基于自適應(yīng)滑模的變質(zhì)心再入飛行器控制律設(shè)計

魏鵬鑫,高長生,荊武興

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引言

變質(zhì)心控制通過質(zhì)心偏移實現(xiàn)控制。與通過改變力的方式影響作用在飛行器上控制力矩的方法(如氣動舵等)不同,變質(zhì)心控制是通過調(diào)整內(nèi)部滑塊與彈體間相對位置使系統(tǒng)質(zhì)心發(fā)生變化,改變了力臂,從而產(chǎn)生附加穩(wěn)定力矩控制飛行器姿態(tài)運動。雖然變質(zhì)心機動控制技術(shù)有諸多優(yōu)點,但實現(xiàn)其工程應(yīng)用仍面臨多種問題,飛行控制系統(tǒng)即為其中之一。由于活動質(zhì)量塊在彈體內(nèi)頻繁往復(fù)運動,變質(zhì)心導(dǎo)彈姿態(tài)活動質(zhì)量塊動力學(xué)模型屬于典型的快時變多體系統(tǒng),大量耦合因素嚴重影響了系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)。因此,設(shè)計有效的飛行器控制系統(tǒng)是目前變質(zhì)心飛行器研究的熱點。

傳統(tǒng)飛行控制律設(shè)計主要采用線性控制理論,線性化飛行器模型,針對各種飛行條件對控制系統(tǒng)進行綜合,再用增益調(diào)度方法獲得滿意的控制性能[1]。但對具參數(shù)不確定性和外部擾動及強非線性的系統(tǒng),傳統(tǒng)設(shè)計方法難以確保飛行器獲得滿意的控制性能。近年來,滑?？刂?變結(jié)構(gòu)控制)理論已成功地用于飛行控制系統(tǒng)設(shè)計,為具參數(shù)不確定性和外部擾動的線性或非線性系統(tǒng)提供了一種強力設(shè)計工具[2]。其重要特征是當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達狀態(tài)空間的某個流形時,控制器結(jié)構(gòu)發(fā)生變化,最主要優(yōu)點是能通過選擇適當(dāng)?shù)幕瑒恿餍味孪却_定系統(tǒng)的瞬態(tài)性能,系統(tǒng)狀態(tài)一旦進入并沿滑動流形運動,則對參數(shù)攝動和外界干擾具某種不變性。近年來,對滑?？刂婆c自適應(yīng)控制組合設(shè)計飛行控制系統(tǒng)的方法進行了研究,但用于有快時變、強耦合及嚴重非線性的高超聲速變質(zhì)心飛行器時,實現(xiàn)對姿態(tài)的控制仍有很大的挑戰(zhàn)性[3]。

針對置有縱向單滑塊的側(cè)滑轉(zhuǎn)彎(STT)變質(zhì)心飛行器,俯仰通道控制采用布置在飛行器縱向的滑塊完成,并認為偏航與滾轉(zhuǎn)通道已通過某種控制方式達到穩(wěn)定?？紤]氣動力系數(shù)等不確定因素,本文對其自適應(yīng)滑模控制律進行了研究,同時從Lyapunov穩(wěn)定性角度對系統(tǒng)的不確定性進行自適應(yīng)估計,以抵消實際系統(tǒng)中不確定項的影響[4-7]。

1 動力學(xué)模型建立

1.1 運動學(xué)模型

縱向單滑塊變質(zhì)心再入飛行器內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖1所示。系統(tǒng)由本體B和內(nèi)部滑塊1組成。圖中：O1為質(zhì)心;S*為任一時刻系統(tǒng)質(zhì)心;δy為滑塊運動的位置;l1為滑塊軸向配置位置。

圖1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Configuration sketch of system

定義坐標(biāo)系如下。

a)再入坐標(biāo)系e-xyz：原點e為再入時刻地心與質(zhì)心O1連線在地球表面的交點;ey軸在地心與質(zhì)心O1的連線上,指向點O1為正;ex軸在過點e的子午面內(nèi)垂直于ey軸,指向飛行器運動方向為正;ez軸與ex、ey軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

b)體坐標(biāo)系O1-xbybzb：原點為質(zhì)心O1;O1xb軸與再入飛行器的縱軸重合,指向頭部為正;O1yb軸在再入飛行器縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)垂直于O1xb軸,指向上為正;O1zb軸與O1xb、O1yb軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。單位矢量b=[b1b2b3]。

c)速度坐標(biāo)系O1-xvyvzv：原點為質(zhì)心O1;O1xv軸與速度方向重合;O1yv軸在再入飛行器縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)并與O1xv軸垂直,指向上為正;O1zv軸與O1xv、O1yv軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

d)地心慣性坐標(biāo)系Oe-xIyIzI(I)：初始時刻與再入坐標(biāo)系重合,在慣性空間定向。

飛行器的慣性角速度和點O1的慣性速度可分別表示為

式中：(ωTx1,ωTy1,ωTz1),(vx1,vy1,vz1)分別為飛行器的慣性角速度和慣性速度在各彈體軸上的分量。活動質(zhì)量體在彈體內(nèi)的位置為

式中：rbx,rby,rbz為r1在各彈體軸上的分量。在O1-xbybzb系中作用于飛行器的氣動力Faero可分解為軸向力X、法向力Y和橫向力Z,有

定義氣動力對質(zhì)心O1的矩

式中：T1,T2,T3分別為氣動力在各彈體軸上的分量。則,氣動力對系統(tǒng)質(zhì)心S的矩和引力加速度分別為

式中：gx1,gy1,gz1分別為引力加速度在彈體軸上的分量;μ1=m1/ms。此處：m1為活動質(zhì)量體質(zhì)量：ms為系統(tǒng)質(zhì)量,且ms=m1+mB。其中：mB為彈體質(zhì)量。

由牛頓第二定律和動量矩定理,可得在O1-xbybzb系中表示的動力學(xué)方程為

式中：JB/O1為彈體對質(zhì)心O1的慣量張量,且JB/O1=diag[JxJyJz];上標(biāo)“～”表示反對稱陣[8]。此處：Jx,Jy,Jz為慣量張量在彈體軸上的分量。

1.2 動力學(xué)方程簡化

式(8)、(9)表示的飛行器動力學(xué)模型是一復(fù)雜的非線性系統(tǒng),設(shè)計控制器時需對兩式作必要的簡化：忽略重力的影響;不考慮控制量的一階、二階項;不考慮滑塊偏移引起的慣性主軸偏移項。則可得

式中：α,β分別為飛行器的攻角和側(cè)滑角;Cx1為軸向氣動力系數(shù);分別為法向氣動力系數(shù)和氣動力矩系數(shù)對攻角的偏導(dǎo)數(shù);為阻尼力矩系數(shù)對角速度ωz的偏導(dǎo)數(shù);q為飛行器的動壓頭;S,L分別為再入飛行器的特征面積和特征長度;v為彈體相對e-xyz系的速度;ωx,ωy,ωz分別為飛行器相對e-xyz系的角速度在O1-xbybzb系中的分量;δy,δyv分別為滑塊運動的位置和速度;u1為作用于活動質(zhì)量體的驅(qū)動力[8]。

由式(10)、(11),定義狀態(tài)向量x1,x2∈R1,控制輸入δ∈R1,則有

式中：R為矢量。這樣,飛行器姿態(tài)運動可表示為

定義式(15)為變質(zhì)心飛行器的名義模型,基于該模型考慮不確定因素的影響。不確定因素一般分為結(jié)構(gòu)和非結(jié)構(gòu)兩類,其中結(jié)構(gòu)不確定性由參數(shù)不確定性引起,非結(jié)構(gòu)不確定性包括未知擾動、未建模動態(tài)等。則式(15)可進一步表示為

式中：Δf1為由參數(shù)不確定性引起的攝動項;ΔB1為姿態(tài)角測量誤差對系統(tǒng)的影響;ΔB2為由執(zhí)行機構(gòu)動態(tài)特性引起的輸入不確定項;γθ,θ分別為已知平滑函數(shù)和不確定參數(shù)矢量;d1,d2分別為未建模誤差項、未知干擾等非結(jié)構(gòu)不確定項。其中,部分參數(shù)不確定項可用光滑函數(shù)γθ表示,且存在未知系數(shù)θ。γθ,θ的具體表達式為

2 控制器設(shè)計

將內(nèi)回路控制問題分為兩部分：一是姿態(tài)跟蹤控制回路,完成對制導(dǎo)指令輸入的跟蹤,采用滑?？刂坪妥赃m應(yīng)控制方法進行設(shè)計;二是活動質(zhì)量體位置伺服控制回路,完成對姿態(tài)角控制所需活動質(zhì)量體位移的跟蹤,采用滑?？刂品椒ㄟM行設(shè)計。綜合兩個回路構(gòu)成完整的俯仰通道飛行控制系統(tǒng),控制流程如圖2所示。

圖2 俯仰通道姿態(tài)控制原理Fig.2 Attitude control principle for pitch

2.1 姿態(tài)自適應(yīng)滑?？刂坡?/h3>

采用滑?？刂圃O(shè)計魯棒控制系統(tǒng),先需設(shè)計一滑模面(切換函數(shù))。通過此滑模面選定控制律,使系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡在此滑模面上具期望的運動特性。為實現(xiàn)系統(tǒng)輸出的無靜差跟蹤,設(shè)計滑模面為

式中：e為狀態(tài)輸出跟蹤誤差,且e=yc-y=yc-x1;c1,c2為正定對角陣。此處：yc為所設(shè)計的期望輸出。通過選擇合適的c1,c2可使輸出跟蹤誤差具有期望的動力學(xué)特性。

對x1求時間的二階導(dǎo)數(shù),得

采用滑?？刂频拈]環(huán)系統(tǒng)運動包括兩個階段：一是滑模到達階段,系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)向滑模面s=0運動,且在有限時間內(nèi)到達;另一是滑模運動階段,狀態(tài)軌跡沿設(shè)計的滑模面s=0運動,且收斂至期望的狀態(tài)。

設(shè)計產(chǎn)生滑模運動的控制律時,為滿足自適應(yīng)滑模設(shè)計要求,忽略ΔB1,ΔB2,微分式(18),并代入式(19),有

式中：

為保證趨近過程的運動品質(zhì),采用指數(shù)趨近律,設(shè)計的滑?？刂坡蔀?/p>

式中：k1＞0;ε1＞0。

對單純滑?？刂埔笾啦淮_定參數(shù)矢量的有界性,且當(dāng)系統(tǒng)面臨大的不確定性時,為獲得好的跟蹤性能需增大控制增益,這常會導(dǎo)致控制顫振的進一步加劇;自適應(yīng)控制對參數(shù)不確定性無界限要求,通過參數(shù)自適應(yīng)補償可抵消不確定性的影響,降低控制增益,在獲得跟蹤性能的同時有效解決顫振問題。在式(22)的滑模控制律中考慮對不確定項的補償,則控制律為

此處：Γθ為正定對角陣。

假設(shè)在狀態(tài)軌跡包含的領(lǐng)域Ω1內(nèi)滿足關(guān)系式

令Lyapunov函數(shù)

將式(26)代入式(27),并由式(25)可得

若取

式中：ρ*為一大于零的正數(shù)。則有

2.2 滑塊伺服控制回路控制律

根據(jù)活動質(zhì)量體控制模型式(12)、(13),定義狀態(tài)變量x3,x4∈R1,控制輸入u∈R1,則有

式中：x3,x4分別為活動質(zhì)量體偏移量和偏移速度。由此活動質(zhì)量體控制模型可表示為

式中：|B3|=;|f3|=((ωx)2+(ωz)2)×δy-l1ωxωy-。

對輸出狀態(tài)x3微分兩次,可得輸入輸出間關(guān)系為

設(shè)計滑模面為

微分式(34),并將式(33)代入,可得

令

考慮系統(tǒng)存在不確定因素,式(35)可進一步表示成更一般的形式

式中：Δf3,ΔB3分別為模型和輸入不確定項。

設(shè)計Lyapunov函數(shù)

微分式(38)可得

因det B3≠0,設(shè)計滑?？刂坡蔀?/p>

式中：k2＞0,ε2＞0。

假設(shè)在狀態(tài)軌跡包含的領(lǐng)域Ω2內(nèi)滿足關(guān)系式

式中：ρ2,ρ3為正數(shù)。式(41)的第一個不等式限制了輸入矩陣的不確定性應(yīng)很小,通過適當(dāng)?shù)墓烙嬁纱_定ρ2,ρ3的值。

將式(40)代入式(39),則有

由式(41)可得

將

代入式(43),可得

式(45)表明狀態(tài)軌跡沿著設(shè)計的滑模面趨近至零,即x3→δ。

至此,活動質(zhì)量體伺服回路控制系統(tǒng)設(shè)計完成。

為消除不連續(xù)函數(shù)產(chǎn)生的控制顫振,可將控制式中符號函數(shù)sgn換成連續(xù)函數(shù)sat,即

式中：i=1,2;Δ1,Δ2分別為在滑模線s=0,sδ=0附近設(shè)置的邊界層厚度。

3 仿真

為驗證所設(shè)計控制律的有效性,將本文滑?？刂坡墒?40)和自適應(yīng)滑模控制律式(23)、(24)用于式(8)、(9)表示的系統(tǒng)。設(shè)置仿真參數(shù)為：飛行高度h=10 km,飛行馬赫數(shù)Ma=8：初始姿態(tài)角(γ,α,β,θ,ψv)=(0°,0°,0°,-40°,0°);初始姿態(tài)角速度(ωx1,ωy1,ωz1)=(0,0,0)(°)/s;指令姿態(tài)角(γc,αc,βc)=(0°,1°,0°);ms=1 000 kg;飛行器特征長度lk=4 m;特征面積SM=0.5 m2;彈體慣量張量

JB/O1=diag[(100 1 000 1 000]kg?m2;l1=0 m;滑塊最大偏移量δymax=±0.2 m。名義模型的滑模控制仿真結(jié)果如圖3～5所示。其中：相關(guān)系數(shù)為c1=5.5,c2=0.2,c3=25,c4=0.01,k1=7,k2=40,ε1=0.1,ε2=0.01,Δ1=0.5,Δ2=0.01。

圖3 標(biāo)稱模型仿真所得αFig.3 Simulationαfor nominal model

圖4 標(biāo)稱模型仿真所得δyFig.4 Simulationδyfor nominal model

圖5 標(biāo)稱模型仿真所得u1Fig.5 Simulation u1for nominal model

由圖3～5可知：設(shè)計的控制律的控制效果較佳,攻角響應(yīng)快速,約0.35 s即可達到期望的指令狀態(tài),同時超調(diào)較好,整個動態(tài)響應(yīng)過程良好;滑塊在初始階段經(jīng)歷較大幅度的振蕩,隨后平穩(wěn)過渡,同時發(fā)現(xiàn)對指令位移能實現(xiàn)較理想的跟蹤;伺服驅(qū)動力保持在小于4 k N,且過渡平滑,未出現(xiàn)大幅振蕩,保證了跟蹤效果。仿真結(jié)果表明本文設(shè)計控制器能有效消除跟蹤誤差,同時保證過渡過程的動態(tài)品質(zhì)。

基于標(biāo)稱系統(tǒng)模型,考慮氣動參數(shù)不確定性影響,設(shè)軸向力、法向力相對標(biāo)稱值有10%的偏差,確定參數(shù)初始估值較真實值亦有10%的偏差。俯仰通道單純采用滑?？刂茣r的仿真結(jié)果如圖6～8所示。

圖6 含不確定干擾的滑?？刂破鞣抡嫠忙罠ig.6 Simulationαfor sliding modecontroller with uncertain disturbance

圖7 含不確定干擾的滑?？刂破鞣抡嫠忙膟Fig.7 Simulationδyfor sliding mode controller with uncertain disturbance

由圖6～8可知：單純依靠滑?？刂瓶朔?shù)不確定性效果很不理想。為消除參數(shù)不確定產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差,仿真中控制參數(shù)c1=15(增大),但由圖可發(fā)現(xiàn)仍存在顫振,活動質(zhì)量體經(jīng)歷了大幅度的切換。這將導(dǎo)致執(zhí)行機構(gòu)消耗的能量過多,是工程實現(xiàn)中所不允許的。

圖8 含不確定干擾的滑?？刂破鞣抡嫠胾1Fig.8 Simulation u1for sliding mode controller with uncertain disturbance

加入對不確定參數(shù)自適應(yīng)估計后的仿真結(jié)果如圖9～11所示。仿真中c1=5.5(恢復(fù)為圖6～8水平),控制參數(shù)的減小降低了滑塊的伺服驅(qū)動力。由圖9～11可知：雖然存在較大超調(diào),但控制顫振消除,并最終實現(xiàn)對指令的跟蹤。

圖9 含不確定干擾的自適應(yīng)滑模控制器仿真所得αFig.9 Simulationαfor adaptive sliding mode controller with uncertain disturbance

圖10 含不確定干擾的自適應(yīng)滑?？刂破鞣抡嫠忙膟Fig.10 Simulationδyfor adaptive sliding mode controller with uncertain disturbance

圖11 含不確定干擾的自適應(yīng)滑?？刂破鞣抡嫠胾1Fig.11 Simulation u1for adaptive sliding mode controller with uncertain disturbance

圖12 lα的估計結(jié)果Fig.12 Uncertain disturbance estimation of lα

自適應(yīng)滑模過程中對不確定參數(shù)的估計過程如圖12所示。本文僅考慮法向力系數(shù)的不確定性,故僅需對lα[式(15)]進行估計即可。設(shè)真實系數(shù)較標(biāo)稱系數(shù)小10%,當(dāng)lα的標(biāo)稱值為-61.428 1 s-2時,真實值為-55.285 3 s-2。令初始時刻lα的估值等于標(biāo)稱值,則最終的估值為-57.281 5 s-2,表明采用自適應(yīng)估計后有效補償了參數(shù)不確定性的影響。

4 結(jié)束語

本文基于動力學(xué)分析,建立了一適于姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計的模型。將俯仰通道的飛行控制系統(tǒng)設(shè)計分解成活動質(zhì)量體位置伺服控制系統(tǒng)和姿態(tài)角跟蹤控制系統(tǒng)兩部分,用滑?？刂评碚撛O(shè)計控制律,設(shè)計中引入自適應(yīng)項補償參數(shù)不確定性的影響。在考慮參數(shù)不確定性條件下對綜合單通道的飛行控制系統(tǒng)進行了仿真。結(jié)果表明：系統(tǒng)輸出對指令的跟蹤性能良好,自適應(yīng)項能有效補償參數(shù)不確定性的影響,具較強的適應(yīng)能力,伺服驅(qū)動力保持在合理的范圍之內(nèi)。

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