斜邊非軸對稱位移邊界下球孔擴(kuò)張擠土分析

饒平平 ，李鏡培 ，劉 穎

（1. 同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092；2. 同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系，上海 200092；3. 南昌工程學(xué)院 土木與建筑工程學(xué)院，南昌 330099）

1 引 言

近年來，國內(nèi)外學(xué)者及工程技術(shù)人員對沉樁擠土所帶來周圍環(huán)境的不利影響進(jìn)行了大量的研究，取得了顯著的研究成果[1－6]。然而，目前針對該問題的研究主要是基于平面應(yīng)變軸對稱假定的基礎(chǔ)上，應(yīng)用圓孔擴(kuò)張法、應(yīng)變路徑法以及有限元等方法分析，實(shí)際工程中很多施工場地所處的環(huán)境存在非軸對稱位移邊界，例如：①為避免沉樁對周圍環(huán)境（包括地下管線、已有建筑物基礎(chǔ)、道路等）的影響，在施工場地和已有建（構(gòu)）筑物之間修隔離墻、開挖隔離槽、設(shè)置應(yīng)力釋放孔和預(yù)鉆孔等，形成非軸對稱位移邊界條件[7]；②施工場地本來存在非軸對稱位移邊界條件，如施工場地靠近斜坡（邊坡）或碼頭岸坡問題。

非軸對稱位移邊界條件下沉樁擴(kuò)孔所造成的擠土效應(yīng)，對于這一問題目前尚缺乏充分地研究，沒有成熟的計(jì)算方法，對其擠土效應(yīng)機(jī)制也不是很清楚。我國上海的白蓮涇河在堤岸加固過程中，沉樁時(shí)岸坡發(fā)生嚴(yán)重的變形以及不同程度的裂縫[8]；浙江舟山20×104t油碼頭系纜墩，沉樁時(shí)產(chǎn)生了1 m多的位移，最后碼頭岸坡發(fā)生大滑坡，使得一個(gè)系纜墩全部滑入海中，損失慘重[9]。文獻(xiàn)[7]應(yīng)用曲線坐標(biāo)變換方法，試圖研究非軸對稱位移邊界下圓孔擴(kuò)張問題，但其只能求解固定邊界條件下的應(yīng)力場及位移場，且解析過程較為繁瑣；文獻(xiàn)[10]采用位移-位移問題的假定，從球孔擴(kuò)張的基本解答出發(fā)，得到了水平自由位移邊界條件下的位移場，然而，實(shí)際工程大多數(shù)邊界不僅是水平自由位移邊界，而是存在不同傾斜角度?；谝陨显?，本文針對現(xiàn)有球孔擴(kuò)張理論的不足，對球孔擴(kuò)張進(jìn)行改進(jìn)，采用鏡像方法，通過對地表邊界以及傾斜邊界應(yīng)力的修正，得到了非軸對稱位移邊界下的球孔擴(kuò)張擠土位移解答，并進(jìn)行參數(shù)影響分析。

2 基本理論及力學(xué)模型

沉樁擠土位移問題可以采用平面應(yīng)變假定的柱孔擴(kuò)張法和無限土體假定的球孔擴(kuò)張法模擬，但這些解答不能很好地反映沉樁擠土位移場的半無限空間特性，半無限空間和無限空間問題相比，增加了地表的自由邊界，因此，需要滿足地表邊界處豎向應(yīng)力及剪應(yīng)力同時(shí)為 0。針對本文研究的斜邊非軸對稱位移邊界下半無限球孔擴(kuò)張問題，作如下基本假定：①土體為均質(zhì)線彈性體，滿足虎克定律；②土體變形為小變形；③忽略土體的自重作用；④土體飽和，不可壓縮，且土體變形為位移-位移問題。

由于水平向位移邊界對水平及豎向位移影響較大，而對y方向的位移影響較小，因此，本文主要對水平及豎直方向位移進(jìn)行分析。如圖1所示，在半無限土體內(nèi)半徑為a的球孔擴(kuò)張，球孔坐標(biāo)為（0，0，h），在x=t處的位置存在水平自由位移邊界。假定邊界面光滑，根據(jù)對稱鏡像原理，在對應(yīng)于自由位移邊界處的位置設(shè)置鏡像收縮球孔，R1為孔周任意一點(diǎn) p(x, 0,z)到球孔中心的距離，R2為孔周一點(diǎn) p(x, 0,z)到鏡像收縮球孔中心的距離，空間柱坐標(biāo)系下可以得到球孔擴(kuò)張后孔周任意一點(diǎn)p(x, 0,z)處的擠土位移場[10]：

圖1 水平自由位移邊界示意圖Fig.1 The sketch of horizontal displacement boundary

3 非軸對稱邊界球孔擴(kuò)張位移求解

3.1 非軸對稱邊界下無限土體球孔擴(kuò)張位移解答

具有一定傾斜角度的非軸對稱位移邊界條件下球孔擴(kuò)張如圖 2所示，在距離坐標(biāo)原點(diǎn)t處的位置存在一定坡度的自由位移邊界，斜面自由邊界傾斜角為?，同樣在相對應(yīng)斜面邊界鏡像位置設(shè)置鏡像收縮球孔，R1為孔周任意一點(diǎn) p(x, 0,z)到球孔中心的距離，R3為孔周一點(diǎn) p(x, 0,z)到鏡像收縮球孔中心的距離。

圖2 非軸對稱位移邊界擴(kuò)孔示意圖Fig.2 The sketch of cavity expansion with nonaxisymmetric displacement boundary

由圖3可知，R3的表達(dá)式與h、t和θ三者的關(guān)系有關(guān)，根據(jù)圖中幾何關(guān)系可以得到：

①當(dāng)鏡像收縮孔位于地表面以上時(shí)，如圖3(a)所示，即 h＞tt an2θ情況下。

②當(dāng)鏡像收縮孔位于地表面以下時(shí)，如圖3(b)所示，即 h＜tt an2θ情況下。

同理可得R3的表達(dá)式為

③當(dāng)鏡像收縮孔剛好位于地表面時(shí)，如圖3(c)所示，即 h=tt an2θ情況下。

式中：θ為斜面邊界與豎直方向的夾角，θ=90°-?。

圖3 非軸對稱位移邊界擴(kuò)孔示意圖Fig.3 The sketch of spherical cavity expansion with nonaxisymmetric displacement boundary

同理可得具有一定傾斜角度的非軸對稱位移邊界條件下球孔擴(kuò)張后孔周任意一點(diǎn) p(x, 0,z)處的擠土位移表達(dá)式為

當(dāng)θ=0°時(shí)，式(6)、(7)可以退化到式(1)、(2)，即文獻(xiàn)[10]解答，當(dāng)θ=90°時(shí)，式(6)、(7)可以退化為文獻(xiàn)[11]的解答。

土體應(yīng)變可根據(jù)彈性力學(xué)幾何方程得到：

式中：εx與εz為土體x與z軸方向應(yīng)變；γxz為剪應(yīng)變。

3.2 地表邊界應(yīng)力修正

上述3.1節(jié)非軸對稱位移邊界球孔擠土位移表達(dá)式是基于無限土體空間的假定而得到的，為反映擴(kuò)孔擠土位移場的半無限空間特性，有必要對地表自由邊界以及傾斜邊界應(yīng)力進(jìn)行修正，修正后需要滿足的邊界條件為：地表以及傾斜邊界豎向應(yīng)力與剪應(yīng)力同時(shí)為0。

對于地表應(yīng)力邊界而言，可以分成兩種情況來討論，分別采用不同的應(yīng)力函數(shù)解答來分析：

對于滿足情況①的邊界條件彈性力學(xué)問題，可以采用以下應(yīng)力函數(shù)解答來求解[12]：

式中：f為應(yīng)力修正函數(shù)；G為土體剪切模量。

相應(yīng)的位移為

式中： v 為土體泊松比， Sx′、 Sz′為修正豎向應(yīng)力產(chǎn)生的水平及豎向位移。

對于滿足情況②的邊界條件彈性力學(xué)問題，可以采用以下應(yīng)力函數(shù)解答來求解[12]：

式中：g為應(yīng)力修正函數(shù)。

相應(yīng)的位移為

式中： Sx′、 Sz′為修正剪應(yīng)力的水平及豎向位移。

取修正應(yīng)力函數(shù)為

式中：A、B為待定常數(shù)；R4與R4t是由邊界條件而得到的修正函數(shù)表達(dá)式，其中R4為球孔(真實(shí)源)關(guān)于地表面對稱位置到 p(x, 0,z)點(diǎn)的距離，為鏡像收縮孔(鏡像匯)關(guān)于水平地表面對稱位置到 p(x, 0,z)點(diǎn)的距離，同理，R4t的表達(dá)式也需根據(jù)具體情況而定，具體如下：

函數(shù) f、g的表達(dá)式滿足?2f=0，?2g=0，根據(jù)式(6)、(7)可得在邊界z=0處的豎向應(yīng)力和剪應(yīng)力分別為

又由于

將式(9)代入式(26)中，結(jié)合式(24)及式(26)可得：

將A，B表達(dá)式代入修正應(yīng)力函數(shù)后，再代入位移解答中，可得修正豎向應(yīng)力產(chǎn)生的位移為

式中： Rc= x2+ (z +h)2

當(dāng) h＞tt an2θ時(shí)，

當(dāng) h ≤ tt an2θ時(shí)：

同理，可得修正剪應(yīng)力產(chǎn)生的位移為

3.3 斜面自由邊界應(yīng)力修正

如圖2所示，真實(shí)源與鏡像匯共同作用下在斜面邊界上產(chǎn)生了一個(gè)附加剪應(yīng)力τxz，為了消除剪應(yīng)力的影響，需要一個(gè)與之大小相等，方向相反的剪應(yīng)力-τxz來平衡，以恢復(fù)斜面邊界表面無約束的情況，由于彈塑性情況下很難求出其解析解，因此，假定土體是線彈性材料，則由式(6)、(7)可得到剪應(yīng)變：

式中：γxz為斜面邊界上的剪應(yīng)變； Q=[t +z/cosθ - 2(h tan θ+ t )cos2θ]； T = [z - h + (h tan θ+t)sin2θ]。

故相應(yīng)的剪應(yīng)力為

根據(jù)Cerruti解答可得斜面邊界上的剪應(yīng)力-τxz作用下球孔周圍產(chǎn)生的位移場：

結(jié)合式(35)～(38)即可得到斜面邊界上修正的剪應(yīng)力對土體產(chǎn)生的位移場。

根據(jù)上述推導(dǎo)，可得到地表面以及斜面自由邊界應(yīng)力修正后的非軸對稱位移邊界條件下球孔擴(kuò)張土體位移解答：

3.4 對本文解答的討論

本文推導(dǎo)的解答為斜邊非軸對稱位移邊界條件下球孔擴(kuò)張擠土位移解答。由于文獻(xiàn)[10]推導(dǎo)的非軸對稱位移邊界下球孔擴(kuò)張位移解答僅能適用于θ=0°情況下，且并未對非軸對稱邊界上產(chǎn)生的剪應(yīng)力進(jìn)行修正，因此，文獻(xiàn)[10]得到的只是近似意義上的解答，令θ=0°，式(39)中的前三項(xiàng)可以退化到文獻(xiàn)[10]的解答。本文解答中，令θ=90°，則式(39)、(40)可退化到軸對稱位移邊界條件下半無限土體擴(kuò)孔解答，即文獻(xiàn)[11]的解答。因此，文獻(xiàn)[10]、[11]中解答僅為本文解答的一個(gè)特解，本文解答除可以考慮球孔離邊界不同距離、不同孔徑大小的擠土位移外，還可考慮邊界的不同傾斜角度對應(yīng)的位移變化規(guī)律。

另外，由本文解答的推導(dǎo)過程可以看出，地表面自由邊界處的正應(yīng)力及剪應(yīng)力均被修正；由于真實(shí)源與鏡像匯相互作用后，斜面邊界的正應(yīng)力為0，不需修正，斜面自由邊界的剪應(yīng)力也通過 Cerruti解答得到了修正，因此，本文方法得到的位移解可為非軸對稱位移邊界條件下球孔擴(kuò)張后位移分析提供理論基礎(chǔ)。如將單個(gè)球孔擴(kuò)張擠土位移擴(kuò)展至一系列球孔擴(kuò)張便可得到非軸對稱位移邊界條件下單樁沉樁的擠土位移解答，該解答對預(yù)估鄰近斜坡、岸坡等條件下沉樁產(chǎn)生的擠土位移具有一定的參考和現(xiàn)實(shí)意義。

4 分析與討論

由于能考慮自由邊界角度θ的變化對擠土位移的影響是本文解答的特色及創(chuàng)新之處，同時(shí)邊界角度θ也是影響鄰近基坑斜坡、邊坡及碼頭岸坡等非軸對稱位移邊界條件下擠土位移的重要因素之一，故本文將重點(diǎn)分析參數(shù)θ及參數(shù)θ與其他不同因素的組合對擠土位移的影響。為分析各具體因素對解析解的影響規(guī)律及敏感性，假定泊松比ν=0.5，在其他參數(shù)保持不變的前提下，只使一個(gè)因素在一定范圍內(nèi)變化。

4.1 θ 對擠土位移的影響

不同邊界角度θ對孔周擠土位移的影響如圖 4所示，為準(zhǔn)確分析θ變化對擠土效應(yīng)的影響，令擠土總位移由圖4(a)可以看出，在球孔深度范圍內(nèi)，水平擠土位移及總位移隨著深度的增大而逐漸增大，且在球孔所處深度位置的擠土位移最大，此后隨著深度的增大而逐漸減??；當(dāng)邊界角度θ=0°時(shí)，即豎直自由邊界情況下，靠近自由邊界一側(cè)的最大水平擠土位移為35.3 mm，最大總位移為36.4 mm，受位移邊界非軸對稱因素的影響，遠(yuǎn)離自由邊界一側(cè)相同距離位置處的最大水平位移為23.0 mm，最大總位移為23.6 mm，僅為靠近自由邊界一側(cè)位移的 65.2%和 64.8%，因此，在實(shí)際工程中應(yīng)充分重視非軸對稱位移邊界的影響。

隨著θ角度的不斷增大，靠近自由邊界一側(cè)的水平位移及總位移逐漸減小，當(dāng)θ=15°，最大水平擠土位移減小至 26.8 mm，最大總位移減小至27.4 mm；當(dāng)θ=90°，模型退化為半無限土體空間下球孔擴(kuò)張問題，此時(shí)最大水平位移為 24.8mm，最大總位移為 25.5 mm。也就是說，θ=15°、90°比θ=0°時(shí)水平位移以及總位移分別減小了24.1%、29.7%和24.7%、29.9%，說明θ越大，θ角度對位移的影響幅度越小。對于遠(yuǎn)離自由邊界一側(cè)擠土位移而言，θ=15°、90°比θ=0°時(shí)水平位移以及總位移分別增大了3.5%、7.8%和3.8%、8.1%，也就是說，擠土位移隨著θ的增大而增大，但θ角度變化對其影響幅度不大。

圖4較好地解釋了在實(shí)際鄰近斜坡沉樁擴(kuò)孔工程中自由邊界傾斜越陡(即參數(shù)θ越小)，斜坡擠土位移越大，相應(yīng)地斜坡穩(wěn)定性也越差。但需要注意的是，在實(shí)際工程應(yīng)用中，如斜坡較陡需要削坡時(shí)，在確保斜坡安全和經(jīng)濟(jì)的前提下，應(yīng)根據(jù)工程實(shí)際情況和斜坡允許的最大擠土位移，合理確定邊界傾斜角度。

圖4 不同θ 對擠土位移的影響Fig.4 The influence of θ on the displacement

4.2 t 對擠土位移的影響

球孔離邊界不同距離t對擠土位移的影響如圖5所示，可以看出，對于靠近自由邊界一側(cè)而言，隨著t值的增大，相同位置的水平位移逐漸減小，且 t值的不斷增大對水平位移的影響幅度逐漸減小，如當(dāng)θ=0°時(shí)，t=4a、t=5a所對應(yīng)的水平位移分別比t=3a減小51.7%和71.8%；另外，t值的改變對遠(yuǎn)離自由邊界一側(cè)位移影響規(guī)律與靠近自由邊界一側(cè)相同，但相同條件下遠(yuǎn)離自由邊界一側(cè)水平位移值比靠近自由邊界一側(cè)要小。圖5從理論上解釋了鄰近斜坡擴(kuò)孔工程中，球孔離斜坡越近，擴(kuò)孔后其擠土位移越大。

圖5 不同θ 下t對擠土位移的影響Fig.5 The influence of t on the displacement with different values of θ

5 結(jié)論及展望

（1）本文所得解答不僅適用于具有不同自由邊界傾斜角度的非軸對稱位移邊界條件下的球孔擴(kuò)張，還可以退化為軸對稱位移邊界條件下球孔擴(kuò)張位移解答，具有廣泛的實(shí)用性，可為類似工程擠土位移控制及參數(shù)設(shè)置提供參考。

（2）隨著邊界角度θ的不斷增大，靠近自由邊界一側(cè)的擠土位移逐漸減小，但對遠(yuǎn)離自由邊界一側(cè)球孔擠土位移影響不大，該結(jié)論較好地解釋了在實(shí)際鄰近斜坡沉樁擴(kuò)孔工程中，自由傾斜邊界越陡(即參數(shù)θ越小)，斜坡擠土位移越大，相應(yīng)地斜坡穩(wěn)定性也越差。

（3）對于靠近自由邊界一側(cè)而言，隨著球孔離邊界不同距離的增大，相同位置的擠土位移逐漸減小。因此，在實(shí)際工程應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)工程實(shí)際情況和斜坡允許的最大擠土位移，合理確定球孔與斜坡傾斜表面的距離。

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