)的證明，可以證明結(jié)論(2)和(3).定理1證畢.

〔1〕Allan pinkus,n-widths in approximation theory, Springer-Verlag,Berlin,1985.

〔2〕V.E.Maiorov,Kolmogorv's-widthsofthe spaces of the smooth functions,Russian Acad. Sci.Sb.Math.79(1994):265-279.

〔3〕Chen Guanggui and Fang Gensun,Probabilistic and average widthsofmultivariate Sobolev spaceswithmixed derivativeequipped with the Gaussian measure,J.Complexity 20(2004): 858-875.

O114

A

1673-260X（2011）05-0004-02