線性剪切模量地基的地震響應分析

侯凱賢，葛廣全

(西安建筑科技大學土木工程學院，陜西西安710055)

由于地震激發(fā)引起地基振動，從而使地基產(chǎn)生隨時間變化的位移、速度、加速度、內(nèi)力和變形等，統(tǒng)稱為地基的地震響應。地基上的質(zhì)量因加速度的存在而產(chǎn)生的慣性力稱為地震作用。地基的地震響應取決于地震特性和地基特性，特別是地基的動力特性(如自振周期與阻尼)。

本文的目的是研究線性剪切模型地基的地震響應問題。確定其自振頻率、振型函數(shù)、參與系數(shù)及穩(wěn)態(tài)動力響應的封閉型解析表達式，進而計算得出地基土的相對位移、剪應變、剪應力以及絕對加速度響應表達式。并且利用數(shù)值算法結(jié)合計算機求得其在基巖輸入下的最大反應。

1 基本理論

1.1 建立模型［1］

當土層的物理力學性質(zhì)在水平上為均勻時，在基巖面上水平地震動¨ug(t)的作用下，可以認為土層沿整個高度的質(zhì)量密度ρs是均勻的，且土層只受水平方向地震動的影響，不考慮豎直方向地震運動。土層的位移也只受水平方向的剪切位移，沒有彎曲位移，這樣就可以將土層作為一個具有非均勻剪切模量的剪切梁，如圖1所示。從圖1(a)中取出一單元薄土層dz，如圖1(b)所示，由作用在單元體上的力的平衡關系，得:

圖1 土層計算模型

1.2 動力學方程推導及定解條件

式中:Q為土層間的剪力;u為土層的位移。

將式(3)代入式(2)得:

如果在上述計算中考慮土層的粘滯阻尼力，則可將式(4)進一步寫為:

式中:cs為土的粘滯阻尼力。

式(5)就是場地土地震時的動力基本方程，它的解答應滿足以下定解條件。

初始條件:

邊界條件:

2 地基解的求解

2.1 頻率方程建立和求解及振型函數(shù)的獲得

利用分離變量法，設:

式中:ηi為振型參與系數(shù)。

將式(8)代入式(5)，進行變量分離，兩邊除以φi(x)得:

即:

式中:a2i為待定常數(shù)。

由式(6)和式(7)可得其定解條件為:

當已知剪切模量的表達式以后，代入以上方程就可以得到相應的解答。

下面求解式(10)。為此將式 G(z)=G0+mz代入式(10)，得:

代換x=G0+mz，則式(14)成為:

令αi=ai/m，于是上式可進一步寫成

式(15)為二階常微分方程，即:

(兩邊除以α2i，再乘以 z2)

此式是n為零的貝塞爾(bessel)方程，其通解可以表示成為:

式中:J0和N0分別是零階第一類貝塞爾函數(shù)和零階第二類貝塞爾函數(shù)。

將式(16)代入邊界條件式(13)可得:

式中:θ=G0+mH;J1和N1分別是一階第一類貝塞爾函數(shù)和一階第二類貝塞爾函數(shù)［9］。

由式(17)中的系數(shù)行列式等于零，得到確定ai的方程為:

若令:

則

于是式(18)可寫為:

式(22)的根μi可以從相應的手冊中查出或通過計算機解出。當μi確定后，ai即可由下式解出:

其次，從式(17)中的第二式得:

將其代入式(16)中可進一步得到:

式中:

2.2 確定振型參與系數(shù)ηi

貝塞爾函數(shù)正交性:

η的求解:將式(9)兩端同乘以 λyY(λy)，并對 y

ij0j從0到1進行積分。根據(jù)貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)，右端可得:

左端

當i=j時

當 i≠j時

從而可得

2.3 相對位移反應的計算

2.3.1 Ti(t)函數(shù)的求解

求解式(11)，將其改寫為:

于是式(11)的通解為:

將其代入定解條件式(12)中，得A=B=0。所以該問題的解答為:

式中:

綜合以上各式，得到式(8)的解為:

式中:

式(27)即為剪切模量隨深度均勻變化時場地土相對位移反應的計算公式。

其中對應的齊次解為:

式中:ω0i=ωi√1－ξ2i為第i振型自振圓頻率。

特解T*i可以根據(jù)杜哈梅(Duhamel)積分求得，即:

當阻尼較小時，式(28)可以近似寫為:

式中:ηaj=－ω2jηj稱為絕對加速度振型參與系數(shù)。

由式(27)可得到土層的剪應變?yōu)?

2.3.2 地震反應

由于地面水平運動¨ug(t)不是一個規(guī)律的函數(shù)，要把真實的強震記錄¨ug(t)不加處理地放入公式進行積分幾乎是不可能的。因此，多采用另一種途徑，即用數(shù)值分析的方法來計算地震反應。特別是計算機技術的發(fā)展，為這一方面提供了極其有利的條件。目前用的較多的有線性加速度法、威爾遜(Wilson)－θ法及龍格－庫塔(Runge－Kutta)法。

2.3.3 龍格－庫塔法及算例［7］

龍格－庫塔法:在逐次積分法中，龍格－庫塔法是最簡單的，它把動力方程化為兩個一階微分方程組求解，計算的精確度也比較高。

算例:某場地土層厚度H=28 m，土層的密度ρs和s波速¨ug(t)都是實測值，剪切模量G由G=G0+mz算出，該場地土的G0和m分別為G0=25.5 MPa，m=0.52857 MPa，土的密度取平均值ρs=1 600kg/m3，地基土的阻尼比為ξ=0.01，利用上述數(shù)據(jù)算得的土層最大期望反應(相對位移、相對剪力和絕對加速度)見圖2。計算前8階頻率為(單位rad/s):

3 結(jié)論

本文選擇地面上一點作為坐標原點，建立了線性剪切模量地基響應的計算模型，把基巖輸入地震化作為邊界條件靜止不動而在計算域各點上作用著慣性力的問題進行計算，在給定的時間域中得到了基巖在任意輸入地震作用下的解析解。利用數(shù)值方法，通過對一算例的計算得出在土層剪切模量為線性變化的情況下，地基土的最大反應圖(相對位移、絕對加速度和剪應力)。

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