簡(jiǎn)論對(duì)稱區(qū)間上的定積分題型

徐 健，張孔生

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

簡(jiǎn)論對(duì)稱區(qū)間上的定積分題型

徐 健，張孔生

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

本文從微積分中具有或可轉(zhuǎn)換成對(duì)稱積分區(qū)間特征的定積分入手，得出求解定積分的一種考慮方法，從按此思路的求解可以發(fā)現(xiàn)，具有某些特征的定積分問(wèn)題可以通過(guò)積分區(qū)間和被積函數(shù)的分解與合成得到一個(gè)新的易于求解的定積分．同時(shí)本文也推廣到廣義積分的形式．

微積分；對(duì)稱積分區(qū)間；定積分分解合成

微積分中的積分問(wèn)題是其重要的基礎(chǔ)內(nèi)容，而求解定積分則常出現(xiàn)在各種題目和各類問(wèn)題的解決步驟中．在定積分里有一類積分區(qū)間是對(duì)稱類型的題目，在解決這類問(wèn)題中有些結(jié)論可以直接利用，但是通常情況下問(wèn)題往往可能不適合使用已有結(jié)論，那么下面就針對(duì)這類問(wèn)題進(jìn)行分析．

1 例題求解及思路總結(jié)

微積分中有如下結(jié)論：若函數(shù) f(x)為閉區(qū)間[-a,a]上的連續(xù)函數(shù)，當(dāng) f(x)為偶函數(shù)時(shí)有結(jié)論是采用負(fù)代換的方法通過(guò)定積分換元法結(jié)合奇偶函數(shù)性質(zhì)來(lái)證明的，通常也采用奇偶函數(shù)對(duì)稱圖像來(lái)加以說(shuō)明，在各種微積分教材中都有詳細(xì)的說(shuō)明，這里就不再贅述了[1]．下面直接來(lái)看一些例題：

(1)直接使用結(jié)論的情況[2]：

(4)當(dāng)被積函數(shù)是非奇非偶函數(shù)時(shí)，往往可以有先拆后合定積分的方法[3]：上題中定積分雖然是一個(gè)對(duì)稱區(qū)間的形式，但是被積函數(shù)卻非奇非偶，而且也無(wú)法通過(guò)代數(shù)分解成奇偶函數(shù)的和，故而無(wú)法使用結(jié)論．但是又由于對(duì)稱區(qū)間的原因此題可以將一個(gè)定積分分解成兩個(gè)互為相反積分區(qū)間的定積分：這樣可以通過(guò)負(fù)代換的方法把積分區(qū)間又統(tǒng)一成[0,a]，然后兩個(gè)定積分就可以變?yōu)橐粋€(gè)新的定積分，而這個(gè)新的定積分的被積函數(shù)又恰好可以化簡(jiǎn)，從而解決問(wèn)題．

由此可以總結(jié)如下的思路：定積分的分解和合成可以有兩種形式：一是被積函數(shù)的分解和合成，二是積分區(qū)間的分解和合成．如果一個(gè)定積分不好求解的時(shí)候，可以通過(guò)先拆后合的方法變換成一個(gè)新的定積分求解，往往會(huì)起到意想不到的效果．如例5中就是先積分區(qū)間的拆，然后被積函數(shù)再合．但是往往拆完要把兩個(gè)定積分的積分區(qū)間統(tǒng)一，所以需要進(jìn)行換元．下面由此思路來(lái)解決一些問(wèn)題：

2 一些正常積分的解決

一些求解微積分的題目就可以利用上面總結(jié)的定積分分解合成思路來(lái)解決，這其中包括被積函數(shù)先分解如例6，以及積分區(qū)間先分解如例7：

分析：此題如例 4積分區(qū)間不是對(duì)稱區(qū)間，但易見(jiàn)被積函數(shù)中含有l(wèi)nx，通常處理方法是分部積分法和換元法．這里使用換元法，令lnx=t，積分區(qū)間就變?yōu)閷?duì)稱區(qū)間．再如例 5先分積分區(qū)間變成兩個(gè)定積分，再通過(guò)代換合成一個(gè)定積分求解．

通過(guò)上面的一些題目可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)稱區(qū)間是這一類題目的特征，但是互為倒數(shù)的積分區(qū)間也往往可以采用上面的解題思路，如例4和例7，下面的例8也采用先分解積分區(qū)間，再統(tǒng)一積分區(qū)間，最后通過(guò)被積函數(shù)合成一個(gè)新的定積分進(jìn)行求解的．

綜上所述當(dāng)出現(xiàn)上面總結(jié)的積分區(qū)間特征的題型時(shí)，奇偶函數(shù)的結(jié)論不再適用，就可以采用以上考慮的思路求解，往往有意想不到的效果．特別注意如果要遇到廣義積分時(shí)，題目往往也會(huì)出現(xiàn)類似上述的類型，但解決就要使用廣義積分特有的思路，用極限的形式來(lái)表達(dá)，在各類微積分教科書中都有介紹，這里就不再重復(fù)了．

定積分求解的方法很多，題目也都比較靈活，在求解定積分的題目時(shí)更應(yīng)該進(jìn)行的是思路的總結(jié)、方法的提煉以及特征的提取，這樣往往可以舉一反三，掌握一類題型的求解．

[1] 李天盛.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ):微積分[M].西安:電子科技大學(xué)出版社,2002:245-303

[2] 費(fèi)定暉,周學(xué)圣.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解(三)[M].濟(jì)南:山東大學(xué)出版社,2003:309-336.

[3] 劉建宇.分割積分區(qū)間計(jì)算定積分[J].高等數(shù)學(xué)研究, 2009, 12 (6):31-32.

Abstract:This paper analyses some definite integral types that have symmetric integral interval. A new idea can be obtained.And we can find some definite integral types having the same characteristic can be solved by that idea. That is decomposition and combination of integral interval and integrand. Meanwhile this characteristic also can be generalized to improper integral.

Key words:Calculus; symmetric integral interval; decomposition and combination of integral.

(責(zé)任編校：李建明英文校對(duì)：李玉玲)

Analysis on Definite Integral in Symmetric Interval

XU Jian, ZHANG Kong-sheng

(School of Statistics & Applied Mathematics, Anhui University of Finance & Economics, Bengbu, Anhui 233030, China)

G642

A

1673-2065(2011)01-0073-03

2010-11-05

安徽省高校自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2010B001; KJ2010B007)

徐 健(1982-),男,安徽鳳陽(yáng)人,安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院講師,理學(xué)碩士;

張孔生(1978-),男,安徽青陽(yáng)人,安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院講師,理學(xué)碩士.